№ 3, 2003 г.

© В.М. Тихомиров

ВОПРОСЫ   ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
В   ТВОРЧЕСТВЕ   А.Н. КОЛМОГОРОВА

В.М. Тихомиров

Владимиру Игоревичу Арнольду принадлежат такие слова: "Колмогоров - Пуанкаре - Гаусс - Эйлер - Ньютон: всего пять таких жизней отделяют нас от истоков нашей науки". Приведём даты жизни этих великих учёных: Ньютон (1643-1727), Эйлер (1709-1783), Гаусс (1777-1855), Пуанкаре (1854-1912), Колмогоров (1903-1987). Мы видим, что каждый следующий в этом ряду хоть немного, но был современником предыдущего, что это действительно - непрерываемая жизненная нить. Пять жизней - сколь малый это срок и какая беспредельность свершений выпала на этот ничтожный исторический период. Ньютон, Эйлер, Гаусс и Пуанкаре - это исполинские вехи на пути развития естествознания. И Андрей Николаевич Колмогоров находится в этом ряду.

Ещё на заре своей творческой жизни он был одержим "смутным желанием заниматься математикой, имеющей выходы в физику и естествознание". И таких "выходов" оказалось великое множество. О некоторых наиболее существенных хочется вспомнить здесь в год его столетнего юбилея.

Одним из центральных вопросов естествознания является вопрос об устройстве Солнечной системы (и её возможном происхождении). Ньютон был первым, кто постиг законы движения планет. Над разрешением этого вопроса бились и Эйлер, и Гаусс, и Пуанкаре и многие, многие другие учёные. Один из центральных вопросов теоретической астрономии и одна из фундаментальных загадок естествознания звучит так: может ли система, подобная Солнечной, существовать вечно? Или неизбежно (на множестве полной меры начальных данных, т.е. "почти всегда") эволюция подобных систем завершается катастрофой? В 1953 году Андрею Николаевичу было суждено сдвинуть с мёртвой точки эту великую проблему.

О том, как это произошло Колмогоров рассказывал В.И. Арнольду:

"Главное было то, что в 1953 году появилась надежда. От этого я почувствовал какой-то необыкновенный подъём. О задачах небесной механики я думал давно, с детства, с Фламмариона, а потом, читая Шарлье, Биркгофа, механику Уиттеккера, работы Крылова и Боголюбова, Шази, Шмидта. Несколько раз пытался, но не получалось. А тут начало получаться".

Я надеюсь, что читателям журнала "Вопросы истории естествознания и техники" не надо представлять знаменитых астрономов Камилла Фламмариона (1842-1925) (думаю, что у многих это имя вызовет светлые воспоминания о его книгах, прочитанных в детстве), Карла Шарлье (1862-1934), выдающихся математиков Джорджа Биркгофа (1884-1944) и Эдмунда Уиттекера (1873-1956), академиков Николая Митрофановича Крылова (1879-1955), Николая Николаевича Боголюбова (1909-1992) и 0тто Юльевича Шмидта (1891-1956). Жак Шази - знаменитый французский учёный, член Парижской Академии Наук. В сороковые годы происходил заочный спор Шази и Шмидта о финальных движениях в задаче трёх тел, спор, который был разрешён (в пользу Шмидта) учениками Андрея Николаевича.

Духовный подъём наступивший в жизни Колмогорова в 1953 году привёл к созданию нового метода доказательства теорем существования, который (будучи дополненным вкладом В.И. Арнольда и Ю. Мозера) получил название КАМ-теории (теории Колмогорова-Арнольда-Мозера).

Создание КАМ теории привело к существеннейшим сдвигам в этом круге вопросов. Задача описания движений систем близких к интегрируемым системам классической механики восходит к Ньютону. Лаплас делал первые шаги в разрешении проблемы устойчивости подобных систем, применяя теорию возмущений. Комментируя работы А.Н. Колмогорова В.И. Арнольд пишет, что Пуанкаре,

"проанализировав многочисленные попытки обоснования и усовершенствования рассуждений Лапласа, даёт проблеме современную формулировку [...] и называет её основной проблемой динамики [...]. Комментируемые работы Колмогорова решают эту задачу для большинства начальных данных в случае общего положения".

Расскажем попутно о завершении исследований по финальным движениям трёх тел. Само обращение к этой проблематике Колмогорова было вызвано его контактами с О.Ю. Шмидтом.

Напомню: проблема финальных движений трёх материальных точек состоит в описании поведения этих точек, взаимодействующих между собой по закону всемирного тяготения Ньютона, при t ® -¥ и при t ® ¥. Простейшие случаи (когда все расстояния между телами остаются ограниченными или, когда, наоборот, все расстояния стремятся к бесконечности и в ту и в другую сторону) были известны ещё Ньютону. Первые примеры "простых невозможностей" были обнаружены ещё во времена Лапласа. Сама задача в явной форме была поставлена Якоби.

