М1651. Найдите а) наименьшую, б) наибольшую возможную площадь фигуры, все проекции которой на оси Ox, Oy и прямую x=y суть отрезки единичной длины.

М1655. Существуют ли 1998 различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых делится нацело на квадрат их разности?

Ф1659. Тележка массой m движется по горизонтально расположенным рельсам со скоростью v. Рельсы дальше идут вниз и плавно переходят в новый горизонтальный участок, находящийся на H ниже. Тележка наезжает на неподвижный вагон массой M, стоящий на нижнем горизонтальном участке, и между тележкой и вагоном происходит абсолютно упругий удар. При какой начальной скорости v тележка после удара вновь сможет подняться на верхний горизонтальный участок?

Решения задач из № 2,3 (1998):

М1632. Некоторые грани кубика белые, а некоторые черные. Площадь его грани равна площади грани шахматной доски. Кубик поставили на одну из клеток и прокатили по доске так, что он побывал на каждой клетке ровно по одному разу. Могло ли случиться, что все время цвета клетки и соприкасающейся с ней грани совпадали?

(Ответ: нет, не могло)

Ф1648. В сосуде объемом 100 л находится воздух при нормальных условиях. Снаружи  - вакуум. В стенке сосуда на время 1 с открывается небольшое отверстие площадью 0,1 см² и сразу после этого закрывается. Оцените количество вылетевших за это время молекул и их суммарную энергию. Кстати заметим, что воздух— смесь двухатомных газов.

(Ответ: 3,5·10²²; 460 Дж) 

Веселые задачи для младших школьников

Радиус переднего колеса едущего трактора равен 25 см. За секунду оно совершает 2,5 оборота. Диаметр заднего колеса равен 125 см. Сколько оборотов оно сделает за одну секунду?

Президент Анчурии устроил пресс-конференцию по случаю своего дня рождения. Собравшиеся журналисты были знакомы друг с другом и все обменялись рукопожатиями. Когда вошел президент, он обменялся рукопожатиями с теми журналистами, с которыми он был знаком. В результате всего было сделано 80 рукопожатий. Сколько было журналистов и со сколькими был знаком президент?

Условия задач “Задачника “Кванта”:

М1662. Может ли куб натурального числа начинаться с 1998?

М1663. Биссектрисы вписанного четырехугольника образуют в пересечении выпуклый четырехугольник. Докажите, что диагонали полученного четырехугольника перпендикулярны.

Ф1670. Комната площадью S = 20 м² с высотой потолка H = 3м заполнена воздухом при нормальных условиях. Оцените число ударов молекул о потолок за время t = 1 ч. Куда чаще ударяют молекулы -  в пол или в потолок комнаты? Оцените разность чисел ударов молекул о пол и о потолок за время t. Считайте температуру воздуха в комнате повсюду одинаковой.

Решения задач из № 3,4 (1998):

М1639. Путешественник посетил селение, в котором каждый человек либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Жители селения стали в круг, и каждый сказал путешественнику про соседа справа, правдив тот или лжив. На основании этих сообщений путешественник смог однозначно определить, какую долю от всех жителей составляют правдивые. Определите и вы, чему она равна.

(Ответ: 1/2)

Ф1653.С балкона бросают камешки через равные интервалы времени и без начальной скорости. К моменту, когда первый камешек упал на землю, следующий пролетел ровно половину пути. Какую часть пути пролетел к этому моменту третий камешек? Сколько камешков было в полете непосредственно перед ударом первого камешка о землю?

(Ответ: 0,17h; четыре)

Ф1656. В вершинах правильного треугольника со стороной a находятся три маленьких заряженных тела. Одно из них закреплено, два других -  масса каждого из них m, заряд q - свободны. Какой заряд надо поместить на закрепленное тело, чтобы при отпускании двух других их ускорения оказались минимальными? Чему будет равна величина этого ускорения?

(Ответ: –q / 2; kq cos30° / md ²)

Веселые задачи для младших школьников:

Буратино хочет купить букварь, но ему не хватает 18 сольдо. На этот же букварь Мальвине не хватает 7 сольдо, а Пьеро - 10 сольдо. Могут ли Пьеро и Мальвина купить один букварь на двоих?

Король обошел все поля шахматной доски, побывав на каждом по одному разу. Когда соединили центры полей, по которым он последовательно проходил, получилась ломаная линия без самопересечений. Найдите наибольшее возможное число диагональных ходов в маршруте короля.