О МАТЕМАТИКЕ И КАЧЕСТВЕ ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЯ

Л. Понтрягин
Академик, Герой Социалистического Труда

Мое внимание привлекло в школьном учебнике определение вектора.

Вместо общепринятого и наглядного представления о нем как о направленном отрезке (именно такое определение, например, сохранилось и в "Политехническом словаре". М., "Советская энциклопедия", 1976, стр. 71) школьников заставляют заучивать следующее: "Вектором (параллельным переносом), определяемым парой (А, В) несовпадающих точек, называется преобразование пространства, при котором каждая точка М отображается на такую точку М₁, что луч ММ₁ сонаправлен с лучом АВ и расстояние [ММ₁] равно расстоянию |АВ|" *.

* В.М. Клопский, 3.А. Скопец, М.И. Ягодовский. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. 6-е изд. М., "Просвещение", 1980, стр.42.

В этом сплетении слов разобраться нелегко, а главное - оно бесполезно, поскольку не может быть применено ни в физике, ни в механике, ни в других науках.

Что же это? Насмешка? Или неосознанная нелепость? Нет, замена в учебниках многих сравнительно простых, наглядных формулировок на громоздкие, нарочито усложненные, оказывается, вызвана стремлением... усовершенствовать (!) преподавание математики.

Если бы приведенный мною пример был только досадным исключением, то ошибку, по-видимому, легко можно было бы устранить. Но, на мой взгляд, в подобное состояние, к сожалению, пришла вся система школьного математического образования...

Однако прежде, чем об этом говорить, целесообразно высказать предварительные замечания о самой математике. Значение ее на наших глазах возрастает, своими приложениями она охватывает все новые области познания и практики. Одновременно происходит стремительный прогресс и в ней самой. Возникнув некогда как сугубо прикладная наука и имея своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира - то есть весьма реальный материал,- в ходе своего развития математика принимала все более абстрактную форму, которая в известной степени затушевывала ее "земное" происхождение. Ведь чтобы исследовать названные формы и отношения в чистом виде, приходилось мысленно отделять их от содержания, оставляя его в стороне как нечто безразличное. На это не случайно указал Ф. Энгельс в своей гениальной работе "Анти-Дюринг".

Отвлекаясь от действительности, люди получили точки, лишенные измерений, линии, лишенные толщины и ширины, разные "a" и "b", "x" и "y", постоянные и переменные величины, а далее - дошли до продуктов "свободного творчества и воображения самого разума" - до мнимых величин. "Но совершенно неверно, будто в чистой математике разум имеет дело только с продуктами своего собственного творчества и воображения", - писал Энгельс *. И выведение математических понятий друг из друга, кажущееся не опирающимся на определенные данные и факты, доказывает не их априорное возникновение, а лишь их рациональную связь. Нельзя не согласиться с мыслью:

"Как и все другие науки, математика возникла из практических потребностей людей... Но, как и во всех других областях мышления, законы, абстрагированные из реального мира, на известной ступени развития отрываются от реального мира, противопоставляются ему как нечто самостоятельное, как явившиеся извне законы, с которыми мир должен сообразоваться. ...Чистая математика применяется впоследствии к миру, хотя она заимствована из этого самого мира и только выражает часть присущих ему форм связей,- и как раз только поэтому и может вообще применяться" **.
* К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 20, стр. 37.
** Там же, стр. 37-38.

"Воспаряя" над жизнью, над действительностью, математика в силу необходимости своего же развития непременно то и дело возвращается к своим истокам, к практике, находя в ней тот оселок, на котором она удостоверяется в действительной ценности своих теоретико-математических построений и пересматривает или утверждает свои основания, совершенствует свои подходы и методы.

Поэтому несерьезными выглядят философствования типа, например, следующего: "Общепринято (?! - Л.П.) математику подразделять на следующие отрасли: чистую математику (или собственно математику), прикладную математику и метаматематику. В свою очередь, чистая математика подразделяется на формальную и содержательную математики". (Цитируется брошюра о "философских проблемах математики", выпущенная издательством "Знание". Не называю имени автора только потому, что брошюра вышла семь лет назад.) В математике нет "надматематических" (ведь "мета" по-гречески означает "вне", "за пределами") разделов (отраслей), равно как совершенно нелепо подразделять ее на "формальную" и "содержательную". Я отнюдь не умаляю значения специализации исследовательской деятельности на теоретическую и прикладную. Однако, познакомившись ближе, нетрудно убедиться, сколь тесно взаимодействие и взаимопереплетение фундаментальных изысканий и сферы их приложений. Высокий уровень абстракций современной математики способен гипнотизировать тех, кто не является в ней специалистом, и, очевидно, порождать в их среде досужие, мнения, неверные представления, особое почтение лишь к кабалистическим формулировкам типа приведенной мною из школьного учебника и недоверие к ясности и простоте действительно научных утверждений. Именно подобное отношение, порожденное дилетантизмом в специальной области и одновременно узостью общего кругозора, способно послужить неблагоприятной почвой для принятия решений в практических делах.

Действительно, существует область математики, именуемая математической логикой, которая занимается изучением формальных математических высказываний, способов их построения, правилами вывода и тому подобными, точно определенными в строгом математическом смысле действиями. Из сказанного, однако, не следует, будто есть целый раздел математики, как изображает процитированный автор, названный им "формальной математикой", в котором специалисты заняты-де производством практически ненужных "высказываний". Его деление "чистой математики" на "формальную и содержательную" не имеет никакого смысла и непонятно математикам. Если же учесть, что он "перемешивает" и без того трудные математические понятия с туманными философскими формулировками, прибегает к неоправданным обобщениям, то просто диву даешься, какое пустословие можно выдавать за науку на страницах массового издания.

