---

Беседа четвёртая:

А.Н. ТИХОНОВ. КОРРЕКТНОЕ РЕШЕНИЕ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ

 
ПРАВИЛА ХОРОШЕГО ТОНА В МАТЕМАТИКЕ

В литературном русском языке слово “корректный” (от латинского correctus) означает вежливый, тактичный, учтивый. Математики применяют этот же термин в двух случаях. Во-первых, слово “корректный” в математическом тексте часто заменяет “правильный, верный”, именно в этом смысле оно использовано в названии данной главы. Во-вторых, с появлением в 1932 году статьи известного французского математика Ж. Адамара, сочетание “корректная задача” стало означать в математической физике задачу с “вежливым, тактичным” поведением. Чтобы понять, почему задача может вести себя “невежливо”, обратимся к простому примеру - рассмотрим систему двух линейных алгебраических уравнений

x + 10y = 11, 10x + 101y =111.

Ее единственное решение легко найти: x=1, y=1. Слегка изменим правую часть первого уравнения:

x +  10y = 11,1, 10x + 101y = 111.

Теперь решение выглядит так: x = 11,1; y = 0. Таким образом, небольшое изменение исходных данных задачи привело к резкому изменению ее решения. Системы линейных уравнений с подобным “невежливым” поведением математики называют плохо обусловленными. Заметим, что такая система может описывать некоторый реальный объект, в этом случае коэффициенты и правые части системы являются прямыми результатами измерений или вычислены по таким результатам и, следовательно, известны нам с некоторой погрешностью. Естественно, возникает вопрос, какую практическую ценность может иметь решение подобной системы. И естественный первый ответ - никакой.

Классический пример Адамара показал, что не только системы линейных алгебраических уравнений, но и многие сложные задачи математической физики могут вести себя “невежливо”. Такие задачи казались математическими чудовищами, монстрами, их надо было всемерно избегать. Для того, чтобы выделить класс задач, с которыми можно было спокойно иметь дело с пользой для практики, было введено понятие корректно поставленной задачи.

Исследование всякой количественной задачи обычно заключается в нахождении “решения” z по известным “исходным данным” u, так что z = R(u). Понятие “исходные данные” для задачи математической физики может включать в себя функции и константы, входящие в уравнение, а также в начальные и граничные условия. В общем случае “исходные данные” u можно рассматривать как элемент некоторого метрического пространства U с метрикой r_u. Точно так же “решение” z, объединяющее в себе все то, что нужно найти в задаче, понимается как элемент другого метрического пространства Z с метрикой r_z .

Задачу определения z по u называют корректно поставленной на паре пространств ( Z, U ), если:

1) для всякого u О U существует решение z О Z ;

2) это решение определяется однозначно;

3) задача устойчива на пространствах ( Z, U ), т.е. при малом  изменении u в пространстве U мало меняется z в пространстве Z.

Условия 1) и 2) характеризуют математическую определенность задачи. Выполнение условия устойчивости связывается с возможностью нахождения решения по приближенным исходным данным. Естественно, что задачи, не удовлетворяющие условиям 1) - 3), назвали некорректными.

Хорошим примером некорректной задачи может служить задача дифференцирования функции, известной приближенно. Будем рассматривать “исходные данные” и “решение” как элементы пространства C[a, b] непрерывных функций с метрикой

r_с (x₁,x₂) = max  |x₁(t) - x₂(t)|.

t О [a, b]

Пусть u₁(t) непрерывно дифференцируема и z₁ = du₁ / dt. Положим u₂(t) = u₁(t) +A sin (w t), z₂ = du₂ / dt. Тогда

r_c (u₁,u₂) = max |A sin (w t)| Ј |A|.

Даже если A № 0 очень мало, величина

r_c(z₁, z₂) = max |Aw cos (w t) | = | A | |w |

может быть сделана сколь угодно большой за счет выбора | w |.

В естественнонаучных и технических приложениях часто возникают так называемые обратные задачи. Под обратной будем понимать задачу определения интересующих нас количественных характеристик явления по результатам измерений их косвенных проявлений. Сложность подобных задач состоит в том, что очень разные причины могут приводить к очень близким эффектам, т. е. иметь близкие “косвенные проявления”. Иначе говоря, обратная задача, как правило, некорректна. Возьмем простой, быть может даже вульгарный пример. Какой диагноз должен поставить врач, если известны следующие симптомы: головная боль и тошнота? Солнечный удар, сотрясение мозга, угар, алкогольное или пищевое отравление, переутомление? Типичная обратная задача, вариантов множество, врачу нужна дополнительная информация.

Общее описание обратной задачи в математической форме выглядит так. Интересующий исследователя объект z О Z должен быть найден по его “косвенному проявлению” u О U из уравнения вида Az = u. Здесь А - отображение пространства Z в пространство U (оператор, ставящий в соответствие объекту z его проявление u ). Величина u, как правило, точно неизвестна. Измеряя u, мы находим его приближенное значение u*. И здесь могут возникнуть два осложнения. Во-первых, даже если u и u* очень близки, u* может не войти в множество значений оператора A на пространстве Z, т. е. уравнение Az = u* может не иметь решений. Во-вторых, если такое решение z* найдется, оно может сильно отличаться от искомого элемента z. Это значит, что задача Az = u неустойчива.

Cкажем то же самое несколько иными словами. Решить уравнение Az = u означает получить выражение z = R(u), где R - оператор, обратный А. Его область определения - это множество значений оператора А, его множество значений - пространство Z. Описанные выше неприятности можно выразить так: область D(R) определения оператора R уже, чем пространство U, или сам оператор R неограничен. Последнее означает, что из сходимости последовательности u₁, u₂,..., u_n,... элементов из D(R) к элементу u О D(R) в пространстве U не вытекает сходимость последовательности z₁ =R(u₁), z₂ = = R(u₂),..., z_n = R(u_n),... к z = R(u) в пространстве Z.

Типичным классом некорректных задач математической физики являются задачи, сводящиеся к уравнению Az = u вида

где A(s,t), u(s) - заданные функции, а z(t) надо определить. Это так называемые линейные интегральные уравнения 1-го рода.

Рассмотрим совсем простой пример:

Функция z(t) є 1 этому уравнению удовлетворяет. Ему удовлетворяет и  z(t) = 1 + j (t), где  j (t) - любая определенная на [- 1,1] непрерывная нечетная функция. Таким образом, уравнение (2) имеет бесконечно много решений. Изменим его правую часть:

Как бы мало ни было d, теперь уравнение решений не имеет - при s = 0 его левая часть обращается в 0, а правая равна d > 0.

Кстати, приведенную выше задачу о нахождении производной функции также можно представить в форме (1), если положить

A (s,t) = 1 при s і t, A (s,t) = 0 при s < t,

что дает

ТРУДНЫЕ ВОПРОСЫ

В общий класс обратных задач входят и обратные задачи математической физики. Для того, чтобы понять, как они ставятся, вернемся немного назад. Постановка прямой задачи математической физики содержит уравнение и краевые условия. В исходные данные входит, в частности, некоторый набор функций. Часть из них - это коэффициенты самого уравнения, остальные входят в граничные и начальные условия. Предположим, что некоторые из этих функций неизвестны, а вместо них имеется дополнительная информация о решении прямой задачи. Определение неизвестных функций и составляет предмет теории обратных задач математической физики.

Чаще всего в обратных задачах требуется определить переменные коэффициенты дифференциального уравнения. Само уравнение, как уже говорилось, является математической моделью реального процесса. Коэффициенты уравнения определяются свойствами среды, в которой протекает процесс.

Напомним постановку задачи Коши для уравнения колебаний струны. Рассматривается бесконечная струна из материала с известной плотностью и упругими свойствами, тем самым определен коэффициент a²(x) в исходном уравнении

u_{t t} (x, t) = a²(x) u_{x x} (x, t)     -Ґ < x < Ґ, t > 0

Заданы начальные отклонения j₀ (x) и начальные скорости j₁ (x) точек струны. Требуется найти зависимость u(x, t) смещений точек струны от координаты и времени. При некоторых условиях, наложенных на функции j₀ (x), j₁ (x) и a²(x), решение задачи Коши в пространстве дважды непрерывно дифференцируемых функций существует, единственно и устойчиво. Таким образом, прямая задача корректна.

Пусть теперь переменная по длине плотность струны нам неизвестна, тем самым мы не знаем коэффициента a²(x). Мы хотим определить этот коэффициент по результатам измерения смещений различных точек струны в различные моменты времени. Это обратная задача со всеми вытекающими отсюда последствиями.

Если бы мы могли точно измерить исходные данные u(x_i, t_j), i = 1,2,..., m, j = 1,2,... n, то существование распределения плотности, вызывающей такие смещения, сомнения бы не вызывало. Реально в нашем распоряжении имеются приближенные значения u*(x_i, t_j ), вполне возможно, что они не соответствуют никакому разумному определению плотности. И в том, и в другом случае остается неясным вопрос о единственности и устойчивости решения обратной задачи.

Рассмотренный пример является, разумеется, модельным. Никому не придет в голову измерять плотность струны таким странным способом. Тем не менее, обратные задачи на определение характеристик вещества, в котором протекают физико-химические процессы, вполне естественно возникают во многих областях науки. Система уравнений теории упругости, которая лежит в основе сейсмологии, содержит обычно три параметра - плотность среды и так называемые коэффициенты Ламе. В систему уравнений Максвелла, описывающую электромагнитное поле, входят коэффициенты диэлектрической и магнитной проницаемости и коэффициент электропроводности. В реальной среде эти параметры и коэффициенты являются функциями координат, а измерить их непосредственно часто невозможно. Возникающие обратные задачи, как правило, некорректны.

Таким образом, у математиков уже давно возникли следующие вопросы:

1) что понимать под приближенным решением обратной задачи?

