VIVOS VOCO: А.Т. Фоменко, "О движении жидкости"

О ДВИЖЕНИИ ЖИДКОСТИ

А.Т. Фоменко
Доктор физико-математических наук (ныне академик РАН)
Рисунки автора

Поток жидкости - завораживающее зрелище. На протяжении многих веков течение воды рождало мысли об изменчивости мира, о невозможности "дважды войти в одну и ту же воду". И философы, рассуждая о движении материи, не раз сопоставляли поток жидкости с потоком времени, которое как бы уносит в прошлое быстротекущие события...

Альбрехт Дюрер в знаменитой гравюре "Меланхолия" на удивление емко воссоздал образ временного потока, в который погружены предметы материального мира и человек. Рядом с песочными часами Дюрер поместил "магический квадрат", составленный из целых чисел, сумма которых по строкам, столбцам и диагоналям одна и та же. Можно предположить, что такое соседство подчеркивает загадочность, магию самого понятия времени и процесса его протекания. Надо сказать, что и современная наука (прежде всего физика) уделяет немалое внимание тому, как меняются со временем свойства объектов, в том числе потоков жидкостей, о которых пойдет речь в этой статье.

КАК ЧАСТИЦЫ ДВИЖУТСЯ ПО ПОВЕРХНОСТИ

Представьте себе в пространстве некую поверхность, изготовленную из твердого материала, скажем, из жесткой пленки; пусть это будет идя простоты плоскость, сфера или тор, то есть бублик (рис. 1). Предположим далее, что наша поверхность двойная: она состоит из двух тонких листов, очень близко расположенных и притом прозрачных, так что мы можем видеть, что происходит между ними. Образовавшуюся полость заполним жидкостью и придадим ей некоторое движение; так возникает поток.

Сделаем еще один шаг и постараемся забыть о двух листах, из которых изготовлена поверхность (например, будем считать их бесконечно тонкими и бесконечно близкими). В таком случае можно заставить течь поток жидкости по любой поверхности, причем он будет все время оставаться на ней, как бы притягиваясь; физические силы в данном случае не имеют для нас значения.

Поток жидкости удобно изображать следующим образом. Свяжем с каждой ее частицей вектор, или, проще говоря, стрелку, направление и величина которой показывают скорость частицы в данный момент. При таком соглашении поток жидкости изобразится векторным полем на поверхности (рис. 2). Этот термин означает, что в каждой точке торчит вектор, который касается поверхности.

Такое поле векторов называют также полем скоростей, имея в виду аналогию с потоком жидкости, текущей по поверхности, хотя, разумеется, это лишь частный случай или, может быть, иллюстрация. При движении каждая частица прочерчивает на поверхности некоторую траекторию, и можно - во всяком случае, мысленно - нарисовать на поверхности все эти траектории. Тогда мы получим наглядную картину движения потока в целом.

В теории дифференциальных уравнений такие траектории называют интегральными, или линиями тока. Ясно, что терминология заимствована из гидродинамики, хотя всякий, кто сталкивался с дифференциальными уравнениями, знает или догадывается об универсальности этого математического инструмента. Любое векторное поле, то есть поле скоростей, описывается системой так называемых обыкновенных дифференциальных уравнений. Следовательно, математические результаты можно переформулировать в теоремы о свойствах некоторых векторных полей и сопоставить совершенно абстрактные понятия с течением жидкости.

ИСТОЧНИКИ, СТОКИ И ПРОЧИЕ СИНГУЛЯРНОСТИ

Поток жидкости на поверхности может иметь (но может и не иметь) источники и стоки. Вряд ли требует особых пояснений, что источник - это точка, из которой жидкость вытекает, а сток - точка, в которую она стекает. Это из ряда вон выходящие, особые или, как говорят, сингулярные точки векторного пространства.

На рис. 3 показаны простейшие особые точки. Точка типа 3,а - со всей очевидностью сток, типа 3,б - источник, в котором появляются частицы жидкости и начинают двигаться прочь от нее. На рис. 3,в изображена седловая точка, которая образуется при столкновении двух встречных потоков, а на рис. 3,г - завихрение (частицы движутся по окружностям с общим центром).