Не тем же ли обусловлены и рассуждения о некоем "предмете философии математики", суть-де которого составляют "свойства и отношения математики, о присущности или неприсущности которых мы (т. е. он, автор. - Л.П.) можем судить, опираясь на категории и положения философии"? Философские категории и положения у написавшего приведенные строки "выступают в роли базиса (основания), необходимого для решения философских проблем математики".

Боюсь, что при таком подходе автор удаляется не только от самой математики, но и от той научной философии, которая служит фундаментом господствующего в нашем обществе мировоззрения, методологии нашего познания. Действительно, рассуждения о "формальной математике" (само это выражение не может не покоробить ученого-математика) как о "совокупности формальных теорий, главными интерпретациями которых являются системы математических объектов", представляются мне не иначе как словесным сором, а умозрения, что, мол, "понятие формулы (предложения) языка является чисто синтаксическим (формальным), не опирающимся на содержание (семантику) и независимым от него", - принципиально ложными. Определение же: "Под формальной теорией понимается правильное подмножество... формул формального языка" - бессмыслицей,

Все это могло бы быть только забавным, если бы не дезориентировало умы, не вносило (ввиду распространения массовым тиражом) искаженных представлений в сознание широкой читающей общественности, особенно молодежи, формирующийся ум которой особенно впечатлителен и восприимчив.

Зрелый специалист, обладающий должной профессиональной культурой, наделен иммунитетом против подобных приведенным выше "идей" - он лишь иронически пожмет плечами. Ну кто, спрашивается, из математиков станет представлять элементарную арифметику "подмножеством... формул формального языка", как это делает данный автор? Специфической особенностью "формальных теорий", согласно ему, является то, что их "предложения" распознаются неким "эффективным методом" лишь "на основе их формы вне зависимости от содержания".

"Самое же главное, - пишет он, - заключается в том, что формальные теории строятся и развиваются независимо от семантики, или интерпретаций (если не считать эвристического значения интерпретаций)".

Как это понимать?.. Да, форма может иметь специфические особенности своего развития, но отнюдь не независимо от логики развития содержания.

Это уже философские азы, указывать на которые просто неловко.

Абстрактность математики - производное, следствие ее специфической природы, а не наоборот; абстракция есть логический акт, производный от содержательной деятельности; "форма как таковая" есть определенная содержательная предметная деятельность, состоящая в воспроизведении стороны предметов, явлений, процессов объективного мира; рассмотрение ее "самой по себе", вне этой предметной деятельности приводит в конце концов к отождествлению предмета науки с ее "языком", то есть к соскальзыванию в идеализм, в метафизику. Отождествление предмета теории с ее формальным аппаратом приводит к тому, что математика - в представлениях горе-философов - вырождается в лингвистику (подобно тому как аналогичная тенденция приводит теоретическую лингвистику, наоборот, к отождествлению с математикой).

Не стану более задерживаться на этом вопросе, равно как и на критике несовершенств и искажений в случайно попавшей мне в руки брошюре. Можно было бы привести и другие примеры - они стали возникать в большом количестве, как головастики в весенних водах, и в общем не заслуживали бы внимания. Но любой землепашец знает, сколь опасна сорная трава на культурной ниве. Если своевременно не принимать мер, она может агрессивно распространиться, забивая собою злаки. И вот что хотелось бы подчеркнуть: ложные идеи способны исказить поле сознания, стихийная цепная реакция их - породить ложные тенденции в нашей жизни. А это уже не может не тревожить.

Я думаю, любого специалиста не могут не заботить дальнейшие судьбы той области, в которой протекает его деятельность, ее кадрового обеспечения. Люди, некомпетентные в математике, но имеющие отношение к организации научных исследований и подготовке специалистов, вообще к системе просвещения и образования, питаясь "чтивом", подобным приведенному выше, могут невольно оказаться дезориентированными и совершать ошибочные действия, чреватые далеко идущими последствиями.

Вопрос о том, например, чем следует заниматься, стоит для самих математиков, быть может, острее, чем для представителей других областей знания. Возникшая в свое время в ответ на практические нужды, математика имела, имеет и будет иметь своей основной задачей изучение окружающего нас материального мира с целью его дальнейшего освоения человеком. В то же время у нее, разумеется, есть и своя внутренняя логика развития, в силу которой ученые создают весьма отвлеченные теоретические построения, не связанные непосредственно с окружающей нас действительностью и не сразу находящие для себя в ней приложения.

Мне знакомо восхищение замечательной стройностью и своеобразной красотой подобного рода построений, Однако оно не может служить единственным оправданием их существования. Математика не музыка, красота которой доставляет радость и широкой аудитории немузыкантов. Эстетическое наслаждение, порождаемое лишь математической красотой, способен испытать только узкий круг специалистов, и создавать ценности исключительно в этом смысле - значит заведомо искажать высокое предназначение математики, замкнув ее только на себя и тем самым фактически заставив работать на холостом ходу.