2) как определить приближенное решение, чтобы оно оказалось устойчивым к малым изменениям исходных данных?

3) каков практический алгоритм построения приближенных решений в конкретных задачах?

Исчерпывающих ответов на эти вопросы не было, и вплоть до 60-х годов высшие авторитеты мировой математической физики, вслед за Адамаром, утверждали, что корректность задачи выражает ее физическую определенность и является принципиальным условием для возможности математического моделирования реальных ситуаций. На некорректные задачи смотрели как на досадное недоразумение, а на попытки их решения было наложено математическое вето. Дадим слово авторам последнего.

С. Л. Соболев:
“Решение задачи, некорректно поставленной, в большинстве случаев не имеет практической ценности”. (“Уравнения математической физики”, 1947 г.).

И. Г. Петровский:
“Из предыдущего видно, что для физика (мы всюду понимаем слово “физику” в самом широком смысле) представляют интерес решения задачи Коши только для таких уравнений, для которых эта задача поставлена корректно. Приведенные выше соображения о корректности постановки задачи Коши показывают, что и другие краевые задачи для уравнений с частными производными представляют интерес для естествознания только в том случае, если имеет место, в некотором смысле, непрерывная зависимость решения от краевых условий, корректность постановки задачи”. (“Лекции по уравнениям с частными производными”, 1953 г.).

Р. Курант (США):
“Третье требование, особенно тонкое, необходимо, если мы хотим, чтобы математическая задача описывала действительно наблюдаемые физические явления. В действительности данные задачи нельзя считать строго фиксированными; сам процесс измерения вводит малые ошибки. Например, пространственные или временные координаты всегда задаются в некоторых пределах точности. Поэтому считать, что математическая задача правильно описывает физическое явление, можно только в случае, когда изменение данных задачи в достаточно малых пределах приводит к произвольно малому изменению решения”. (“Уравнения с частными производными”, 1962 г.).

Одним из авторов “вето” был и выдающийся советский математик Андрей Николаевич Тихонов. Учебник по уравнениям математической физики, выпущенный в 1951 году А. Н. Тихоновым и его учеником А. А. Самарским утверждал, что тратить время на некорректно поставленные задачи нецелесообразно. Потребовалось немногим более 10 лет, чтобы, благодаря работам А. Н. Тихонова, мировая математическая наука столь же решительно отказалась от прежней точки зрения.

“Вот уже двадцать пять веков математики имеют обыкновение исправлять свои ошибки и видеть в этом обогащение, а не обеднение своей науки; это дает им право смотреть в грядущее спокойно”, - пишет знаменитый француз Н. Бурбаки.

К середине 60-х годов, когда наука обогатилась его публикациями по некорректным задачам, А. Н. Тихонов был уже всемирно известным математиком, Героем Социалистического труда, автором многих фундаментальных работ. Читателя, возможно, заинтересует, как добиваются подобных успехов. Едва ли можно найти общий ответ: путь в науку у каждого свой. Своим он был и у академика А. Н. Тихонова.

ТОПОЛОГИЯ И ЖИЗНЬ

Родители Андрея Николаевича жили в городе Гжатске Смоленской губернии (ныне этот город носит имя первого в мире космонавта Ю. А. Гагарина). Образования они не имели, семья была бедной. Разруха и голод первых послереволюционных лет заставили их перебраться на Украину. Там Андрей поступил в школу, но учился он недолго. Последовал переезд в Москву, и в 1919 году 13-летний мальчик начал работать конторщиком на Белорусско-Балтийской железной дороге. Порядку, который он навел в конторских бумагах, завидовали даже взрослые коллеги. Андрей Николаевич утверждает, что тот детский опыт впоследствии помог ему, когда через много лет пришлось продумывать вопросы построения автоматизированных систем управления.

Образование Андрей продолжал на вечерних курсах, здесь-то и возник интерес к математике. Непосредственным поводом был урок, на котором учитель сформулировал теорему о том, что через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность. А. Тихонов искренне удивился, что здесь надо что-то доказывать. “Дайте мел, я проведу...”, - обратился он к учителю. Учитель дал не только мел, но и линейку с циркулем, построение было успешно выполнено, а на земле появился еще один математик. Первое озарение - теорема отличается от задачи тем, что определяет достаточно общий математический закон - навсегда врезалось в память. В этом случае проявилось одно из важных достоинств математики по сравнению с другими науками - возможность испытать чувство открытия в любом возрасте. Школьник или студент, повторяющий при доказательстве теорем или решении задач путь великих предшественников, может испытать ничуть не меньшее волнение, чем первооткрыватели.

Цель была поставлена, и Андрей Тихонов начал самостоятельно готовиться к вступительным экзаменам на физико-математический факультет Московского университета. Ему мог бы помочь старший брат, но обращаться за помощью было не в характере Андрея, он хотел все постигать сам. Успешно выдержав экзамены, он, неполных шестнадцати лет, поступил на математическое отделение факультета. Обязательных курсов не хватало для того, чтобы утолить жажду знаний, и Андрей начинает слушать лекции Н. Н. Лузина по теории функций. Эти лекции пользовались на физмате огромной популярностью, и, когда Николай Николаевич Лузин объявил о начале работы научного семинара, желающих участвовать в нем оказалось много. По традиции тех лет заседания семинара происходили на квартире руководителя, размеры комнаты естественно ограничивали число участников, и первокурсник Андрей Тихонов с досадой обнаружил, что его нет в списке.

Научную работу А. Н. Тихонов начал в 19-летнем возрасте и начал, поистине, блестящим образом, получив несколько замечательных результатов, принесших ему мировую славу. Произошло это так: внимание Андрея, студента 2-го курса, привлекло объявление о начале специального курса по топологии, лектором был Павел Сергеевич Александров (впоследствии академик, глава Советской топологической школы). Первые же лекции удивили. Павел Сергеевич, возрастом ненамного превосходивший своих слушателей, то яростно писал на доске формулы, то, жестикулируя, объяснял их смысл, при этом касался своего костюма и оставлял на нем густые меловые пятна, то вдруг останавливался посреди доказательства, поднимал кого-либо из слушателей и просил подсказки, что делать дальше. Конспектировать такие лекции было нелегко, приходилось, взяв свои записи и записи друзей, дома составлять окончательный вариант. Стремление точно сформулировать результат и аккуратно провести доказательство вырабатывало математическое мышление. Неоднократно второкурсник “помогал” лектору, когда тот обращался к аудитории. Поэтому, когда П. С. Александров сообщил о начале работы семинара по топологии, Андрей Тихонов стал одним из активнейших участников.

Личные контакты с П. С. Александровым были прерваны уже в начале 3-го курса - Павел Сергеевич уехал в длительную командировку в Геттинген, тогдашнюю математическую Мекку. Однако студенческий топологический кружок продолжал работу, тесная дружба связывала А. Н. Тихонова с членами кружка
В. В. Немыцким, А. Н. Черкасовым (впоследствии профессора МГУ), Н. Б. Веденисовым (погиб в Великой Отечественной войне). Шла оживленная переписка с Геттингеном: Павел Сергеевич, уезжая, просил информировать его обо всем. И вот, студент 4-го курса А. Н. Тихонов сообщает в письме руководителю о полученных результатах. В те годы математических журналов в нашей стране было мало, выходили они редко, поэтому первые результаты были опубликованы в 1925 году в немецком журнале “Mathematische Annalen”. Продолжая напряженную работу, А. Н. Тихонов вскоре пришел к своему определению топологического или, как теперь принято говорить во всем мире, тихоновского произведения топологических пространств. Избранный способ определения казался не только неожиданным, но и парадоксальным, даже учитель поначалу встретил новое определение с большим недоверием.

Студенческие, а затем и аспирантские годы были для А. Н. Тихонова временем, когда он интенсивно познавал не только тонкости математики, но и окружающую жизнь во всем ее разнообразии. Прочитаны многие тома классической литературы - дома у друзей сохранились комплекты приложений к дореволюционному журналу “Нива”. Многие часы проведены в Третьяковской галлерее и Московском музее изобразительных искусств имени А. С. Пушкина. С тех пор, в каком бы городе ни был А. Н. Тихонов, он непременно посещал картинную галерею, исторический музей. В 1988 году в Ташкенте проходила конференция по уравнениям с частными производными, А. Н. Тихонов был одним из ее участников. Городской музей в это время оказался почему-то закрытым. Андрей Николаевич приложил много усилий для того, чтобы музей на время открыли и дали возможность ему и другим математикам осмотреть экспозицию.

Сотрудник советского консульства в Нью-Йорке, сопровождавший Андрея Николаевича и его супругу при посещении Метрополитен-музея, никак не ожидал, что ему придется потратить столько времени. Гости долго не могли отойти от шедевров Рафаэля и Тициана, портретов и пейзажей английских мастеров, наивно-непосредственных полотен примитивистов.

Дома у А. Н. Тихонова собрана небольшая, тщательно подобранная коллекция картин. Он особенно выделял небольшое полотно Б. М. Кустодиева из серии “Ярмарки”, изображающее зимний праздник, пейзаж В. К. Бялыницкого-Бирули и натюрморт М. Сарьяна. Две последние картины подарены Андрею Николаевичу его учениками-математиками, которых он научил любить изобразительное искусство. Сильнейшее впечатление произвело знакомство с древнерусской архитектурой и церковной живописью. В памяти надолго остались древние храмы Новгорода, фрески и иконы и с их психологическим напряжением, мажорной красочностью, лаконизмом силуэтов.