К тому моменту, когда А.Н. Колмогоров предложил своему студенту-четверокурснику Володе Алексееву курсовую работу на тему "финальные движения в задаче трёх тел", оставались логически допустимыми следующие возможности (все они реализуются во взаимоотношениях между людьми): обмен (звезда прилетает и отрывает от другой звезды её спутника); частичный захват (три звезды приближаются друг к другу из бесконечности, две образуют двойную звезду, а третья улетает); полный захват (двойная звезда захватывает третью, прилетевшую из бесконечности); захват в осцилляцию (тело прилетает к двойной звезде и начинает затем осциллировать), двойная осцилляция (т.е. осцилляция в прошлом и в будущем) и, наконец, переход из ограниченного движения в осцилляцию. Всего же число возможностей равнялось десяти.

Классификацию всех этих комбинаций дал знаменитый французский астроном академик Ж. Шази, который занимался этой проблемой в течение нескольких десятилетий.

Теория Шмидта о происхождении Солнечной системы основывалась на возможности захвата астероида планетной системой, а такая возможность отрицалась Шази. Теория финальных движений была завершена Колмогоровым и его учениками (В.М. Алексеевым, В.И. Арнольдом и К.А. Ситниковым). Все возможности оказались реализуемыми.

Весьма значителен вклад А.Н. Колмогорова в разработку теории случайных процессов. В 1931 году выходит его выдающаяся работа "Аналитические методы в теории вероятностей". В статье, посвящённой пятидесятилетию А.Н. Колмогорова, П.С. Александров и А.Я. Хинчин писали: "Во всей теории вероятностей XX столетия трудно указать другое исследование, которое оказалось бы столь основополагающим для дальнейшего развития науки и её приложений, как эта работа Андрея Николаевича". Замечательна по своей простоте и глубине исходная методологическая позиция автора. Исследование детерминированных процессов, в которых начальное положение системы в фазовом пространстве определяет дальнейшую эволюцию системы, дополняется исследованием случайных процессов в которых, по словам автора статьи "состояние х системы в некоторый момент t₀ обусловливает лишь известную вероятность для наступления возможного состояния у в некоторый последующий момент t > t₀". Это рассмотрение приводит А.Н. Колмогорова к определению марковского процесса. Он выписывает в общей форме интегральное уравнение, которое в частных случаях было получено Смолуховским. Из этого интегрального уравнения выводятся прямые уравнения (уже встречавшиеся в трудах таких крупнейших физиков, как Планк, Эйнштейн, Фоккер и Смолуховский) и обратные уравнения, которые не были известны физикам. В работе Колмогорова воссоединяются теория теплоты, идущая от Фурье, теория броуновского движения Эйнштейна-Смолуховского, описание случайных блужданий Маркова, а также идеи Башелье и Винера, которые построили первые модели случайных процессов.

В связи с теорией марковских процессов Колмогоров имел плодотворные контакты с физиками (С.И. Вавиловым, М.А. Леонтовичем и др.). В работе "К вычислению средней броуновской площади", написанной совместно с М.А. Леонтовичем, была решена задача, поставленная С.И. Вавиловым. Андрей Николаевич любил подчёркивать, что в этой совместной работе с Леонтовичем, ему принадлежит физическая часть, а Леонтовичу - математическая.

Физическая интуиция, отчётливое понимание физической картины незатухающих колебаний процессов с непрерывным спектром, послужили путеводной звездой для создания Колмогоровым теории стационарных случайных процессов. Стационарные процессы, то есть процессы, вероятностные характеристики которых остаются постоянными во времени, являются идеализацией огромного числа стохастических явлений в природе (в атмосфере, в океане и т.п.), они постоянно встречаются в технических приложениях, например, в радиотехнике. Одна из актуальнейших естественнонаучных и технических проблем - проблема прогноза поведения процесса по наблюдению за поведением процесса в течение какого-то времени - была разработана Колмогоровым и Винером. Винер считал эту теорию одним из крупнейших своих достижений и с некоторым чувством горечи признавал приоритет Колмогорова в этой области.

Исследование случайных процессов привели Колмогорова к проблемам турбулентности. Его работы в этом направлении развивали феноменологические исследования крупнейших механиков прошлого столетия Джефри Тейлора и Теодора фон Кармана. Труды Колмогорова совершенно преобразили теорию турбулентности и оказали большое влияние на всё дальнейшее развитие этой области естествознания. Представление об этом можно получить из монографии известного французского учёного Уриела Фриша, переведённой на русский язык и вышедшей из печати в 1998 году. Она называется "Турбулентность. Наследие Колмогорова". В этой книге есть такие слова: "Глубже всех проник в суть турбулентности именно Колмогоров - математик, обладавший страстным интересом к живой действительности". Библиография книги Фриша содержит более 600 работ последователей Колмогорова. Но это только малая часть тех исследований, в которых развивается теория Колмогорова. Среди последователей Колмогорова в этой области такие крупные учёные в прикладных областях знаний, как Михаил Дмитриевич Миллионщиков, Андрей Сергеевич Монин и Александр Михайлович Обухов. Трудно сомневаться в том, что если бы наша научная общественность вовремя озаботилась бы представлением работ Колмогорова на Нобелевскую премию, он был бы удостоен этой награды.