Я не собираюсь утверждать, что обладающие внутренней стройностью, но лишенные непосредственного практического значения разделы математики не имеют права на существование; они включены в самую ткань науки, иссечение которой могло бы привести к нарушению всего ее организма. Кроме того, оказывается, что некоторые отделы математики, лишенные практических приложений в течение многих веков, позже находят такие приложения. Классическим примером служат кривые второго порядка, созданные в древности из внутренних потребностей "чистой" науки и нашедшие лишь позже очень важное применение. С другой же стороны, некоторые разделы математики, посвященные лишь ее внутренним проблемам, оставаясь "вещью в себе", постепенно вырождаются и почти наверняка в конце концов оказываются ни для чего не нужными. Думаю, что для впавших в грех таких математических упражнений никакие "философские" обоснования "формальной теории" не послужат ни оправданием, ни утешением. Сказанное, по-видимому, имеет и прямое отношение к "философии для философии" (быть может, кто-нибудь пустит выражение: "формальная философия"? Именно так, наверное, следовало бы окрестить вышеприведенные мудрствования, претендующие на "философские основания математики"). Однако дело философии не в том, чтобы созерцательно объяснять мир, и не в том, чтобы умозрительно изобретать "философские принципы" или "основания" (например, математики), а в том, чтобы исследовать предметную деятельность, служа одновременно методологической основой ее преобразования и руководством к практическому действию (в частности, к выбору тематики исследования),

Итак, принимая во внимание высокую степень развития сегодняшнего математического аппарата, а также тот факт, что прогресс математической науки стимулируется не только внешними по отношению к ней побудительными причинами, но и внутренними факторами, вопрос о выборе тематики исследований становится для математиков весьма тревожным. Я считаю, что если не все, то во всяком случае многие из них должны в своей работе обращаться к первоисточникам, то есть к приложениям математики. Это необходимо для того, чтобы влить новую свежую струю в научные исследования, чтобы более активно применять весьма эффективные математические методы на практике.

Поскольку все живое в нашей жизни имеет диалектический характер, хотел бы, подчеркивая значимость прикладных исследований, предостеречь от обращения их в свою противоположность под внешне как будто "верной" оболочкой. Я имею в виду математическую мистификацию практических задач, от которой не бывает пользы ни уму, ни сердцу. В последнее время можно встретить, например, так называемые экономико-математические работы, насыщенные сложной математической символикой, но не содержащие ни одного конкретного, численного примера,-непонятные, недоступные и фактически ненужные экономистам, а с точки зрения математиков - представляющие ничтожную ценность, либо вообще не обладающие ею.

В последнее время опасными становятся математические спекуляции в теоретической физике и в технических науках. Дело доходит до того, что серьезная работа в области техники может быть ошельмована на том основании, что в ней нет математических обоснований, хотя всем может быть ясна практическая пригодность исследования. Для математики обидно, что иногда ее привлекают для бутафории, для того, чтобы спрятать бедность и немощность той или иной специальной работы (например, в биологии и медицине). Обидно прежде всего за то, что действительное, правильное применение математики в специальных исследованиях может дать весьма ощутимый эффект.

Нужно признать - и я об атом заявлял *, - что некоторые дела в области математики сильно запущены из-за нашей собственной беспечности и непонимания происходящего.

* "Успехи математических наук", том 33, вып. 6 (204), 1978, стр. 21.

К числу таких запущенных дел принадлежит положение с математическим образованием в средней школе. Реформа преподавания, проведенная более 10 лет назад, привела его, на мой взгляд, к странному состоянию. Об этом мне уже довелось выступать на страницах газеты "Социалистическая индустрия" * , вместе с моими коллегами в журнале "Математика в школе" **.

* 21 марта 1979 года - статья "Этика и арифметика".
** 1979, № 3

Пищу для печальных раздумий дает письмо тринадцати старшеклассниц из Вильнюса, опубликованное в "Комсомольской правде" *, неубедительно, по-моему, прокомментированное. В нем было выражено настоящее отчаяние:

"Нам никак не одолеть программу по математике... Многого не понимаем, зубрежкой не все возьмешь... Такие заумные учебники... Вот и ходим мы в «дебилах», как называют нас учителя..."
* 12 марта 1978 года - "Бесталанные ученики?"

Однако всеобщая тревога возникла гораздо раньше. О преподавании математики заговорили повсюду, начиная с семей, в которых есть дети-школьники, и кончая высокими инстанциями. Родители обеспокоились, что, имея даже инженерное образование, они не понимают излагаемого в школе материала и не могут помочь своим детям в приготовлении уроков. Не ясен и смысл этого материала. Среди школьных педагогов - растерянность и недоумение по поводу новых программ. От многих из них мне приходится получать письма, в которых это выражено весьма эмоционально.

О причинах данного явления я узнал из телевизионного выступления министра просвещения СССР М.А. Прокофьева (в 1979 году). Он сообщил, что двенадцать лет тому назад некоторыми авторитетами было признано, что математика, преподававшаяся тогда в средней школе, отстала от требований времени и потому ее нужно "модернизировать". Нет слов, в определенных усовершенствованиях школьная математика нуждалась, но осуществленные мероприятия не улучшили, а ухудшили положение. В результате, в частности, возникли те учебные программы и пособия, по которым ныне и учатся математике в школе.

На одном совещании мне довелось услышать из уст академика-физика: "Совершенно понятно, почему родители даже с инженерным образованием не понимают школьной математики,- ведь это современная математика, а они учили только старую..." Вот, оказывается, в чем "секрет". Тут уж у меня самого возник вопрос: зачем же детям такая математика в средней школе, что в ней не могут разобраться даже специалисты с высшим техническим образованием?