Молодые математики с искренним интересом познавали свою страну в многочисленных походах. Если на пути перехода возникали горы - осваивались альпинистские навыки. Так, например, был совершен пеший переход из Теберды (Ставрополье) через Большой Кавказский хребет и озеро Рица к Черноморскому побережью Кавказа. Одним из спутников А. Н. Тихонова был В. В. Немыцкий. По-видимому, друзья и коллеги по топологическому кружку были первыми альпинистами, которым удалось подняться на одну из вершин Кавказа. С тех пор на карте появился пик Немыцкого и Тихонова.

Вместе с А. Н. Колмогоровым и В. В. Немыцким были пройдены сотни километров по северным районам, мельчайшие подробности этого похода Андрей Николаевич с удовольствием вспоминал и в последние годы жизни.

Поход начался от старинного русского города Вологды, ровесника Москвы. Отсюда, по реке Сухоне туристы лодкой спустились к Северной Двине, затем пароходами добрались до верховьев Вычегды. Далее пеший переход привел к берегам Печоры. К верховьям Печоры лодку пришлось тянуть веревками против течения. Водораздел преодолели, поднявшись на одну из вершин Северного Урала, спуск из Европы в Азию привел к реке Северной Сосьве, левому притоку Малой Оби. В одном из поселков, стоящих на реке, случайно встретились с буксиром, тянувшим баржу. На барже проплыли последние 500 километров до города Березово, известного как место ссылки А. Д. Меншикова, сподвижника Петра I.

Поход был тяжелым испытанием - дорог, как правило, не было, приходилось идти по болотам, часто по колено в воде, не раз форсировать быстрые и холодные северные речки. В таких походах крепли не только мускулы, но и характеры. Физическая закалка и целеустремленность, огромная работоспособность и неприхотливость к жизненным благам сыграли важную роль в работе и жизни каждого из его участников.

Топология - один из наиболее абстрактных разделов математики, поэтому на простом языке невозможно объяснить суть теоремы, доказанной студентом А. Н. Тихоновым в дипломной работе и утверждающей, что тихоновское произведение любого числа бикомпактных пространств бикомпактно. Но статистика неопровержимо свидетельствует, что среди топологических теорем именно эта занимает первое место по числу ссылок на нее в мировой общематематической литературе. Теорема оказалась важной не только для топологии, но и для некоторых разделов функционального анализа, а также для целой области прикладной математики - динамического программирования. “Весьма правдоподобно, что это вообще самая важная теорема общей топологии” - утверждает Дж. Келли, автор известного учебника.

Но всеобщее признание наступило значительно позже, а в момент появления публикаций, их значение, помимо автора и его руководителя, поняли лишь трое. Правда, эти трое были звездами первой величины на европейском математическом небосклоне: М. Фреше, Л. Брауэр, Э. Хопф. И все же аспирант МГУ
А. Н. Тихонов чувствовал себя неудовлетворенным. К тому же на аспирантском семинаре по философии объяснялось, что корни всех математических задач лежат в реальной жизни, что “если у общества появляется техническая потребность, то она продвигает науку вперед больше, чем десяток университетов” (Ф. Энгельс). Поэтому, окончив аспирантуру (ученых степеней и диссертаций для их получения в то время не было), А. Н. Тихонов, наряду с преподаванием в МГУ, начинает работать в геофизическом институте, где впервые сталкивается с практическими задачами. С тех пор математическое творчество А. Н. Тихонова приобретает ярко выраженный прикладной характер. “В последнее время, - писал Андрей Николаевич в 1986 году, - знакомясь со мною, некоторые ученые спрашивают: “Вы тот самый Тихонов, который разработал один из разделов топологии?”. Им трудно поверить в это, поскольку уже давно моя научная работа в основном связана с прикладными исследованиями”.

МАТЕМАТИК, ГЕОФИЗИК, ХИМИК

Первые работы нового сотрудника геофизического института, подчиненного Центральному институту прогнозов, были связаны с задачей определения исторического климата Земли. Интерес к этому вопросу возник так: Андрею Николаевичу было предложено отправиться в Ленинград для участия в конференции по мерзлотоведению. Стиль научных докладов резко отличался от того, к которому А. Н. Тихонов привык за годы общения с математиками, но суть проблемы была понятна. Речь шла о том, откуда произошла вечная мерзлота (ею покрыта значительная часть территории СССР), в какой мере ее появление связано с ледниковыми периодами в истории Земли.

Изменение температуры однородной среды во времени и пространстве описывается уравнением теплопроводности, одним из основных уравнений математической физики. Задача Коши для этого уравнения состоит в том, что требуется найти распределение температуры в пространстве в моменты времени t > 0 при условии, что это распределение в момент времени t = 0 задано. Новая постановка задачи была необычной, обратной: по заданному распределению температуры по глубине Земли в момент времени t = t₀ надо было найти ее распределение в предшествующие моменты t < t₀. Чтобы вникнуть в эту задачу, Андрей Николаевич решил для начала разобраться с классической постановкой, идущей от Фурье, Пуассона, Коши. Выводы оказались неожиданными - известное распределение температур при t = 0 отнюдь не гарантирует единственного решения, требуются дополнительные предположения о характере решения. Затем пришло время обратной задачи - были сформулированы условия существования и единственности ее решения, получены конкретные формулы.

Результаты позволили установить, что вечная мерзлота действительно досталась нам в наследство от ледниковых периодов. Однако воссоздать достоверно исторический климат Земли не удалось, имеющиеся в небольшом числе данные долговременных измерений температуры по глубине скважин были неточными. На показаниях термометров сильно сказывалась наружная температура на поверхности Земли. Переведем этот разговор на язык начала главы - надо было решать обратную задачу с сильно искаженными исходными данными.

Опубликованные в 1935 году, эти работы А. Н. Тихонова еще долго вызывали интерес у математиков, их результаты уточняли, обобщали, но сам автор понимал, что их геофизическая отдача не слишком велика. Исходная модель была усложнена, учет таких факторов как радиоактивный распад и излучение тепла в окружающую среду привел к новым математическим постановкам - уравнение теплопроводности приходилось решать с нелинейными граничными условиями. Получить точное решение нелинейных задач математической физики удается крайне редко, алгоритм построения приближенного решения всегда индивидуален. На сей раз задача была сведена к нелинейному интегральному уравнению, решение искалось методом последовательных приближений.

Идеи, появившиеся в работе над задачами теплопроводности, были обобщены в докторской диссертации, защищенной в 1936 году. Развитая здесь математическая теория выходила далеко за рамки исходных задач и, в то же время, служила базой для новых прикладных исследований. Уже в 1939 году разработанные
А. Н. Тихоновым методы были использованы для изучения свойств поверхности Луны.

Вся дальнейшая творческая биография А. Н. Тихонова складывается из подобных звеньев: сначала составляются и анализируются математические модели конкретных явлений, что дает ощутимые на практике результаты. Затем следуют формальные математические обобщения, вроде бы не имеющие непосредственного отношения к реальной жизни. Но проходит совсем немного времени и выясняется, что именно эти обобщения позарез необходимы для решения новых прикладных задач.

В 1936 году Андрей Николаевич становится профессором МГУ, а через год меняет место своей второй работы. В Москве создается Институт теоретической геофизики АН СССР. Инициатор создания и его директор - академик Отто Юльевич Шмидт, легендарная фигура в советской науке. Он начинал как математик, много занимался теорией групп, был признанным руководителем московской алгебраической школы. В начале 20-х годов, еще при жизни В. И. Ленина, он был назначен наркомом финансов. По-видимому, это второй случай в истории, когда математик занимал подобный пост. Первым был Лаплас, министр внутренних дел при Наполеоне, считавшем, что “процветание и совершенство математики тесно связаны с благополучием государства”.

Занятий математикой О. Ю. Шмидт не прервал, продолжая руководить семинаром по общей алгебре, а на заседании Московского математического общества рассказал о дифференциальном уравнении денежной эмиссии. На открытии первого Всесоюзного математического съезда в Харькове он сделал доклад “Роль математики в строительстве социализма”. Человек высочайшей культуры, он был председателем Государственного ученого совета при Наркомпросе (прообраза будущего ВАКа), членом художественного совета театра Вахтангова, главным редактором первого издания Большой Советской Энциклопедии. В 30-х годах О. Ю. Шмидт - один из крупнейших исследователей Арктики. Он возглавляет несколько экспедиций по Северному морскому пути, в том числе и знаменитое плавание на “Челюскине”, руководит высадкой и спасением полярников дрейфующей станции “Северный полюс-1”, становится одним из первых Героев Советского Союза. Академик О. Ю. Шмидт хорошо понимал значение математических методов в прикладных исследованиях. Одним из первых он пригласил работать в новом институте молодого профессора А. Н. Тихонова, математика, которого к тому времени уже можно было считать и геофизиком.

В возрасте 33 лет А. Н. Тихонов был уже признанным авторитетом в математическом мире, автором более ста научных работ. В 1939 году он становится членом-корреспондентом Академии наук СССР.

В предвоенные годы А. Н. Тихоновым был выполнен цикл работ, связанный с расчетом динамики химических процессов. В форме, удобной для практического использования, было найдено решение задачи о сорбции газа. Задача эта ставилась следующим образом: через трубку, заполненную поглощающим веществом (сорбентом) пропускается газовоздушная смесь. Требуется определить зависимость от времени и координаты количества газа, поглощаемого единицей объема сорбента, и концентрации газа, находящегося в порах сорбента. В общем случае приходится решать нелинейную систему уравнений с частными производными, для чего А. Н. Тихоновым был разработан своеобразный способ сопряжения численных и асимптотических методов. “Для научного творчества А. Н. Тихонова характерно стремление дать исчерпывающее решение изучаемой им проблемы, довести ее решение до числа”, - пишет академик А. А. Самарский. В пору, когда до появления ЭВМ было еще далеко, доведение до числа решения подобной задачи требовало, конечно, большой изобретательности.

