VIVOS VOCO: Предисловие составителей сборника о Л.В. Канторовиче

Моя научная работа в области математики началась в 1927 году, когда я перешел на 2-й курс университета. Штудируя летом курс анализа Валле-Пуссена, где наряду с классическим анализом изложены основы современной теории функций вещественной переменной, я заметил несколько естественно возникающих в связи с некоторыми положениями книги вопросов и дал их решения. Когда я представил эти небольшие исследования моему учителю профессору Г.М. Фихтенгольцу, оказалось, что большая часть полученного мною известна, но нашлись среди них и некоторые новые результаты. По предложению Григория Михайловича я стал слушать курс и принял участие в его семинаре по теории функций вещественной переменной, который он вел для студентов IV курса.

Общение с руководителем и другими участниками семинаров оказалось для меня весьма плодотворным. В связи с изучением научной журнальной литературы и независимо от нее у меня возникал ряд проблем, которые в конце концов, через неделю, через месяц, через год или через три, находили решение. В области теории функций вещественной переменной и теории множеств лежали мои интересы. Во время аспирантуры я имел возможность ближе познакомиться с некоторыми прикладными науками. В связи с этим, а также в связи с специальным семинаром проф. В.И. Смирнова, в котором я участвовал, мой интерес привлекли некоторые вопросы математики, имеющие непосредственные приложения в инженерных дисциплинах, а через них и в конкретных практических вопросах, а именно приближенные методы анализа. Здесь мною был разработан ряд новых методов, а также совместно с В. И. Крыловым в большой монографии «Методы приближенного решения уравнений в частных производных» было впервые в мировой литературе дано сравнительно полное изложение этого большого круга вопросов.

Когда я начал работу над этой книгой, в 1933 году, в НИИММе был по инициативе В.И. Смирнова начат семинар по функциональному анализу, в котором принял участие ряд профессоров и научных работников университета. В начале его работы никто из нас не был хорошо знаком с недавними крупными достижениями в этой области, в результате которых функциональный анализ оформился как наука, и потому семинар не имел руководителя. Мы шутя сравнивали его с Персимфансом. Сначала мы только изучали и реферировали чужие работы, но вскоре начались работы участников семинара. Первые работы носили несколько «ученический» характер — по тематике они примыкали непосредственно к заграничным работам. Однако затем некоторые участники семинара начали развивать в этой науке свои новые пути и направления. Меня привлекала в функциональном анализе общность его концепций: изучением одного вопроса функционального анализа можно заменить изучение многих конкретных вопросов анализа. Так, теория общих функциональных уравнений охватывает и теорию систем алгебраических уравнений, [и] дифференциальные и интегральные уравнения. Кроме того, вопрос, поставленный в функциональном анализе в абстрактной форме, освобожденный от частностей, встает в обнаженном виде — все трудности его видны, а потому и решение его возможно скорее.

Перспективы развития функционального анализа огромны. На этом именно пути, по-моему, следует ожидать в ближайшее десятилетие перестройки и перевооружения всего математического анализа.

Направление функционального анализа, которому посвящены мои основные работы, состояло в построении теории полуупорядоченных пространств, в систематическом применении ее в функциональном анализе. Работа эта зародилась так. Летом 1935 г., отдыхая в Теберде, я подготовлял специальный курс дескриптивной теории функций, который должен был читать осенью. Размышляя над возможностью изучения функций, значения которых — не вещественные числа, а другие конкретные или абстрактные математические объекты, я встретился с массой трудностей.

В то время как сложение, умножение, понятие предела естественным образом определены для других математических объектов (комплексные числа, векторы, функции, матрицы), расположение (понятия >, <) для них обычно не вводится. Его и нельзя ввести естественным образом, если требовать, чтобы, как для вещественных чисел, из всяких двух элементов один был больше, другой — меньше. Но от этого можно отказаться. Достаточно ограничиться частичным упорядочением, то есть ввести такое понятие лишь для некоторых пар элементов. Естественно, например, считать один вектор больше другого, если все составляющие его больше соответствующих составляющих другого, и не устанавливать никакого соотношения, если это не так. Эта простая мысль сразу показалась мне плодотворной и интересной. Я сделал ряд попыток построения теории подобных частично или полуупорядоченных пространств. Однако, в течение месяца, примерно, эти попытки были неудачны — ни построить «хорошую» теорию, ни найти интересные области ее приложения не удавалось.

Тут мне пришла мысль применить эти построения к объектам, к которым я их еще не применял — к измеримым и суммируемым функциям. Рассмотрение и изучение этих конкретных многообразий позволило мне ответить на стоявшие передо мной вопросы. Мне стало ясно, что наиболее интересно изучать теорию линейных полуупорядоченных пространств и что применение она может найти в функциональном анализе.

Путь был виден. Десять дней упорной работы, и я знал, что имею в руках начало новой интересной теории. Эти исследования я продолжал весь год. В следующем, 1936 г., я читал на эту тему специальный курс в университете. Совокупность исследований по этому вопросу и составила мою работу «Функциональный анализ на основе теории полуупорядоченных пространств», премированную на конкурсе.