В современных условиях закономерно возросли требования к содержанию программ по математике и их конкретной реализации в учебниках. Осуществленный в последние годы пересмотр содержания школьного курса математики, включение в него элементов математического анализа, теории вероятностей и так далее можно в принципе рассматривать как явление прогрессивное. Однако в основу изложения авторы ныне действующих учебников положили теоретико-множественный подход, отличающийся повышенной степенью абстракции и предполагающий определенную математическую культуру, которой школьники не обладают и не могут обладать. Ее нет и у большинства преподавателей. Что же в итоге произошло? Искусственное усложнение учебного материала и непомерная перегрузка учащихся, внедрение формализма в содержание обучения и отрыв его от жизни, от практики. Многие важнейшие понятия школьного курса математики (такие, как понятия функции, уравнения, вектора и т. д.) стали труднодоступными для сознательного усвоения их учащимися.

На определенном этапе развития математики высокоабстрактная теоретико-множественная концепция ввиду ее новизны стала модной, а увлечение ею - превалировать над конкретными исследованиями. Но теоретико-множественный подход - лишь удобный для математиков-профессионалов язык научных исследований. Действительная же тенденция развития математики заключается в ее движении к конкретным задачам, к практике. Современные школьные учебники по математике поэтому - шаг назад в трактовке этой науки, они несостоятельны по своему существу, поскольку выхолащивают суть математического метода.

Нет ничего предосудительного в том, чтобы в средней школе употреблялось "множество" как слово русского языка. Так, определение окружности можно дать в двух вариантах.

Первый: "Окружность состоит из всех точек плоскости, отстоящих от заданной точки на одном и том же расстоянии".

Второй: "Окружность есть множество всех точек, находящихся на заданном расстоянии от заданной точки".

Второй вариант определения окружности ничем не хуже и не лучше первого. И слово "множество" совершенно безвредно, а, в общем, бесполезно. Но в модернизированных учебниках и программах оно -возведено в ранг научного термина, и это повлекло за собой уже серьезные последствия. Сразу же появились и такие понятия, как "пересечение множеств", "объединение множеств", "включение множеств". И вводятся соответствующие значки. Кажущиеся нам, математикам-профессионалам, очень понятными, эти выражения и значки не так уж легко воспринимаются учениками, а главное-они не нужны для понимания школьных истин математики.

Стремление к большей общности, свойственное новым программам, и повсеместное употребление "множества" как научного термина выражается, например, в том, что геометрическая фигура определяется как "множество точек". А так как в теории множеств два множества могут быть равными, лишь полностью совпадая, то слово "равенство" уже не применимо к двум различным треугольникам. Это слово заменяется другим, не свойственным русскому языку, термином "конгруэнтность". Этот термин не употребляется в практике. Никакой строитель не будет говорить о двух "конгруэнтных балках" (или закройщик из ателье о "конгруэнтных кусках ткани"), а будет говорить о равных, или одинаковых балках (кусках ткани).

Выше мы привели неудобоваримое определение вектора. Очень характерный пример того, как относительно простое, интуитивно ясное понятие преподносится педагогически абсурдным способом. А получилось оно у авторов таким ввиду того, что прежнее определение не укладывается в теоретико-множественную концепцию. Ведь вектор не есть "множество". И равенство векторов не есть теоретико-множественное равенство. Потому в современном школьном курсе геометрии вектор и предстал как "параллельный сдвиг пространства", а сложение двух векторов - как "последовательное применение двух параллельных сдвигов". Определения эти не только чрезвычайно сложны - они совершенно не соответствуют общепринятому аппарату физики, механики, всех технических наук.

Так же обстоит дело и с определением функции. Вместо того, чтобы сказать, что функция есть величина "игрэк", числовое значение которой можно найти, зная числовое значение независимой переменной "икс", - что в общем виде записывается: у=f(х), - и дать ряд примеров ее при помощи формул, функцию определяют, по существу, как отображение одного множества на другое. Делается это, однако, в школьных учебниках куда сложнее: сперва вводится понятие отношения между элементами двух различных множеств, а потом говорится, что при выполнении некоторых условий, наложенных на это отношение, последнее является функцией.

Новые учебники переполнены такого рода громоздкими, сложными, а главное, ненужными определениями. Математическое понятие уравнения стремятся свести к грамматическому понятию предложения. На бедные детские головы обрушивается понятие уравнения как "предложения с переменной" *. Наткнувшись на него, я никак не мог понять, что же это значит.

* Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.С. Муравин. Алгебра. Учебник для 6-го класса средней школы. М., "Просвещение", 1977, стр. 12.

Примеры уже даются в учебнике для четвертого класса. Так, приводится "предложение": "Река х впадает в Каспийское море". Далее разъясняют, что если вместо х подставить "Волга", то мы получим правильное утверждение, и, следовательно, "Волга" есть решение этого уравнения. Если же вместо х подставить "Днепр", то получится неверное утверждение, и потому "Днепр" не является решением этого уравнения *.

* Н.Я. Виленкин, К.И. Пешков, С.И. Шварцбурд, А.С. Чесноков, А.Д. Семушин. Математика. Учебник для 4-го класса средней школы. М., "Просвещение", 1979, стр. 39.

Какое это имеет отношение к математике? У нее своя специфика, и нет надобности сводить ее к грамматическим понятиям. Однако этот факт в высшей степени симптоматичен, если вернуться к тому, что говорилось выше о "философии математики", готовой свести предмет математической теории к манипулированию ее "языком" - к "лингвистике".