Постановка задачи была связана с созданием новых систем противогазов, в ту пору надо было считаться с возможностью химической войны. В наши дни исследования по математической теории химических процессов составляют теоретическую базу расчета очистных сооружений. Значение работ А. Н. Тихонова за 50 лет, прошедшие с момента их выполнения, только возросло, так как проблемы охраны окружающей среды резко обострились.

ЧТО УМЕЕТ ГЕОФИЗИКА?

Вскоре после начала Великой Отечественной войны Институт теоретической геофизики, вместе с другими учреждениями Академии наук СССР, был эвакуирован в Казань. На середину октября 1941 года в Москве было назначено заседание отделения математики Академии, посвященное задачам помощи фронту. Группа математиков, в которую входил и А. Н. Тихонов, приехала в Москву. Прямо на вокзале представитель ГКО сообщил, что из-за тяжелого положения на фронте под Москвой все заседания отменяются, надо немедленно уезжать. Возвращаться пришлось в необычном поезде - паровоз тянул вагоны метро.

Из Казани основные подразделения Института были переброшены в Уфу. Один из товарных вагонов с оборудованием сопровождали А. Н. Тихонов и Е. Е. Карус (позднее член-корреспондент АН СССР, профессор МГУ). Андрей Николаевич вспоминает, что на одной из станций впервые за несколько дней удалось отоварить карточки в столовой. Все полученные 16 обедов были съедены за один раз.

Институт разворачивал работы на территории Башкирии. От теоретических вопросов надо было срочно переходить к сугубо практическим. Огромная территория между Волгой и Уралом была, по мнению геологов, перспективной на нефть. Часть эксплуатируемых нефтяных месторождений страны оказалась на территории, занятой фашистами, поэтому быстрое обнаружение новых месторождений стало важнейшей стратегической задачей. А. Н. Тихонов в составе одной из экспедиций института непосредственно включился в полевые работы геофизиков. Чтобы понять, с какими задачами ему пришлось столкнуться, расскажем немного о том, чем занимаются геофизики.

Геофизика - комплекс наук, исследующих внутреннее строение Земли, ее физические свойства. Геофизические исследования дали возможность “увидеть сквозь Землю” месторождения полезных ископаемых, фиксировать сдвиги в земной коре, контролировать проведение ядерных испытаний. Непосредственно проникнуть в толщу Земли оказалось необычайно сложным делом. Вблизи города Заполярного в Мурманской области находится самая глубокая в мире Кольская скважина, но и она достигла ничтожной по сравнению с радиусом Земли глубины 13 километров. Что лежит дальше - собственными глазами не видел никто и никогда.

Надо сказать, что бурение глубоких скважин ради научных исследований обходится довольно дорого, а получение из скважины информации - дело, далеко не простое. Специалисты считают, что создание надежного канала передачи информации с глубины 10 километров на поверхность - задача, технически много более сложная, чем создание такого же канала от Земли до Луны. Поэтому разведочные геофизики стараются большую часть данных получить на поверхности Земли или совсем близко от нее. Для этого приходится изучать гравитационное, тепловое и электромагнитное поля Земли естественного происхождения, а также искусственно возбуждать поля в земной коре. Сопоставление информации, полученной в скважинах и на поверхности, - главная тенденция современной геофизики.

Одним из эффективных методов поиска полезных ископаемых является сейсморазведка - в земной толще, с помощью взрывов или специальных вибраторов возбуждаются упругие колебания, а приборы фиксируют прохождение и отражение волн сжатия или сдвига. Другой часто применяемый и значительно более дешевый способ исследования - электроразведка - основан на том, что различные слагающие Землю породы имеют разную проводимость и диэлектрическую проницаемость и по-разному влияют на прохождение электромагнитных волн. Для того, чтобы понять, как будет вести себя та или иная волна, наткнувшись, например, на нефтеносный пласт, нужно иметь математическую модель. Параметры модели обычно определяют экспериментально, изучая образцы пород, взятые из скважин.

Сложность и практическая важность изучаемых процессов всегда привлекали математиков в геофизику (напомним о работе С. Л. Соболева в Сейсмологическом институте), и в наши дни геофизика продолжает оставаться одним из главных потребителей достижений математики. Быстро нашли свое место в геофизических исследованиях такие относительно недавние изобретения математиков, как регрессионный и корреляционный анализ, теория нечетких множеств и кластерный анализ, методы планирования эксперимента, сплайн-интерполяция. На помощь математикам и геофизикам пришли вычислительные машины, геофизики с гордостью утверждают, что сегодня в мире около 20% общего объема машинного времени тратится на их задачи. Новые математические модели, новые измерительные приборы и современные компьютеры позволили увеличить надежность геофизических прогнозов.

Но многое в геофизике остается неясным и сегодня. Ученые знали, что вся территория Армении является сейсмически активной, что блоки земной коры под ней смещаются по разрывам. Но предсказать катастрофическое землетрясение 1988 года они не смогли. Эксперты не умеют уверенно прогнозировать землетрясения ни по одному из трех главных признаков: когда? где именно? какой силы? Только после войны землетрясения во всем мире унесли около 600 тысяч человеческих жизней, причинили колоссальные разрушения. Такова страшная плата человечества за несовершенство науки.

ПЕРВАЯ ЛАСТОЧКА

Но вернемся в небольшой башкирский городок Ишимбай, где базируется экспедиция Института теоретической геофизики. А. Н. Тихонов включен в состав группы, занимающейся электрическим зондированием. В строгом соответствии с инструкцией, разработанной в 20-х годах французской фирмой “Шлюмберже”, в землю вводятся два питающих электрода, между ними - два измерительных. На питающие электроды от батареи подается постоянный ток, потенциометр регистрирует разность потенциалов на измерительных электродах. По мере увеличения расстояния между питающими электродами электрическое поле все глубже проникает в землю. Показания прибора лишь качественно отражают изменение удельного электрического сопротивления по глубине, для количественного определения этого параметра, а следовательно, и типа породы, нужна расшифровка.

Занимаясь рутинной процедурой расшифровки, Андрей Николаевич не раз ловил себя на мысли, что не понимает, почему вообще можно доверять всем этим результатам. Ведь в теории электроразведки было множество слабых мест: во-первых, все расчеты основаны на простейшей, одномерной модели, в соответствии с которой сопротивление меняется только по глубине; во-вторых, никак не учитывается влияние естественного электромагнитного поля Земли; в-третьих, точность всех измерений низка. И, что самое главное, задача нахождения распределения сопротивления по глубине по известным измерениям поля на поверхности является обратной, заведомо некорректной. Не было никаких оснований больше доверять ни данным гравиметрии, ни рекомендациям сейсморазведки - и там приходилось иметь дело с обратными задачами и сомнительными исходными данными.

“Задачи, стоящие перед экспедицией, с позиции чистого математика, я должен был бы расценить как неразрешимые, поскольку данные геологоразведчиков искажены неизбежными погрешностями. Ведь невозможно же восстановить точный облик предмета по его немногим размытым теням. Данные геологоразведчиков - это тоже тени. По ним, как считалось тогда в классической математике, нельзя восстановить контуры нефтеносной структуры”, - так, спустя много лет, объясняет Андрей Николаевич суть своих сомнений и обратных задач. И тут же замечает, что для его товарищей запреты классической математики никакого значения не имели: “А между тем, мои коллеги по экспедиции, нефтяники, находили нефть и притом довольно эффективно. Не вдаваясь в математические тонкости, они пользовались методом подбора теоретических кривых, наиболее соответствующих экспериментальным данным. При этом они интуитивно использовали дополнительную информацию о конфигурации типичных нефтеносных структур, благодаря практическому опыту”.

Здесь-то и появилось первое еретическое сомнение в справедливости табу, наложенного Адамаром на некорректные задачи: если их умеют “решать” нефтяники, то, возможно, и математики научатся. Надо попробовать. Время для работы над чисто математическими проблемами пришлось отрывать от сна, а ход рассуждений был примерно следующим. Для решения своих задач нефтяники используют практический опыт - дополнительную информацию, которой нет в исходных данных. Последовал перевод на язык математики: решение обратной задачи Az = u надо искать не во всем пространстве Z, а внутри некоторого множества M М Z. Осталось выяснить, каким условиям должно удовлетворять множество M, чтобы исходная некорректно поставленная задача стала на М устойчивой. Условия были найдены, и в конце 1943 года в Докладах Академии наук СССР появилась статья “Об устойчивости обратных задач”, в которой был изложен так называемый метод подбора.

В 1949 году А. Н. Тихоновым была доказана теорема единственности, означающая, что обратная задача электрического зондирования на постоянном токе может иметь только одно решение. Тем самым было дано теоретическое обоснование практического метода подбора при интерпретации электроразведочных данных. Метод подбора используют для решения обратных задач в тех случаях, когда распределение геоэлектрических величин можно описать небольшим конечным числом параметров с ограниченными пределами изменения, этим условием и определяется множество M. В этом случае обратная задача устойчива, она успешно решается или вручную, с помощью стандартного набора теоретических кривых, или автоматически, с использованием ЭВМ.

Чтобы пояснить метод подбора, вернемся к рассмотренной выше обратной задаче о колебаниях струны. Сама физическая постановка задачи подсказывает, что решение - функция a²(x) - далеко не произвольно. Несомненно, эта функция должна быть положительной, ограниченной сверху и снизу некоторыми константами. Значения этих констант можно указать, зная набор материалов, из которых могла быть сделана струна. Кроме того, естественно предположить, что плотность струны изменяется непрерывно. Тем самым, указано множество M, которому должна принадлежать функция a²(x) . Под решением понимается такая функция a²(x) О M, что рассчитанные для нее теоретические исходные данные u будут отличаться от измеренных u* не более чем на d. Через d здесь обозначена погрешность измерения исходных данных.