Приведенные примеры особых точек элементарны. Многие потоки жидкостей содержат гораздо более сложные сингулярности. Для примера на рис. 4,а показана картина потока жидкости в окрестностях вырожденного седла, которое образуется при столкновении не двух, а сразу нескольких потоков. Чтобы представить себе это более наглядно, проследите за направлениями стрелок на рисунке. Еще один вариант течения - на рис. 4,б. Здесь каждая линия тока, выходящая из особой точки, спустя некоторое время в нее же и возвращается. Подобная, но еще более сложная картина - на рис. 4,в. Наконец, рис. 4,г изображает обтекание диска (или шара) набегающим на него потоком жидкости.

При огибании диска линии тока вблизи него искривляются; но откуда взялись какие-то линии и даже особая точка внутри диска? Дело в том, что картина обтекания диска или шара описывается математической функцией, которая может быть единственным образом продолжена вовнутрь; это продолжение и показано на рисунке 1 Такое "формульное описание" потоков жидкости исключительно важно для их тщательного исследования, поскольку позволяет применять не только экспериментальные наблюдения, но и мощные средства современной математики. До сих пор мы обсуждали свойства потоков лишь в "конечной

частиц плоскости, не обращая внимания на то, что происходит, когда частицы жидкости уходят в бесконечность. Скажем, поток на рис. 4,г вытекает из бесконечности слева, набегает на диск, обтекает его и уходит в бесконечность направо. При этом вдали от диска он изображается линиями тока, практически параллельными. Иными словами, диск, помещенный в поток, вносит искажения только в непосредственной близости. На достаточном удалении поток "не чувствует" преграды, он остается равномерным и параллельным.

Добавим к плоскости для удобства одну бесконечно удаленную точку и тем самым превратим плоскость в сферу (подобную процедуру в картографии называют стереографической проекцией). Тогда появляется возможность нарисовать поток с учетом его поведения в бесконечности, или, как говорят математики, изучить его асимптотические свойства. Результат показан на рис. 5. Обратите внимание: на сфере картина потока выглядит более симметричной, нежели на плоскости. Сфера разбита меридианом и параллелью на четыре дольки, и в каждой в точности та же картина течения. Значит, проделанная нами операция, именуемая "приклейкой бесконечности", позволяет обнаружить скрытые ранее симметрии в движении жидкости. Теперь она течет не по плоскости, а по сфере, и вместо трех особых точек стало четыре.

Таким же образом можно изобразить на сфере другие потоки. Например, 3,а - он превратится в поток 6,а, напоминающий систему меридианов на земном шаре. Жидкость вытекает из северного полюса, стекает вдоль меридианов и исчезает в южном полюсе. Поток, изображенный на рис. 4,б, превратится в поток 6,б, а поток 3,г-в поток 6,г (система параллелей на земном шаре).

Но еще более любопытные трансформации происходят с потоками 4,а (обращается в 6,в) и 4,в (6,д). Изначальные потоки, казалось бы, совсем непохожи, но при отображении на сфере они практически совпадают. Чтобы их совместить, достаточно перевернуть одну из сфер так, чтобы северный и южный полюс поменялись местами. Это еще раз демонстрирует преимущества "приклеивания бесконечности": оно обнаруживает скрытые симметрии в течении жидкостей.

УСТОЙЧИВОСТЬ И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ

Потоки жидкости, текущие по поверхности, реагируют на внешние возмущения неодинаково. В первом приближении их можно разделить на два типа. Одни сопротивляются любому малому внешнему воздействию и, после того как возмущение устранено, возвращаются к прежнему состоянию. Такие потоки естественно назвать устойчивыми. Напротив, течение будет неустойчивым, если можно подобрать такое малое возмущение, которое разрушит его структуру, и она станет качественно иной.

Некоторые из потоков, которые мы изображали, устойчивы, а некоторые - нет. Так, на рис. 3,а,б и в - устойчивые потоки: при малых возмущениях траектории лишь немного искривятся, но не изменят своего характера. В то же время потоки 4,а,б и в решительно неустойчивы, и не составит труда указать возмущения, которые качественно изменят их структуру. Например, особая точка потока 4,а распадается в сумму более простых особых точек (7,а), а особая точка потока 4,б уже при малом возмущении превратится в две (7,б). Единственная особая точка 4, в при тех же обстоятельствах превратится в набор из пяти более простых особых точек, изображенных на рис. 7,в.