Чрезмерно абстрактный характер придан преподаванию математики уже в первых классах и уже там мешает освоению ее основного предмета - арифметики. Внедрение нарочито усложненной программы, вредной по своей сути, осуществляется к тому же с помощью недоброкачественных, в ряде случаев просто безграмотно выполненных учебников. Но главный порок, конечно же, в самом ложном принципе - от более совершенного его исполнения школа не выиграет.

А ведь, признаться, неплохим, в общем, был предшествующий опыт школьного обучения, неплохими были и учебники, - не случайно именно к ним обращаются репетиторы, подготавливая сегодня абитуриентов в вузы. Кстати говоря, не отказ ли от того положительного, что было раньше в школьном преподавании, способствовал развитию "черного рынка" репетиторства с его спекулятивными ценами - явления возмутительного, несовместимого с нравственными принципами нашего общества.

Такого рода "стихийные бедствия" совершенно не согласуются и с принципами социального управления, которым неукоснительно должна следовать и наша школьная система.

Что же касается более благополучных вариантов учебников, то есть такие - например, по геометрии, написанный академиком А.В. Погореловым *. Однако создается впечатление, что Министерство просвещения СССР не спешит умножить число подобных примеров.

* А.В. Погорелое. Геометрия. Пособие для учителей. М., "Просвещение", 1979.

Иногда официальные лица министерства, защищая теоретико-множественный подход как "современный" в школьной педагогике, ссылаются на пример западноевропейских стран: мол, там этот подход вошел в жизнь, а мы-де отстаем от передового опыта. А между тем Парижская Академия наук, например, еще в 1972 году обнаружила, что подобная модернизация преподавания математики приводит к появлению неудовлетворительных и ошибочных учебников и методов преподавания, что обучение математике во французских школах не приносит общему образованию той пользы, которой от него следовало бы ожидать.

Четыре года назад крупнейший французский математик Жан Лёрэ, выступая в Рабате на первом панафриканском Математическом конгрессе, критически оценил постановку школьного дела в развитых капиталистических странах, отметив, что преподаватели и учебники там все с большим трудом передают детям те знания, которые им необходимы для жизни. Вот что сказал он о математике, преподаваемой в школах Франции:

"Развитие понятия множества в последнее время значительно расширило область применения и силу математических методов, но значит ли это, что преподавание математики юношам и девушкам должно быть основано на этом понятии, то есть проходить по схеме, принятой в прекрасном трактате Н. Бурбаки? Ответ может быть только отрицательным... Можно ли строить курс математики для юношества логически на теории множеств, то есть выразить сущность этой теории на простом и доступном языке? Во Франции это пытались сделать с самонадеянностью, основанной на непонимании, что не могло не привести к катастрофе...
Торжество методики, основанной на повторении многословных определений, имеет самые серьезные социальные последствия. С одной стороны, это отваживает от научного образования способных юношей, которые лишены привилегии иметь взрослого руководителя, способного объяснить им, что они правы, не понимая того, что им преподают, с другой стороны, это привлекает к занятиям как раз наименее способных и думающих учеников, которые учат наизусть и повторяют, не понимая смысла...
Извращенная ситуация, в которой оказалось преподавание математических дисциплин во Франции, в большей степени, чем в англо-саксонских странах, возникла из вполне законного стремления к прогрессу. Наши самые искренние и цельные реформаторы не сумели отстранить от этого дела шарлатанов, которые использовали их инициативу, например, тех, кто с легкостью написал толстые учебники, полные ошибок, и получил преимущественное право на их переиздание, то есть воспроизведение ошибок. Сами учителя были подготовлены интенсивной пропагандой... Методисты боятся потерять авторитет, если исправят допущенные ошибки.
Я прочел двум, сменившим один другого, министрам национального образования Франции основное содержание министерских инструкций, имеющих целью ошеломить наших детей научными определениями прямой... Они признали, что не понимают сами того, что предлагают в качестве обязательных инструкций, однако инструкций не отменили".

Приведенные слова невольно порождают желание провести параллельное сравнение с тем, что происходит с математикой в нашей школе. "Современные" учебники по математике, утвержденные Министерством просвещения СССР и миллионными тиражами выпускаемые издательством "Просвещение", напоминают по своему подходу учебники французских авторов, критикуемые Жаном Лёрэ.

В последние годы некоторую часть школьного курса заполнили элементы высшей математики. Поскольку она должна быть рассчитана на всех учеников, а не только на тех, кто собирается впоследствии стать профессиональным математиком, изложение ее должно быть достаточно ясным и простым, без лишнего формализма. На деле же оно усложнено, перегружено ненужными фактами и недоступно пониманию школьников. Что же касается элементарной математики, то основные ее разделы весьма сокращены, излагаются неполно и не подкреплены достаточным числом примеров и задач. Вот и получилось, что, с одной стороны, школьники оглушены формальным, трудно воспринимаемым материалом, по большей своей части ненужным, а с другой - не получают необходимых навыков в выполнении элементарных арифметических действий и алгебраических преобразований, в решении простейших уравнений и неравенств (в том числе квадратных), обнаруживают слабые знания тригонометрии, не умеют применять алгебру и тригонометрию для решения геометрических задач. В сознании их возникает ложное представление о математике как о чем-то заумном, далеком от реальной действительности и невозможном для освоения многими. Но, по-видимому, ответственных работников системы просвещения не смущает насыщение школьных страниц множеством "формул формального языка".