Очень значительный вклад в естествознание внесли исследования Колмогорова, инициированные биологической тематикой.

В 1932 году директор института экспериментальной биологии, выдающийся советский биолог Н.К. Кольцов организует при институте небольшую эволюционную "бригаду" (как мы сейчас скажем - лабораторию по проблемам эволюции). Возглавил её Д.Д. Ромашов, товарищ Колмогорова по гимназии. Андрей Николаевич принимает живое участие в работе лаборатории. По его советам Д.Д. Ромашов привлекает к работе в лаборатории в качестве консультантов В.И. Гливенко, А.А. Ляпунова и Н. В. Смирнова, а у самого Андрея Николаевича возникают плодотворные научные контакты с А.С. Серебровским, Н.П. Дубининым, А.А. Малиновским, Д.Д. Ромашовым и другими биологами. Занятия биологией приводят его к разрешению ряда проблем математической биологии.

В 1937 году А.Н. Колмогоров, совместно с И.Г. Петровским и Н.С. Пискуновым публикует статью "Исследование уравнения диффузии, соединённой с возрастанием количества вещества и его применение к одной биологической проблеме". Эта работа получила необычайно далекое развитие в разнообразных проблемах естествознания (в частности, в теории теплового распространения пламени, начала разработки которой принадлежали Я.Б. Зельдовичу и Д.А. Франк-Каменецкому, в теории горения и взрыва, теории распространения нервных импульсов и др.). Очень интересно отметить, что и здесь, как и в работе с Леонтовичем, Колмогорову принадлежало описание физической модели, а математическая теория была разработана, в основном, его соавторами. Колмогоров говорил при этом, что наглядным физическим процессом для описания биологической модели послужило распространение пламени в бикфордовом шнуре. ("Я же видел, как горит бикфордов шнур!" - говорил Андрей Николаевич, и отправляясь от этого зрительного впечатления, он придумал дифференциальное уравнение, решение которого распространяется, сохраняя форму с постоянной скоростью.)

В 1940 году вышла статья Андрея Николаевича Колмогорова, озаглавленная "Об одном новом подтверждении законов Менделя".

В те годы развернулась дискуссия между генетиками и лысенковцами по поводу справедливости законов Менделя. Лысенко и Н.И. Вавилов попросили своих сотрудников Н.И. Ермолаеву и Т.К. Енина проделать опыты Менделя, чтобы опровергнуть (эта задача стояла перед Ермолаевой) и подтвердить (это должен был сделать Енин) теорию Менделя. И оба исследователя "справились" со своей задачей. Андрей Николаевич занялся исследованием материалов обеих статей. В преамбуле к своей статье он пишет:

"Менделевская концепция не только приводит к простейшему заключению о приближенном соблюдении отношения 3:1, но дает возможность предсказать, каковы должны быть в среднем размеры уклонений от этого отношения. Благодаря этому как раз статистический анализ уклонений от отношения 3:1 даёт новый, более тонкий и исчерпывающий способ проверки менделевских представлений о расщеплении признаков. Задачей настоящей заметки является указание наиболее рациональных по мнению автора, методов такой проверки и их иллюстрация на материале работы Н.И. Ермолаевой. Материал этот, вопреки мнению самой Н.И. Ермолаевой, оказывается блестящим новым подтверждением законов Менделя".

(Андрей Николаевич рассказывал, что опыты Ермолаевой были вполне добросовестными, потому и дали новое блестящее подтверждение законов Менделя, а Енин слишком рьяно желая подтвердить эти законы, по-видимому, много браковал некоторые результаты эксперимента и получил слишком хорошие результаты. Это А.Н. сформулировал в своей статье так: "Намёк на такую систематическую чрезмерную близость частот к m/n к 3/4 имеется в материалах работы Т.К. Енина".)

Биологические проблемы стимулировали Колмогорова к разработке теории ветвящихся процессов. Ученик Андрея Николаевича, крупнейший наш специалист по теории ветвящихся процессов Борис Александрович Севастьянов пишет:

"Общее понятие и сам термин «ветвящегося случайного процесса», сразу ставший общепринятым, были явно высказаны А.Н. Колмогоровым на руководимом им семинаре в МГУ в 1946/47 уч. г. Отдельные задачи, связанные с простыми моделями ветвящихся процессов, рассматривались и раньше. В частности, одна из таких задач решалась Колмогоровым в более ранней работе ["К решению одной биологической задачи" (1938)]. В настоящее время имеется несколько монографий, посвящённых ветвящимся процессам [...] Модель [Колмогорова] ветвящихся процессов оказалась очень богатой как по количеству полученных результатов, так и по возможным приложениям к биологии, химии, физике, технике".

В работах, включённых Андреем Николаевичем в собрание своих избранных сочинений, содержатся и другие его работы по естественнонаучным проблемам, например, в кристаллографии и геологии.

Естественно-научное творчество Андрея Николаевича Колмогорова вошло в золотой фонд науки двадцатого столетия.