Движение твердого тела удается описать, задавая некоторое движение точки по обычной сфере. Эта точка прочерчивает на поверхности довольно сложное семейство кривых. С течением времени линии заполняют сферу, но неравномерно - на некоторых участках более плотно, на некоторых менее плотно

Какие же потоки встречаются на практике чаще - устойчивые или неустойчивые? Вне всяких сомнений, первые. Математически вполне точно можно сказать, что наугад взятый поток будет иметь лишь устойчивые сингулярности. Потоков же с нестабильными сингулярностями настолько мало, что их невозможно указать, наугад ткнув пальцем в некоторый перечень потоков жидкости. Только с помощью специальных ухищрений можно создать неустойчивый поток.

Поверхности уровня многомерных интегралов бывают весьма сложными. Здесь показана двумерная поверхность (совместная поверхность уровня двух интегралов), которая подвергается непрерывной деформации в четырехмерном пространстве. При изображении процесса в обычном трехмерном пространстве приходится игнорировать одно измерение, и это неизбежно усложняет картину

КАК ИЗУЧАЮТ ПОТОКИ

Современная математика располагает для этого многочисленными средствами разной степени сложности и наглядности. Остановимся только на одном из них, пожалуй, наиболее зримом.

Чтобы получить представление о потоке, надо хотя бы качественно описать, как распределяются в нем линии тока (интегральные траектории). Они могут быть весьма запутанными, но бывают и простыми - скажем, как на рис. 3. Легче других поддаются анализу потоки, которым присуще свойство интегрируемости. Вкратце поясним это понятие.

Безусловно, удобнее всего, когда движение каждой частицы жидкости можно описать явными формулами, то есть задать их координаты как функции времени. Тогда мы можем сказать в каждый момент, где находится интересующая нас частица. Такие случаи действительно встречаются, но не так уж часто, а именно тогда, когда система дифференциальных уравнений, соответствующая потоку, достаточно проста. Большинство же потоков не предоставляет такой возможности. Тогда приходится довольствоваться более грубыми, но тем не менее вполне эффективными способами. Хотя бы таким: представить траектории в виде линий уровня какой-либо функции, заданной на поверхности, по которой течет жидкость. Напомним, что линия уровня -это такая линия, на которой функция постоянна, то есть принимает одно и то же числовое значение. Если эта функция существует, ее называют интегралом потока.

Вернемся еще раз к рис, 3,в и 3,г. Для изображенных на них потоков интегралы можно найти. Взгляните на графики двух функций (рис. 8): на том, что слева, есть седловая точка, или точка перевала; на графике справа - точка минимума. Чтобы получить линии уровня функций, рассечем эти графики плоскостями, параллельными горизонтальной плоскости. Тогда мы получим системы линий; если спроектировать их на плоскость (что и сделано на рисунке), то получатся, собственно говоря, линии тока с рис. 3,в и 3,г.

Подобным образом можно представить и линии тока с рис. 4,а, но для этого придется подобрать функцию с несколько более сложной седловой точкой. Полагаю, что заинтересованный читатель попытается сделать это самостоятельно.

Но далеко не каждый поток жидкости допускает интеграл. Даже для таких простых потоков, как 3,а и 3,б, невозможно подобрать какую-либо "хорошую" функцию с подходящими линиями уровня. И это понятно: если бы пучок радиусов, исходящий из начала координат, оказался семейством таких линий, то функция неизбежно была бы постоянной, поскольку все линии исходят из одной точки.

Итак, при изучении потока жидкости - или, что то же, системы дифференциальных уравнений - в первую очередь надлежит решить вопрос, имеет ли поток хотя бы один интеграл. А когда система многомерна, когда потоки текут не по двумерной, а по многомерной поверхности, то необходимо искать уже несколько интегралов. Вообще же, чем больше интегралов найдено, тем больше можно сказать о свойствах потока.