С большой досадой приходится констатировать, что вместо того, чтобы прививать учащимся практические умения и навыки в использовании обретаемых знаний, учителя подавляющую часть учебного времени тратят на разъяснение смысла вводимых отвлеченных понятий, трудных для восприятия в силу своей абстрактной постановки, никак не "стыкующихся" с собственным опытом детей и подростков, не способствующих развитию их математического мышления и, главное, ни для кого не нужных. Вот уж где уместно наконец сказать о делении математики на "формальную" и "содержательную", только несколько в ином - увы, более точном - смысле, нежели писал процитированный выше философ.

Содержательная часть математики на школьных уроках действительно потеснена сугубо формальной. Академики В.С. Владимиров, А.Н. Тихонов и я в журнале "Математика в школе" * писали: "Чрезмерный объем и неоправданная сложность изложения программного материала развивают у многих учащихся неверие в свои способности, чувство неполноценности по отношению к математике. Этим отчасти объясняется снижение интереса к естественнонаучным и техническим дисциплинам... Создавшееся положение с преподаванием математики в средней школе требует принятия решительных мер по его исправлению".

* 1979, № 3.

В следующем номере того же журнала была опубликована статья академиков Л.В. Канторовича и С.Л. Соболева "Математика в современной школе". В ней авторы, стремясь защитить неудачные новшества, фактически (хотя и с оговорками) вынуждены были признать справедливость аргументов критики, но постарались представить ее как "призыв к возврату ставших уже архаичными программ и учебников". Последний вывод смещал плоскость полемики, искажал существо ее.

Не могу не процитировать и примечательный в некотором отношении абзац:

"Следует сказать, что такие крайние выводы, первоначально высказывавшиеся на бюро Отделения математики, при более подробном ознакомлении с вопросом не были поддержаны на общем собрании Отделения" (выделено мною. - Л.П.).

Мне кажется, что этой фразой мои уважаемые коллеги пытались ввести в заблуждение общественность. Ведь общее собрание Отделения математики АН СССР в декабре 1978 года приняло в высшей степени принципиальное решение, поддержав мнение Бюро Отделения. Вот выписка из него:

"1. Признать существующее положение со школьными программами и учебниками по математике неудовлетворительным.
2. Считать вновь представленную Министерством просвещения СССР программу по математике для средней школы неудовлетворительной.
3. Создать Комиссию по вопросам математического образования в средней школе при Отделении математики АН СССР..."

В связи с развернувшейся на страницах упомянутого журнала дискуссией академик-секретарь Отделения математики АН СССР Н.Н. Боголюбов попросил журнал опубликовать полный текст решения общего собрания Отделения по этому вопросу (копия письма была послана министру просвещения СССР). Главный редактор журнала Р.С. Черкасов счел целесообразным ответить отказом...

В постановлении ЦК КПСС и Совета Министров СССР "О дальнейшем совершенствовании обучения, воспитания учащихся общеобразовательных школ и подготовки их к труду" говорилось: "Школьные программы и учебники в ряде случаев перегружены излишней информацией и второстепенными материалами, что мешает выработке у учащихся навыков самостоятельной творческой работы". Эти слова целиком и полностью относятся к ныне действующему школьному курсу математики.

Пассивную роль в создании ныне действующих учебников сыграла Академия педагогических наук СССР, не обратив должного внимания на их качество.

Странно, что многие специалисты по методике преподавания математики, имеющие обширные научные знания, оказались бессильными понять непригодность для школы существующих программ. А между тем положительная инициатива школьных учителей по совершенствованию преподавания на местах нередко глушится циркулярами или - в лучшем случае - не поддерживается должным образом.

Принципиальное отношение к критике означает не столько словесное признание ее, сколько конкретные действия по исправлению сложившегося положения. Цитаты из партийных документов - не мертвая буква и не модная фраза. В нашей стране стало законом жизни неукоснительное исполнение партийных и государственных решений. В этом выражается единство слова и дела, теории и практики. Разрыв одного с другим - не что иное, как нарушение самого принципа нашего бытия. Так понимают все советские люди неисполнение директив своего руководства. А это предполагает конкретность принимаемых мер.

Что касается совершенствования школьного курса математики, то он должен, во-первых, обобщать наглядные представления и практический опыт учащихся и готовить их к применению математических знаний в последующей деятельности. Во-вторых, изучение математики должно способствовать выработке у школьников твердых навыков устного счета, развитию логического мышления и пространственного воображения. В-третьих, учащиеся должны овладеть теми математическими понятиями, с которыми им придется встречаться в практической деятельности, а вводимые термины и символы должны быть согласованы с общепринятыми в научно-технической литературе и используемыми в смежных дисциплинах. Эти требования не представляют собой чего-то из ряда вон выходящего, напротив, они просты. Кстати заметим, что чем ближе мы к истине, чем проще оказываются выводы, в то время как наукообразные мудрствования лишь отдаляют нас от нее.

В Советском Союзе имеется блестящая плеяда первоклассных математиков, опытная армия высококвалифицированных педагогических кадров - совместными усилиями с органами народного образования они способны успешно решить задачу большой социальной значимости: повысить качество математической подготовки школьников и тем самым способствовать дальнейшим успехам высшего образования и науки страны развитого социализма.