Сам автор метода понимал, что в конкретных задачах выделить множество М с требуемыми свойствами далеко не просто, что метод не подходит для задач, где нарушены первые два условия корректности. Статья была лишь первой ласточкой, предвещавшей весну. Впоследствии из этой публикации выросло целое направление в исследовании некорректных задач. А за задачами, в которых возможно указать множество М, закрепилось название “корректные по Тихонову”.

“Корни всякого открытия лежат далеко в глубине, и, как волны, бьющие с разбегу на берег, много раз плещется человеческая мысль около приготовляемого открытия, пока придет девятый вал”, - это образное сравнение принадлежит замечательному ученому и мыслителю В. И. Вернадскому. На некорректные задачи девятый вал обрушился через 20 лет.

НЕМНОГО УВИДЕТЬ - МНОГОЕ ПОНЯТЬ

В конце 40-х годов, когда начались разведочные работы на территории Западной Сибири, геофизики столкнулись со странной проблемой. Данные глубинного электрического зондирования оказались нестабильными - стоило, спустя некоторое время, повторить измерения на той же площади, и результат мог оказаться на 50-100% отличающимся от первоначального. Оснований не доверять отработанной методике, вроде бы, не было, прежде она всегда обеспечивала стабильные результаты. “Особенностью живого ума является то, что ему нужно немного увидеть и услышать для того, чтобы он мог долго размышлять и многое понять”, - писал Джордано Бруно. Гипотеза приглашенного для консультаций А. Н. Тихонова состояла в том, что на результатах измерений сказывается естественное электромагнитное поле Земли (геофизики называют его магнитотеллурическим). Проверка гипотезы требовала создания математической модели этого поля. Началась напряженная работа.

Вскоре такая модель появилась - вертикально падающая электромагнитная волна, описываемая уравнениями Максвелла, возбуждает горизонтальные слои Земли с различной проводимостью. Первые результаты были опубликованы в 1950 году, их обобщение в 1953 году предложил французский исследователь Л. Каньяр. С тех пор в терминологию и практику геофизики вошла модель Тихонова-Каньяра. “Достоинством этой модели является, с одной стороны, ее необыкновенная простота, с другой - возможность адекватного описания реальных геофизических процессов”, -  утверждает современный учебник по геофизике.

Теперь появился теоретический фундамент для того, чтобы вернуться к вопросу о зондировании на постоянном токе. По инструкции, после подключения батареи к питающим электродам следовало выждать несколько секунд, пока в цепи пройдут переходные процессы, и лишь затем начинать измерения. Решение, предложенное А. Н. Тихоновым на основе теоретических расчетов, вновь было неожиданным, парадоксальным. Оказывается, не надо ждать установления тока в цепи, переходный процесс несет гораздо больше информации, чем установившийся. Выяснились и причины трудностей геофизиков в Западной Сибири - метод “Шлюмберже”, дававший хорошие результаты при глубинах залегания нефтеносных структур до 500 метров, не может быть перенесен на глубины от 1 до 3 километров. Метод становления, заключающийся в изучении неустановившегося поля при импульсном изменении тока в питающей установке, стал одним из основных методов зондирования.

Наблюдения за магнитотеллурическим полем Земли велись давно, отсутствие математической модели не позволяло сопоставить данные электрических и магнитных измерений. “Магнитные вариации и электрические земные токи, наблюдаемые на поверхности Земли, должны быть подчинены определенным соотношениям, поскольку они представляют различные проявления естественного электромагнитного поля Земли”, - так начинается статья А. Н. Тихонова “Об определении электрических характеристик глубоких слоев земной коры”, вышедшая в 1950 году. Благодаря этой и другим работам А. Н. Тихонова, в распоряжении геофизиков появился метод магнитотеллурического зондирования, позволивший заглянуть далеко в глубь Земли. Отличительная особенность метода - отсутствие генератора тока, главная задача состоит в проведении синхронной регистрации компонент электрического и магнитного полей на поверхности Земли. Метод позволил по результатам измерений найти глубину высокопроводящего слоя, содержащего расплавы пород. Для различных регионов мира она меняется от 10 до 100 километров.

В 1988 году в курортном комплексе “Дагомыс” близ Сочи состоялся международный симпозиум по методам магнитотеллурического зондирования. Геофизики из многих стран мира рассказывали о своих работах в этой области. Андрей Николаевич Тихонов присутствовал на симпозиуме. Он и удивился, и порадовался за своих коллег - новые разработки в области теории и новая аппаратура позволили им получить интересные и неожиданные данные о внутреннем строении Земли.

Продолжая исследования, А. Н. Тихонов в начале 50-х годов обосновал возможность зондирования на переменном токе. По ряду технических причин такой метод сулил известные преимущества, однако возможность интерпретировать результаты измерения появилась после решения А. Н. Тихоновым сложнейшей задачи об определении электромагнитного поля, создаваемого расположенным на поверхности Земли проводом при пропускании через него переменного тока. Решение содержало и алгоритм численного решения, и асимптотические формулы для разложения несобственных интегралов, содержащих бесселевы функции. Эти разработки способствовали техническому перевооружению электроразведки.

Создание и развитие электромагнитных методов изучения внутреннего строения Земли неразрывно связано с именем академика А. Н. Тихонова. Студент-геофизик технического вуза может и не знать математика А. Н. Тихонова. Но ему хорошо известен выдающийся геофизик А. Н. Тихонов, исследования которого стали теоретической основой новых методов электроразведки.

А математика А. Н. Тихонова по-прежнему волновала проблема обратных задач, неустойчивости, некорректности. Задача расчета электромагнитного поля в слоистой среде была прямой, а все задачи зондирования - обратными. И если метод подбора оказался достаточно эффективным в обратной задаче зондирования на постоянном токе, то для обратной задачи магнитотеллурического зондирования он уже не годился.

Удивительно разнообразие научных интересов А. Н. Тихонова. Наряду с основополагающими работами в области геофизики, он в послевоенные годы занимался многими другими исследованиями. В частности, им был выполнен цикл работ по обыкновенным дифференциальным уравнениям, содержащим малый параметр при старшей производной. Задачи такого рода встречались в теории нелинейных колебаний, химической кинетике, теории автоматического регулирования. Много позже такие задачи возникали в связи с расчетом полупроводниковых приборов, движения искусственных спутников Земли.

В 1948 году появилась статья А. Н. Тихонова “О зависимости решений дифференциальных уравнений от параметра”. Из этой работы выросла теория сингулярных возмущений - целый раздел современной науки о дифференциальных уравнениях, как обыкновенных, так и в частных производных. Параметры, которые можно считать малыми, входят во многие уравнения математической физики как коэффициенты при старших производных. Примерами могут служить уравнения Навье-Стокса с малой вязкостью, уравнения квантовой механики с малой безразмерной постоянной Планка. Обнаруженные А. Н. Тихоновым условия предельного перехода по малому параметру были существенно обобщены его учениками и другими математиками. Методы теории возмущений (их еще называют асимптотическими) оказались эффективным способом решения дифференциальных уравнений. Отметим, что в развитии другой важной ветви этого направления основные заслуги принадлежат советским математикам Н. Н. Боголюбову и Ю. А. Митропольскому.

ГЛАВНЫЙ ТЕОРЕТИК КОСМОНАВТИКИ

В 1963 году из Математического института имени В. А. Стеклова выделяется Институт прикладной математики. Новым научным подразделением Академии наук СССР руководит академик Мстислав Всеволодович Келдыш. До начала 60-х годов его знали, в основном, коллеги. В 60-70-ых годах его узнали все - будучи президентом Академии наук СССР, он находился в президиумах важных собраний и съездов, выступал на них.

Он вел также привлекавшие всеобщее внимание пресс-конференции в актовом зале МГУ. На них рассказывалось о замечательных достижениях советской науки и техники: фотографировании обратной стороны Луны, первом выходе человека в открытый космос, посадке спускаемых аппаратов на Луну и Венеру.

С началом эры исследования космоса и, особенно, после полета Ю. А. Гагарина в газетах и репортажах с Байконура стал упоминаться Главный теоретик космонавтики. Только из некролога - М. В. Келдыш умер в 1978 году - стало общеизвестно, что он и был Главным теоретиком. Начиная с 1947 года, он активно занимался теорией движения ракет и космических кораблей.

Окончив механико-математический факультет МГУ, М. В. Келдыш за 15 лет, предшествовавших работам на космические темы, успел многое сделать и в механике, и в математике. Работая в Центральном аэрогидродинамическом институте имени Н. Е. Жуковского, он занимался теорией крыла и винта самолета. Им была создана математическая модель флаттера - колебаний элементов конструкции самолета, препятствующих развитию скоростной авиации. Он исследовал также явление шимми - самовозбуждение колебаний переднего колеса трехколесного шасси. И в том, и в другом случае построенная М. В. Келдышем теория легла в основу методов конструирования. Новым самолетам эти некогда грозные явления стали не страшны. Из трофейных архивов стало известно, что у немцев в 1935-1943 гг. было 146 серьезных аварий и катастроф с опытными самолетами из-за флаттера, а у советских самолетостроителей таких случаев не было.

Математические исследования М. В. Келдыша относились к различным областям математики - теории функций действительной и комплексной переменной, функциональному анализу, уравнениям математической физики. Отметим, в частности, его работы по теории потенциала. Эта теория имеет дело с уравнением Лапласа - третьим из основных уравнений математической физики. В отличие от первых двух - волнового и уравнения теплопроводности, в уравнение Лапласа время не входит, искомая функция зависит только от пространственных переменных. Этому уравнению удовлетворяет, например, стационарное, т. е. не зависящее от времени распределение температуры в теле, а также потенциал стационарного электростатического поля.