Поиску интегралов потока посвящено немало математических работ, а основы теории, позволяющей обнаружить критерии интегрируемости и неинтегрируемости, заложил знаменитый французский математик Анри Пуанкаре. Его работы оказались настолько плодотворными и глубокими, что и по сей день они служат источником новых идей. Так, в последние годы были доказаны глубокие теоремы, которые позволяют конструировать интегралы для многих важных потоков, встречающихся в физике и механике. Сложность задачи подчеркивается тем обстоятельством, что интегрируемые потоки чрезвычайно редки и наугад взятый поток заведомо не имеет достаточного числа интегралов...

Но если большинство потоков, распространенных в природе, сложны настолько, что не могут быть описаны на языке функций, то стоит ли вообще заниматься поиском интегралов? Да, стоит, и прежде всего потому, что те потоки жидкости, которые важны для физики и механики, как раз интегрируемы, хотя и не всегда.

Обнаружение этого факта нетривиально в каждом отдельном случае и требует применения новейших методов геометрии и топологии. И это - далеко уже не в первый раз - напоминает нам о глубоких связях между естествознанием и математикой.

ГЕОМЕТРИЯ И МЕХАНИКА

Напоследок - иллюстрация.

В теории интегрируемых потоков особняком стоит случай, весьма распространенный, когда многомерная поверхность, по которой течет поток, расслаивается на семейство торов. При этом каждая частица навсегда остается на своем торе и продолжает движение, не покидая его. На этих торах поток изображается довольно простым образом: его интегральные траектории образуют прямолинейную обмотку, витки которой параллельны и подобны друг другу.

Такие потоки и торы называются лиувил-левыми, по имени известного французского математика. Не вдаваясь в детальное описание, рассмотрим три конкретных примера, обратившись для этого к рис. 9, на котором показаны прямолинейные обмотки тора в трех разновидностях. Частицы жидкости движутся равномерно по параллелям тора (9,а), по меридианам (9,б) и наискосок, обматывая тор, словно нитка катушку (9,в). Траектории могут замыкаться - и в этом случае говорят о периодическом движении, но могут оставаться разомкнутыми (условно-периодическое движение). В последнем случае каждая отдельно взятая интегральная траектория наматывается на тор настолько плотно, что какое-то время спустя она непременно пройдет сколь угодно близко к любой наперед заданной точке тора.

Оказывается, что поток ведет себя таким образом в том случае, если у него есть достаточно много интегралов, удовлетворяющих некоторому простому условию, на котором вряд ли надо здесь останавливаться. Поэтому ограничимся примером.

Современная механика отводит важную роль уравнениям движения многомерного твердого тела в поле силы тяжести, или в отсутствие такого поля, или в несжимаемой жидкости (в простейшем случае - в обычном пространстве). Задача о движении волчка - тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки - едва ли не самая известная в классической механике. Это движение описывается системой дифференциальных уравнений, которая, как мы говорили в начале статьи, может быть представлена некоторым потоком на должным образом подобранной поверхности. Отысканием интегралов этого потока в трехмерном случае занимались выдающиеся математики - Л. Эйлер, Ж.Л. Лагранж, С.В. Ковалевская.

Покажем, как можно изобразить в виде потока жидкости уравнение, которое описывает движение твердого тела вокруг неподвижной точки в отсутствие силы тяжести и при наличии интеграла, то есть в простейшем случае. Оно сводится к уравнению на двумерной поверхности - на эллипсоиде. Чтобы определить линии тока, надо рассмотреть семейство сфер, центр которых связан с центром эллипсоида, и пересечь их эллипсоидом. Возникающее при этом семейство линий (рис. 10) и есть интегральные траектории интересующей нас системы. Следовательно, мы можем наглядно представить реальное движение твердого тела в пространстве.

Недавние исследования советских математиков показали, что в том случае, когда тело имеет более трех степеней свободы и устроено симметрично, наподобие волчка, картина течения аналогична только что описанной: поток остается лиувиллевым. Этот новый результат позволяет описать движение тела не только в пространстве, но и в несжимаемой жидкости.

С древних времен и до наших дней потоки жидкости привлекают внимание ученых и художников. Я хотел рассказать и показать, как формальные математические методы становятся инструментом познания - в данном случае познания одного из красивейших явлений природы.