Как сообщили редакции, опыт приема нового пополнения в высшие учебные заведения показывает, что за последние годы резко понизился уровень математической подготовки в школе. На вступительных экзаменах в вузы в знаниях абитуриентов обнаруживаются серьезные пробелы, о которых раньше не было и речи. За неоправданным избытком отвлеченных теоретико-множественных представлений оказались утраченными многие весьма необходимые знания и навыки (в том числе арифметического счета, решения алгебраических уравнений и неравенств, тригонометрических и геометрических построений и преобразований и т.д.). Ряд существенно важных разделов (например, комплексные числа) оказался изъятым из школьного курса, что стало затруднять обучение ряду специальных предметов в техникумах и вузах.
Формалистическое поветрие проникло и в средние специальные и в высшие учебные заведения. Оно коснулось и научно-исследовательских разработок, представляемых на соискание ученых степеней в области педагогических наук.
То, что математическую программу, существовавшую до неудачной реформы, желательно было несколько пополнить - главным образом элементами математического анализа,- не вызывает сомнения, и письмо Л.С. Понтрягина означает призыв не к возврату преподавания математики на предшествующие рубежи, а к приведению сто в действительное соответствие с требованиями жизни, с задачами научно-технического прогресса. Ученый своевременно поднимает голос против искажения сущности своей науки и извращения способов обучения, за истинное содержание ее школьного предмета, за научно-педагогическое и научно-психологическое обоснование методических принципов преподавания. Нынешний же школьный курс не обеспечивает прочного и сознательного усвоения учащимися основ математических знаний, необходимых в дальнейшей практической и учебной деятельности.
Успешность преподавания зависит от того, в какой степени абстрактные категории и представления соответствуют возрастным особенностям формирующегося ума ребенка или подростка, связаны с его живой предметной деятельностью; В процессе обучения правомерно использование только тех абстракций, которые резюмируют жизненный опыт и человечества и данной личности, историю общественной практики и познания и историю умственного развития ребенка, словом, те истины, которые представляют собой "итог, сумму, вывод истории познания мира" (В.И. Ленин. Полн. собр. соч., т. 29, стр. 84). Отрыв же научных абстракций от этого опыта, противопоставление ему высших результатов развития науки, игнорирование особенностей умственного развития ребенка, закономерностей и фаз его социально-психологического созревания приводят к выхолащиванию содержания преподносимых научных истин и деформируют сознание личности.
Школа должна давать полноценные знания, учить мыслить, способствовать интенсивному и широкому умственному развитию, формировать активность ума в осуществлении интеллектуальных действий. Всему этому как раз противоречит и мешает громоздкий формализм, которым оказались насыщены школьные программные разработки и учебники.
Печально, что отстраненным оказался тот богатый положительный опыт, которым могло гордиться школьное образование в нашей стране и который стимулировал плодотворный творческий рост молодежи, активизировал ее интерес к математике, естествознанию и технике, воспитывал таланты.
Уроки математики должны способствовать укреплению в школьниках веры в себя, утверждению самостоятельности мысли. Напомним, что в ту пору, когда еще только начиналось внедрение в школы новой (то есть ныне действующей) программы, В.А. Сухомлинский писал: "Ни одно понятие, суждение, умозаключение, закон не должны запоминаться без понимания. В детстве это наносит вред, в отрочестве же это грозная опасность..." На примере сегодняшнего преподавания математики можно вид; гь, как неправильная постановка умствен него воспитания, перегрузка памяти формальной информацией вместо активного включения работы мысли (причем как раз в ту пору, когда подросток еще только учится мыслить и рассуждать) приводят к обеднению умственной деятельности школьника, задерживают развитие его способностей, лишают его понимания реальной основы обобщений, делают косноязычной речь и обедненным воображение.
Заметим, что обновление курса школьной математики и организационно было обставлено несовершенно: комиссию со стороны Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР, разрабатывавшую новую программу, и комиссию со стороны Министерства просвещения СССР, утверждавшего эту программу и соответствующие ей учебники, возглавил один и тот же человек. В результате возобладала одна точка зрения. (К сожалению, аналогичное положение имеет место ныне и в физике.)
Компетентные специалисты отмечают, что в статье Л.С. Понтрягина уместно затронуты и философские вопросы: автор прав, решительно выступая как против чрезмерного увлечения абстрактными построениями не только в преподавании математики, но и в ней самой, так и против псевдонаучных спекуляций в связи с ложным толкованием ее предмета.
Некритическое усвоение зарубежных достижений на относительно новых ветвях математики, гипертрофирование общенаучного значения этих достижений стали приводить к неверной оценке значения многих результатов математических исследований, в ряде случаев к идеалистической трактовке сущности предмета данной науки, к абсолютизированию абстрактных построений, умалению гносеологической роли практики. Излишнее увлечение абстракциями теоретико-множественного подхода стало неверно ориентировать творческие интересы студенческой и научной молодежи. К сожалению, оно возобладало и в школьном математическом образовании, нанеся ему существенный ущерб.
Приводим отзыв академика А.Н. Тихонова:
"Считаю, что в статье Л.С. Понтрягина правильно характеризуется сложившееся положение как с математикой, так и с ее преподаванием в средней школе... Привлечение к нему внимания весьма актуально. Прошло уже около трех лет со дня опубликования постановления ЦК КПСС и Совета Министров СССР о дальнейшем совершенствовании обучения и воспитания, однако решительных действий по исполнению его со стороны Министерства просвещения СССР еще не видно. А время не терпит...