Совсем простое по форме, уравнение Лапласа таит в себе огромные богатства замечательных свойств. Оно имеет самые разнообразные приложения, ему посвящены сотни математических статей, о нем написаны многие книги, и, несмотря на это, остается еще много связанных с ним трудных, нерешенных проблем. Так называемая задача Дирихле состоит в нахождении решения уравнения Лапласа, которое принимало бы на границе области заданные значения. В работах М. В. Келдыша изучался вопрос о том, как меняется решение задачи Дирихле при изменении границы области, какие свойства решения связаны с формой границы. Этими задачами занимался, а затем интересно и популярно рассказал о них в книге “Я - математик” Норберт Винер. М. В. Келдышу удалось получить значительно более общие результаты.

УЧИТЕЛЬ И УЧЕНИК

Превосходный организатор, М. В. Келдыш привлек к работе в Институте прикладной математики многих опытных и молодых специалистов. Его заместителем (с 1979 года - директором Института) стал Андрей Николаевич Тихонов. Один из отделов возглавил Александр Андреевич Самарский. Совместная работа
А. Н. Тихонова и А. А. Самарского обогатила математику многими глубокими исследованиями.

Так, в 50-х годах А. Н. Тихонов и А. А. Самарский получили важные результаты, относящиеся к электродинамике. Объектом изучения были волноводы - полые металлические трубы, служащие для передачи высокочастотной энергии. Волноводы появились в физике и радиотехнике как замена обычных двухпроводных линий. Электромагнитное поле было полностью сосредоточено внутри волновода, уменьшались потери, возрастала передаваемая мощность. Расчет возбуждения волноводов сводился к краевой задаче для системы уравнений Максвелла. Хотя уравнения были хорошо знакомы по задачам электроразведки, постановка задачи была принципиально иной, потребовались новые методы решения. Идеи, развитые при решении этой прикладной задачи, определили в дальнейшем новый подход к чисто теоретическим проблемам.

Характерно, что и здесь Андрей Николаевич столкнулся с обратными задачами. Обратной была задача проектирования - создания электродинамических устройств (например, антенн), возбуждающих электромагнитные колебания с заданными характеристиками. Такие задачи в простейшей постановке ставились и даже решались, но результаты на практике почти не использовались. Дело в том, что разнообразные реальные требования к проектируемой антенне не укладывались в математическую модель, поддающуюся анализу известными методами.

Фундаментальные исследования в области теоретических проблем вычислительной математики были выполнены А. Н. Тихоновым и А. А. Самарским в 50-60-х годах. На сей раз изучались разностные схемы, с помощью которых приближенно решаются краевые задачи для уравнений математической физики. Дело в том, что найти точное решение прикладной задачи, описываемой уравнениями в частных производных, удается редко. Но и в этом случае оно обычно бывает не слишком удобным для анализа. Решение задачи о колебаниях отрезка струны записывается в виде функционального ряда. Чтобы с требуемой точностью определить форму струны и, скажем, нарисовать графики, требуется исследовать ряд. Часть его членов придется отбросить, так что результаты все равно будут приближенными. Получить аналитическое решение линейных уравнений, содержащих переменные коэффициенты, или нелинейных краевых задач удается только в исключительных случаях.

Но практику чисто математические трудности не интересовали, она подбрасывала новые, все более сложные задачи. Именно под влиянием чисто прикладных областей механики и физики развивались приближенные методы решения краевых задач. Более того, многие из них были первоначально придуманы вовсе не профессиональными математиками. В 1908 году швейцарский инженер В. Ритц, занимаясь задачами теории упругости, нашел новый способ приближенного решения класса краевых задач. Близкие идеи использовал и английский физик Рэлей в книге “Теория звука”. Через несколько лет другой метод был разработан русскими инженерами И. Г. Бубновым и Б. Г. Галеркиным.

Специалисты по механике, сопротивлению материалов, кораблестроению, они занимались расчетом равновесия упругих стержней и пластин. Впоследствии математики и механики - среди них академики Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов, М. В. Келдыш, Г. И. Петров - занялись обоснованием этих методов, исправили неточности авторов, получили далекие обобщения. Но наиболее важное, с точки зрения практики, обобщение предложили снова инженеры. В конце 60-х годов, руководствуясь чисто физическими соображениями, они разработали так называемый метод конечных элементов. То, что новое изобретение представляет собой по существу видоизменение метода Рэлея-Ритца, выяснилось позже, на долю математиков осталось обоснование и дальнейшее развитие. Так уж получилось, что в развитии вариационных методов математической физики (этим названием объединяются все перечисленные выше методы) математики обычно следовали за инженерами.

Первый численный метод решения дифференциальных уравнений принадлежит великому Эйлеру. Резкий качественный скачок в развитии этой науки был связан с появлением быстродействующих ЭВМ. Универсальным методом приближенного решения дифференциальных уравнений математической физики стал метод конечных разностей (метод сеток). Суть метода состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргументов (например, x и t ) заменяется дискретным конечным множеством точек (узлов), называемых сеткой. Вместо функций непрерывного аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента, определенные в узлах сетки и называемые сеточными функциями. Производные, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются разностными отношениями. В итоге исходное дифференциальное уравнение заменяется системой алгебраических уравнений. Начальные и граничные условия также заменяются разностными условиями для сеточной функции. Полученную таким образом разностную краевую задачу называют разностной схемой.

Метод будет эффективным лишь при условии, что разностная схема разрешима и ее решение при увеличении числа узлов сетки приближается к точному решению исходной задачи. Доказательство этого факта, наряду с построением эффективного алгоритма решения разностной краевой задачи, требует использования самых современных методов функционального анализа и вычислительной математики. Однако для многих важных классов задач математической физики сам факт существования решения остается неясным. Математики решают и такие задачи, при этом используются полуэмпирические соображения, численные эксперименты на задачах, для которых известно точное решение, просто интуиция.

Целью теории разностных схем является отыскание семейства схем, пригодных для решения возможно более широкого класса задач. Из этого семейства надо выделить лучшие схемы. Качество определяется экономичностью в смысле объема вычислений, скоростью приближения к точному решению. Распространенное мнение о могуществе ЭВМ последних поколений может создать впечатление, что разработка новых методов и схем нужна только самим математикам. В действительности, одновременно с совершенствованием вычислительной техники происходит и усложнение решаемых задач. Современная математическая физика имеет дело в основном с процессами и явлениями, описываемыми нелинейными уравнениями, содержащими несколько пространственных переменных. Численное моделирование в этом случае нередко сводится к решению систем линейных уравнений, содержащих 10⁵ - 10⁶ неизвестных. Методами, известными 30 лет назад, даже с учетом быстродействия нынешних компьютеров, такие задачи в принципе не могли быть решены. Именно практика диктует необходимость дальнейшего развития теории численных методов.

Многие реальные процессы моделируются дифференциальными уравнениями с разрывными коэффициентами. Примерами могут служить движение границ фазовых переходов, диффузия нейтронов, распределение температуры в реакторе, состоящем из зон с различными физическими свойствами. Для каждой подобной задачи приходилось изобретать свой алгоритм численного решения, учитывающий характер разрывов. Работами А. Н. Тихонова и А. А. Самарского в вычислительную математику было введено понятие однородных разностных схем. Вычисления во всех узлах сетки можно было вести по одним и тем же формулам, независимо от того, будут ли коэффициенты уравнения непрерывными или разрывными.

В предыдущей главе говорилось, что дифференциальные уравнения математической физики обычно являются следствиями интегральных законов сохранения. Разностные схемы также должны выражать законы сохранения на сетке. Эта идея привела А. Н. Тихонова и А. А. Самарского к разработке теории консервативных разностных схем. На основе новых численных методов были созданы удобные и экономичные алгоритмы. Ученики А. А. Самарского существенно развили понятия однородности и консервативности, расширили области применения этих схем, решили много важных практических задач.

В конце 60-х годов А. Н. Тихонов и А. А. Самарский сделали открытие в физике. Их соавтором была вычислительная машина. Так называемый Т-слой в плазме был обнаружен чисто математически, при расчете на ЭВМ процесса расширения плазменного столба в магнитном поле. Численное решение сложнейших уравнений свидетельствовало, что в отдельных зонах, слоях столба сосредотачиваются электрические токи, поддерживающие более высокую температуру. Математическое моделирование в сочетании с вычислительной техникой давало физикам качественно новые методы исследования. Специалист в области физики атомного ядра и элементарных частиц нобелевский лауреат Ю. Вигнер (США) даже написал статью, которая называлась “Непостижимая эффективность математики в естественных науках”.

В 70-х годах группа сотрудников Физического института им. П. Н. Лебедева АН СССР, возглавляемая лауреатом Нобелевской премии академиком Н. Г. Басовым, изучала механизм возбуждения термоядерной реакции при помощи лазера. Математическим моделированием процесса в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша занимались А. Н. Тихонов и А. А. Самарский.

Творческому содружеству А. Н. Тихонова и А. А. Самарского математики и физики обязаны уникальным учебником “Уравнения математической физики”. При всей его математической строгости это, пожалуй, наиболее физический из известных учебников по математической физике. “Мы стремились подчинить выбор и изложение материала характеристике типичных физических процессов...”, - говорится в авторском предисловии.

Изучение каждого типа уравнений начинается с простейших физических задач. Затем следует перевод на язык математики, дается строгая математическая постановка задачи, находится ее формальное решение. Чисто математическая часть на этом кончается, но искушенные в решении прикладных задач авторы непременно останавливаются на физической интерпретации полученных результатов. Большой интерес представляют приложения к главам, в которых изложенные методы применяются для решения достаточно сложных задач физики и техники. Часть этого материала основана на собственных исследованиях авторов. Из учебника читатель узнает, как ставятся и решаются задачи в электроразведке и теории волноводов, каким образом радиоволны распространяются над поверхностью земли, а радиоактивный распад влияет на температуру земной коры, как рассчитывается скин-эффект в проводниках и движется граница раздела фаз при замерзании воды.

