№ 11, 1997
- Как разрешить спор о приоритетах?
- Кого считать истинным творцом новых понятий?
- Каковы критерии открытия?
- Кто же открыл фрактал Мандельброта?
Игорь Андрианов,
доктор физико-математических наук
Спор о принадлежности Курильских островов приобретает трагикомический оттенок: как только российские историки находят подтверждение более раннему пребыванию на островах россиян, сразу же японские находят аналогичные свидетельства о японских мореплавателях, и так далее. И те и другие правы, спор не имеет логического разрешения, но это - вопрос политики, где нас уже удивить чемнибудь трудно; гораздо интереснее, что и приоритетные научные вопросы тоже оказываются трудноразрешимыми.
Кто открыл дифференциальное и интегральное исчисления? Лейбниц? Ньютон? Как отмечает российский академик В. И. Арнольд, "интегрирование встречается уже у Архимеда, дифференцирование - у Паскаля и Ферма, связь между обеими операциями была известна Барроу. Что же сделал Ньютон в анализе? Ньютон изобрел ряды Тейлора - основное орудие анализа".
А вот более свежий пример. Недавно на страницах журнала "Mathematical Intelligencer" ("Математический информатор") прошла занятная дискуссия под названием "Кто же открыл фрактал Мандельброта?" Напомним, что фрактальное множество - самоподобная структура- один из "горячих" объектов современной науки. О фракталах неоднократно писал и журнал "Знание - сила", подчеркивая их важную роль в современной нелинейной науке. Подобные объекты были известны довольно давно, но настоящий интерес к ним появился после активной популяризаторской деятельности Бенуа Мандельброта, работающего в корпорации IBM. Именно он ввел название "фрактал", связанное с дробной размерностью подобного необычного объекта, и указал на чрезвычайно широкое распространение этих объектов в нашем мире (приходилось, скажем, читать, что схема линий парижского метро имеет фрактальную структуру).
щелкните по картинкеВ определенном смысле одним из эталонных фрактальных множеств стало изображенное на рисунке множество Мандельброта, которое последний называл "своей подписью". Это связано с простотой описывающей это множество функции, что, в свою очередь, приводит к его универсальности - многие процессы могут быть описаны при помощи этого фрактала.
Мандельброт опубликовал свою работу в конце 1980 года, однако С. Кранц в "Математическом информаторе" указал, что математики Р. Брукс и Дж. Мателски обнаружили это множество и опубликовали соответствующую работу в 1978 году. До тех пор Брукс и Мателски не придавали особого значения своему открытию, но после публикации статьи Кранца и последовавшего не вполне корректного ответа Мандельброта заявили, что их нужно, по меньшей мере, считать соавторами открытия. Ну и пошло-поехало (благодатное поле для психолога!). Еще один исследователь, Дж. Хаббард, также заявил, что множество Мандельброта наблюдал на дисплее своего компьютера в 1976 году, а его аспирант, Ф. Кочмен, ознакомил Мандельброта с этими исследованиями двумя годами позже. Кроме того, Хаббард, Мателски и Брукс предложили считать истинным открывателем множества французского математика Пьера Фату, описавшего его аж в 1906 году. Оказалось также, что и венгерский математик Ф. Рисс опубликовал работу с близкими к обсуждаемым результатами еще в 1952 году.
Возражение Мандельброта: сами по себе определения или даже построения ничего не значат, если вы не смогли сказать, почему это важно, и убедить в этой важности остальных. Поэтому, мол, его претензии на название множества вполне обоснованы.
Пищу для размышлений на эту тему добавила мне статья известного современного гидромеханика и асимптотика Милтона Ван Дайка. Она посвящена корням так называемого метода пограничного слоя, обнаруженным в прошлом веке. Само понятие пограничного слоя сейчас оказывается важнейшим " гидродинамике и газовой динамике и описывает такое явление: влияние вязкости потока, обтекающего тело, например, сферу, сказывается в полной мере лишь в узкой (пограничной) области, а в остальной части пространства этот фактор может не учитываться. Более общо явление пограничного слоя (называемого также скин- или краевым эффектом) заключается в том, что в большей части рассматриваемой области (как правило, вдали от границ) решение уравнений изменяется медленно, а вблизи границ имеет место быстроизменяющееся и сосредоточенное в узкой области состояние.
Традиционно считается, что понятие пограничного слоя явно было введено немецким ученым Людвигом Прандтлем в 1904 году. Правда, сам Прандтль отдавал пальму первенства физику Л. Лоренцу из Копенгагена, в публикации которого в 1881 году встречаются, хоть и в неполном виде, уравнения вязкого пограничного слоя. Поскольку никакого развития эта идея в трудах Л. Лоренца не получила, ученики Прандтля просто выбрасывали упоминание об этих работах в посмертных переизданиях трудов учителя.
Но одним Лоренцем число предшественников не ограничивается. Некоторые авторы предлагают считать создателем теории пограничного слоя самого Пьера Симона Лапласа и вроде бы имеют для этого все основания. Тот рассматривает в четвертом томе своего знаменитого "Трактата о небесной механике", вышедшего в Париже в 1805 году, форму капли ртути, лежащей на горизонтальной стеклянной пластине. Лаплас отмечает большую сложность базового уравнения и предлагает исходить из естественного предположения: силы поверхностного натяжения существенны лишь в узкой области, прилегающей к пластине. В этой области из-за ее узости можно заменить настоящую форму вертикальным отрезком прямой. Форма остальной части области при отбрасывании сил поверхностного натяжения определяется без труда, а затем два упрощенных решения можно срастить и получить полное решение задачи. Занятно, кстати, что решение Лапласа неоднократно переоткрывалось: например, лордом Рэлеем в 1915 году и даже нашим современником С. И. Риенстра - в 1990!
В списке тех, кто использовал идеологию пограничного слоя для решения различных задач до Прандтля,- Герц (контактные задачи), Максвелл (определение вязкости газов), Гельмгольц и Кирхгофф (теория электричества), Рэлей (теория диффракции, теория оболочек), Ляв, Лэмб и Бассет (теория оболочек). Казалось бы, разобраться во всем этом и выделить кого-либо трудно, но в заключении своей статьи М. Ван Дайк делает очень глубокое, на мой взгляд, замечание. Пожалуй, говорит он, во всех рассмотренных случаях следует говорить не о корнях метода пограничного слоя, а о его зернах, причем зернах непроросших, поскольку сами упомянутые работы не имели продолжения в исследованиях их авторов или учеников. И это вовсе не случайно.
Дело в том, что и Лаплас, и другие исследователи считали свои решения искусственными приемами, справедливыми только для данной конкретной задачи, , и не увидели всей стоящей за понятием пограничного слоя общности. Иными словами, не было озарения, инсайта, выхода за конкретную проблему. Конечно, здесь тоже не все так просто, и тот же Л. Прандтль, по-видимому, не до конца понимал всю общность и значение своего открытия и не использовал понятие пограничного слоя даже в родственных задачах гидромеханики, где это было наиболее естественно. И все же именно ему принадлежит решающий шаг в этой области, и именно его мы можем с полным основанием считать творцом понятия пограничного слоя.
Точно так же, думаю, мы можем считать Б. Мандельброта творцом множества Мандельброта, хотя, конечно, предшественников цитировать надо...
Октябрь 1997 |