Характер статьи Л.С. Понтрягина сугубо критический, и в ней не отмечены некоторые положительные шаги, которые предприняты Министерством просвещения РСФСР. В рамках этого ведомства с 1 сентября 1979 года начат возглавляемый мною педагогический эксперимент по улучшенным программам математики в шестых классах определенного числа средних школ Российкой Федерации... Однако острота сложившемся ситуации такова, что, на мой взгляд, необходимо безотлагательно информировать о ней общественность, - ответом на эту необходимость и служит статья Л.С. Понтрягина. С содержанием ее нельзя не согласиться".
Как сообщили редакции в Программно-методическом управлении Министерства просвещения РСФСР, в последние годы в системе школьного образования проделана немалая работа по устранению наиболее явных недостатков и просчетов в преподавании математики.
Ввиду того, что школьная программа математики и учебники, предложенные коллективом специалистов, внедрялись без квалифицированной методико-педагогической проработки, без предварительного, широко поставленного эксперимента, Министерству просвещения РСФСР пришлось с 1970 года десять раз вмешиваться в осуществляемый процесс обновления математического курса, вносить в него частные коррективы, сокращения, упрощения, доводить их до сведения местных органов народного образования. На коллегии министерства ежегодно обсуждались материалы проверок состояния преподавания математики, критические замечания школьных работников, предложения по улучшению положения; обобщающие документы передавались в Министерство просвещения СССР. Несомненно, они принесли известную пользу. Однако все же это были паллиативные решения. Работникам просвещения казалось, что суть недостатков не в существе внедренной программы, а в частных недоработках ее, в поспешности ее реализации, в бесталанных учебниках и т. п. Так, поскольку учащиеся шестого класса стали с трудом воспринимать геометрию, то в 1972 году попросту отменили оценку по этому предмету за первую четверть - данная мера фактически отводила глаза от тревожного симптома. Еще в большей степени показательна отмена в дальнейшем выпускного экзамена по геометрии.
Ввиду возрастания критики со стороны педагогических работников, родительской общественности и ученых-математиков (особенно после вынесения решения общим собранием Отделения математики АН СССР в декабре 1978 года) Министерство просвещения РСФСР с 1978/79 учебного года приступило к осуществлению эксперимента преподавания математики в шестых классах по улучшенной программе и соответственно по новым учебникам. Ныне он проводится в школах Москвы, Ленинграда, Калужской и Горьковской областей, Мордовской АССР. Им охвачено около шести тысяч учащихся. Образована комиссия по усовершенствованию программы и учебников математики для общеобразовательных школ. Общее организационное и методико-педагогическое руководство ею осуществляет Научно-исследовательский институт школ Министерства просвещения РСФСР, идейно-теоретическое - академик А.Н. Тихонов. К работе в комиссии приглашены высококвалифицированные, опытные педагоги и ученые, в частности работники Московского университета. Коллективом авторов подготовлены и уже увидели свет учебники алгебры и геометрии для шестых и седьмых классов. В минувшем учебном году завершена апробация учебников "Алгебра-6" и "Геометрия-6"; на материале накопленного опыта производится корректировка их содержания. Разработаны и изданы новые задачники по этим предметам, а также методические рекомендации для учителей. Главное, что характеризует все эти новые пособия,- большая доступность изложения без снижения научного уровня предмета, приближение содержания к потребностям современного производства, к жизни. В Центральном институте усовершенствования учителей Министерства просвещения РСФСР этим летом состоялся семинар преподавателей, осуществляющих начатый эксперимент.
Аналогичный эксперимент проводится в Харьковской области. В основу его положен новый учебник геометрии, написанный академиком А.В. Погореловым и одобренный как специалистами-математиками, так и экспертами-педагогами.
В порядке временной меры возобновлено издание - в качестве книги для учителя - классического школьного учебника математики А.П. Киселева, хорошо зарекомендовавшего себя на протяжении многих десятилетий.
Обо всей этой работе докладывалось Министерству просвещения СССР.
"Не должна быть повторена предшествующая ошибка, - говорит министр просвещения РСФСР А.И. Данилов, - поэтому без хорошо продуманного, всесторонне взвешенного массового педагогического эксперимента, в ходе которого обеспечивается строгий контроль (чего не было при внедрении критикуемой ныне программы), нельзя говорить о кардинальном обновлении школьного курса. Правда, и один эксперимент, на мой взгляд, не может решить всей проблемы - ведь то, что хорошо зарекомендует себя в опыте, может оказаться далеко не идеальным в широкой практике. Нужны новые разработки и испытания разных подходов, сравнение их в действии, развитие инициативы на местах, привлечение к этому широких кругов педагогической общественности, научное обобщение накапливающегося опыта. Наконец, следует помнить и то, что новизна не единственный и не главный критерий совершенствования чего-либо. Основное, чем мы должны руководствоваться, - это истинность и целесообразность, исходя из потребностей объективного развития нашего общества с учетом всего положительного, жизнеспособного, чем богата наша практика".
Министерству просвещения СССР, Академии педагогических наук СССР предстоит сделать из всего изложенного соответствующие выводы. Необходимо в кратчайшие сроки выработать конкретный план мероприятий по решительному улучшению дела, причем вынести этот план на открытое обсуждение научной и педагогической общественности и обеспечить высокую меру ответственности за реализацию его.
Качество школьного образования - важнейшая предпосылка эффективности подготовки кадров для всех отраслей народного хозяйства и культуры.