Учебник выдержал 5 изданий и переведен на многие иностранные языки. По нему учились и продолжают учиться математической физике все те, кому эта наука нужна как метод исследования.

“ЗА ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАСЛУГИ...”

Интерес А. Н. Тихонова к теории разностных схем связан с периодом его жизни, о котором ничего не говорится в юбилейных публикациях.

Еще в 1942 году группа американских физиков-теоретиков начала изучать вопрос о возможности создания бомбы, основанной на термоядерной реакции. Расчеты показали, что для начала этой реакции, превращающей водород в гелий, требуется огромная температура. Создать ее могла только атомная бомба, являющаяся для водородной, или супербомбы, как называли ее американцы, как бы запалом. Атомные бомбардировки Хиросимы и Нагасаки в 1945 году привели часть ученых к мысли отказаться от создания еще более разрушительного оружия. Но группа физиков, возглавляемая Э. Теллером, продолжала исследования. В 1947 году сведения о работе над супербомбой попали в печать, некоторые публикации содержали угрозы Советскому Союзу.

Встревоженное Советское правительство обратилось к И. В. Курчатову, недавно запустившему первый урановый реактор. Руководитель советских атомщиков посоветовал начать работу и привлечь к ней и ученых старшего поколения, стоящих пока в стороне от оборонных задач, и новое, молодое поколение физиков, математиков, инженеров.

В группу, занимавшуюся исследованиями термоядерных реакций, вошли сотрудники Института химической физики АН СССР, члены-корреспонденты АН СССР Я. Б. Зельдович и Ю. Б. Харитон. В предвоенные годы они первыми в нашей стране провели теоретическое исследование цепной реакции деления урана. В работу включился академик Л. Д. Ландау, заведующий теоретическим отделом Института физических проблем АН СССР. К тому времени Л. Д. Ландау был известен во всем мире как автор глубоких работ в самых разных областях физики, в том числе и ядерной. За работы в области теории конденсированных сред (жидкого гелия) в 1962 году он был удостоен Нобелевской премии. Математическим моделированием исследуемых процессов занимались сотрудники Физического института им. П. Н. Лебедева АН СССР И. Е. Тамм и А. Д. Сахаров.

Заведующий теоретическим отделом Института член-корреспондент АН СССР Игорь Евгеньевич Тамм был в то время признанным авторитетом в ядерной физике. В 1934 году он и Д. Д. Иваненко построили одну из первых теорий ядерных сил. Спустя год японский физик Х. Юкава, исходя из этой теории, предсказал существование мезона. В 1937 году И. Е. Тамм вместе с И. М. Франком создали теорию излучения, обнаруженного тремя годами ранее аспирантом С. И. Вавилова П. А. Черенковым. С тех пор эффект Черенкова широко используется физиками всего мира в счетчиках заряженных частиц. За открытие и объяснение этого эффекта П. А. Черенкову, И. М. Франку и И. Е. Тамму в 1958 году была присуждена Нобелевская премия.

Андрей Дмитриевич Сахаров поступил на физический факультет МГУ в 1938 году. Когда началась война, многие его товарищи по учебе были призваны в Военно-воздушную академию, но его не пропустила медицинская комиссия. Вместе с университетом он был эвакуирован в Ашхабад, где закончил учебу и был направлен на патронный завод в Ульяновск. В 1943-44 годах сделал самостоятельно несколько научных работ и послал их в Физический институт Игорю Евгеньевичу Тамму. В 1945 году он стал аспирантом И. Е. Тамма, в 1947 году защитил диссертацию, а с 1948 года приступил к работе в специальной группе, занимавшейся разработкой термоядерного оружия. За работы по расчету термоядерных реакций в 1953 году он стал академиком, Героем Социалистического Труда. Этой же награды Андрей Дмитриевич был удостоен еще дважды - в 1956 и 1962 годах. С конца 60-х годов А. Д. Сахаров возглавлял группу ученых, выступавших против реабилитации сталинизма, подавления интеллектуальных свобод, преследования инакомыслящих. За эти выступления он был отлучен от коллег и учеников, выслан из Москвы. Манифесты А. Д. Сахарова получили широкую известность на Западе, его деятельность по защите прав человека была в 1975 году отмечена Нобелевской премией мира. В 1986 году А. Д. Сахаров вернулся в Москву, возобновил нормальную научную работу, был избран членом президиума Академии наук СССР, народным депутатом СССР.

И. Е. Тамм и А. Д. Сахаров стали основными заказчиками для отдела А. Н. Тихонова. Руководителям советской военной промышленности член-корреспондент АН СССР А. Н. Тихонов был известен как автор метода расчета фильтров для противогазов. Физики знали его как математика, умеющего довести до конкретных результатов решение самой сложной прикладной задачи. Вызванному в Кремль А. Н. Тихонову было поручено возглавить выполнение всех расчетов, связанных с созданием водородной бомбы.

Отдел А. Н. Тихонова, насчитывавший около 60 человек, размещался сначала на Пятницкой улице, а затем переехал на улицу Кирова в здание с не вызывающей интереса вывеской. Большинство в отделе составляли женщины-вычислители, многие из них прежде работали с Андреем Николаевичем в Институте теоретической геофизики АН СССР. Орудиями счета служили трофейные электромеханические машины “Мерседес”. Внешне эти машины напоминали пишущие, выполнение арифметических операций сопровождалось лязгом кареток.

Среди немногочисленных научных сотрудников отдела выделялись двое - А. А. Самарский и Н. Н. Яненко. Александр Андреевич Самарский, о чьей совместной работе с А. Н. Тихоновым уже рассказывалось, в 1939 году поступил на физический факультет МГУ. В 1941 году он добровольцем ушел на фронт, был тяжело ранен и лишь в 1944 году смог продолжить учебу. А. Н. Тихонов был его руководителем и в студенческие годы, и в аспирантуре. Защитив в 1948 году диссертацию по задачам, связанным с уравнением Лапласа, А. А. Самарский приступил к работе в отделе.

Николай Николаевич Яненко учился в Томском университете. В Томск во время войны эвакуировалась часть преподавателей МГУ, среди которых был известный специалист в области дифференциальной геометрии профессор П. К. Рашевский. Под его руководством Н. Н. Яненко делал дипломную работу. Сразу после окончания университета Николай Николаевич был призван в армию и прошел фронтовыми дорогами от Ленинграда до Кенигсберга. После демобилизации он поступил в аспирантуру механико-математического факультета МГУ к П. К. Рашевскому, с которым переписывался все военные годы. В отдел А. Н. Тихонова он был направлен в 1948 году после защиты диссертации.

В жизни А. А. Самарского и Н. Н. Яненко было много общего. Оба они воевали, вместе делили тяготы голодного и неустроенного послевоенного быта в аспирантском общежитии на Стромынке. Общим для них был и интерес к задачам математической физики и вычислительной математики, возникший, во-многом, под влиянием работы в отделе А. Н. Тихонова. Докторская диссертация Н. Н. Яненко еще продолжала начатые ранее исследования по многомерной дифференциальной геометрии, но после ее защиты в 1954 году Николай Николаевич полностью переключился на новые задачи. А. Н. Тихонова он считал своим вторым учителем. Работы А. А. Самарского и Н. Н. Яненко по расчету термоядерных реакций были отмечены Государственными премиями СССР, впоследствии оба они стали крупнейшими специалистами по вычислительной математике, академиками, Героями Социалистического Труда.

Работа в отделе была поставлена таким образом, что каждый знал лишь то, что ему необходимо было знать. Сам Андрей Николаевич мог лишь догадываться о том, какой процесс описывают составленные физиками уравнения. От отдела требовалось надежное и, по возможности, быстрое решение этих уравнений.

Вычислительной математики как науки в то время еще не существовало, практически каждый шаг был шагом в неизвестность. Появившийся опыт расчетов уранового реактора и атомной бомбы был не слишком полезен. Там приходилось решать обыкновенные дифференциальные уравнения, а здесь - с частными производными. В самом начале работы Л. Д. Ландау в разговоре с А. Н. Тихоновым выражал сомнение в принципиальной возможности численного решения подобных задач. Своим подчиненным Андрей Николаевич об этом разговоре не сказал. Они не знали, что ежедневно решают задачи, которые до них не решал никто. Один из научных сотрудников отдела В. Я. Гольдин пишет об этом так: “Иногда наши результаты называли героическими, но мы не знали, что герои; и это наше незнание спасало нас”. Андрею Николаевичу и его сотрудникам приходилось не только придумывать численные методы, но и беспокоиться о том, чтобы их можно было реализовать весьма скромными средствами и за короткое время.

Физик Р. Юнг в книге “Ярче тысячи солнц” описывает историю появления атомного оружия. Он отмечает, что для американцев путь к супербомбе оказался блокированным “почти непреодолимой горой, а именно, горой цифр”. На начальном этапе справиться с этой горой помогала первая в мире электронно-вычислительная машина ЭНИАК. Вскоре усилиями выдающегося математика Джона фон Неймана была создана и передана атомщикам новая, более совершенная машина.

Отдел А. Н. Тихонова вычислительной техникой такого класса не располагал. Тем острее стояли вопросы разработки экономичных, с точки зрения числа операций, алгоритмов счета. Именно в это время появились многие идеи, которые позже были изложены в работах А. Н. Тихонова и А. А. Самарского по теории разностных схем. Много хлопот причиняла математикам неустойчивость - явление, часто возникающее при решении разностных краевых задач. Малые изменения в исходных данных задачи должны приводить к малым изменения решения. Только схемы, удовлетворяющие этому требованию, можно применять в реальных вычислениях, в противном случае на результатах счета сильно скажутся ошибки округлений чисел. Если разностная схема моделирует уравнение в частных производных с двумя независимыми переменными или систему таких уравнений, то ее устойчивость определяется (в основном) величинами шагов сетки по каждой из переменных.

В наши дни для наиболее употребительных разностных схем вопрос о соотношении между шагами, гарантирующем устойчивость, решен теоретически. Если же используется новая схема и нет уверенности в ее устойчивости, то пользуются следующим приемом: одну и ту же задачу решают несколько раз, уменьшая шаги сетки. Если результаты не “плывут”, то считается, что устойчивость достигнута. Естественно, что объем вычислений резко возрастает. Для современного компьютера это, быть может, и не страшно, но в отделе А. Н. Тихонова были только “Мерседесы”.

Важным был вопрос о контроле результатов счета. Задание на счет выдавалось сразу двум исполнителям, в процессе работы они не имели права общаться между собой. Сами задания проходили тройной контроль. А. А. Самарский вспоминает, что если он писал задание, то Н. Н. Яненко и В. Я. Гольдин его проверяли, в следующий раз роли менялись. По решению математиков была установлена символическая такса за ошибки, деньги вносили в общий фонд. Обязанность контроля итоговых результатов лежала на руководителе отдела.

Работа отдела была хорошо организована, -  быстро, но без излишней спешки и нервозности каждый делал порученное ему дело. Андрей Николаевич успевал в эти годы и руководить отделом, и читать лекции и вести семинары в МГУ, и продолжать фундаментальные исследования в области геофизики и теории дифференциальных уравнений с малыми параметрами, и работать над учебником “Уравнения математической физики”. Образ его жизни в это время ничем не отличался от привычного.

1 ноября 1952 года на атолле Эниветок американцам удалось осуществить термоядерную реакцию. Взорванное устройство имело огромный вес и габариты, превышающие размеры дома. Работа над бомбой нормальных размеров продолжалась, когда 8 августа 1953 года в советской печати появилось сообщение о том, что “Соединенные Штаты не обладают монополией на производство водородной бомбы”.

Утром 12 августа 1953 года на командном пункте полигона в Средней Азии, отдаленном от места взрыва на многие десятки километров, собрались члены правительства, военные, ученые. Был среди них и Андрей Николаевич Тихонов. Испытания прошли успешно. В расчетах отдела А. Н. Тихонова ошибок не было. Исключительные заслуги А. Н. Тихонова перед государством при выполнении этого задания правительства были отмечены Государственной премией СССР и званием Героя Социалистического Труда.

Американским специалистам удалось создать бомбу, пригодную для военных целей, к марту 1954 года.

ДЕВЯТЫЙ ВАЛ

Сама жизнь постоянно сталкивала Андрея Николаевича Тихонова с обратными, некорректными задачами. Прошло около 20 лет с тех пор, как он придумал метод подбора, видоизменявший исходную задачу, делавший ее устойчивой. За это время вышли десятки статей, книги, посвященные задачам, корректным по Тихонову. Разработанные методы в основном устраивали геофизиков. Но самого А. Н. Тихонова они не устраивали. Он был уверен, что, накладывая запрет на решение некорректных задач, Адамар ошибался. Но прав был великий Гете, утверждавший, что “гораздо легче найти ошибку, нежели истину”.

Поиски истины требовали напряженной работы, каждый шаг давался с большим трудом. Он понял, что надо изменить привычные формулировки, исходные данные любой задачи должны быть известны вместе с числовым параметром d - их точностью. Ему была ясна основная идея - некорректную задачу надо регуляризовать - заменить семейством зависящих от параметра корректных задач. Он уже догадывался, каков будет финал, и мог повторить слова Гаусса: “Мои результаты давно известны, я только не знаю, как я к ним приду”. В 1963 году он, наконец, нашел путь к своим результатам. Первая статья называлась “О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации”. В течение следующих трех лет вышло более 20 публикаций А. Н. Тихонова по этим вопросам. В 1966 году цикл работ А. Н. Тихонова по некорректным задачам был отмечен Ленинской премией, а сам Андрей Николаевич стал действительным членом Академии наук СССР. Некоторые итоги исследований в области теории и практических применений нового метода подвела монография “Методы решения некорректных задач”, написанная А. Н. Тихоновым и его учеником В. Я. Арсениным в 1974 году.

Далеко не всегда решение научной проблемы, долгое время не поддававшейся усилиям ученых, требует абсолютно новых идей и аппарата. Долгожданный эффект могут принести и старые, испытанные средства, если удастся взглянуть на них с новой, неожиданной точки зрения. Сам Андрей Николаевич отмечает, что зависящие от параметра регуляризующие операторы применялись в математике со времен Ньютона.

Мы уже рассматривали задачу о дифференцировании функции, известной приближенно. В пространстве непрерывных функций C[a, b] эта задача некорректна. Для решения той же задачи рассмотрим семейство операторов

 (u,a ) = [u(t + a ) - u(t)] / a

Пусть функция u(t) непрерывно дифференцируема и d - точность исходных данных, т. е. в нашем распоряжении имеется приближенное значение исходной функции ud(t) = u(t) + v(t), и при всех t О [a,b] выполнено неравенство |v(t)| Ј d . Тогда

R(ud, a ) = [u(t + a ) - u(t)] / a + [v(t + a ) - v(t)] / a.

При a ® 0 первое слагаемое стремится к производной du / dt, второе слагаемое при всех t, t + a из рассматриваемого отрезка не превосходит 2d/a . Если взять, например, a =, то при d ® 0 будет R(u_d, a) ® du / dt.

Таким образом, при замене производной разностным отношением приращения аргумента должны быть не слишком малыми по сравнению с погрешностью значений функции. Эту давно известную математикам идею Андрей Николаевич называет интуитивной регуляризацией.

Рассмотренный пример прост и нагляден. Созданная А. Н. Тихоновым общая теория регуляризации некорректных, в частности, обратных задач использует сложный аппарат функционального анализа. Применительно к обратным задачам Az = u она выглядит примерно так. Пусть d - точность исходных данных u, т. е. известно их приближенное значение u_d, погрешность которого не превосходит d. Рассматривается семейство A_a регуляризующих операторов, такое что при a ® 0  A_a переходит в A. Разнообразные методы построения этого семейства, обеспечивающие при каждом значении параметра a корректность задачи A_a z = u_d, составляет основу теории. Решение последней задачи z_a при достаточно малом a, выбираемом в соответствии с величиной d, и является приближенным решением исходной обратной задачи.

Создание А. Н. Тихоновым методов устойчивого решения широкого класса некорректных задач считается одним из наиболее ярких достижений современной математики. Появилось новое направление, значительно расширившее возможности применения математических моделей в науке и технике. Конечно, идеи
А. Н. Тихонова были развиты и его учениками, и другими математиками. По некорректным задачам проводятся симпозиумы, издаются специальные журналы, монографии. Над ними продолжают работать математики во всем мире.

Общепринятым критерием оценки работы ученого считается число ссылок на его публикации в научной литературе. Ежегодные мировые индексы цитирования, издаваемые в США и Англии, стабильно содержат около 200 ссылок в год на работы А. Н. Тихонова. “В научном творчестве должны действовать отдельные личности, в своей жизни или в данный момент времени возвышающиеся среди среднего уровня. И эти выдающиеся люди не могут быть заменены в большинстве открытий коллективной работой многих”, - писал В. И. Вернадский.

Метод регуляризации был использован А. Н. Тихоновым для решения вырожденных и плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений, линейных и нелинейных интегральных уравнений первого рода, задач математического программирования, оптимального управления, устойчивого суммирования рядов Фурье и многих других. По сути дела он представлял собой эффективный вычислительный алгоритм, наилучшим образом приспособленный для реализации на ЭВМ. Барьер, разделявший прикладные и некорректные задачи, рухнул. Этим сразу же воспользовались представители самых различных областей науки и техники. Андрею Николаевичу пришлось сотрудничать с механиками, астрофизиками, геофизиками, химиками, инженерами, экономистами, медиками. Приведем несколько названий совместных работ: “Математическое моделирование при решении задач обработки и интерпретации экспериментальных физических данных”, “Некоторые задачи оптимизации технологических процессов в металлургии”, “Методы регуляризации в задачах изучения структуры вещества”, “Математические модели электродинамики излучающих систем”, “О методах математической обработки рентгеновских изображений”, “Определение оптимальных сроков производства”. Мы расскажем лишь о некоторых направлениях, наиболее доступных для популярного изложения.

КАК ПОСТАВИТЬ ДИАГНОЗ

Слово “диагностика” происходит от греческого diagnostikos, означающего “способный распознать”. В медицине так называется раздел, изучающий признаки болезней, методы их распознавания и постановки диагноза - определения существа болезни. В технике под диагностикой понимается установление и изучение признаков, характеризующих состояние машин, приборов, технических систем, для предсказания возможных отклонений, предотвращения поломок, аварий. Иногда этот же термин используется и в более широком смысле. Диагностика плазмы, например, включает в себя методы ее исследования и измерения характеристик.

Проведение физических измерений - лишь начальный этап всякой диагностики. Определяющим является следующий этап - интерпретация. По косвенной информации врач должен высказать суждение о состоянии внутренних органов человека, инженер - об износе деталей, находящихся глубоко внутри работающего устройства, физик - об электронной плотности и температуре плазмы, не поддающихся непосредственному измерению. Во всех этих случаях мы имеем обратные задачи, причем объем исходных данных может быть достаточно большим, а методы обработки косвенной информации - сложными.

Вычислительной диагностикой называют совокупность методов и средств, предназначенных для исследования объектов по имеющейся косвенной информации с помощью вычислительной техники. Это новое направление порождено компьютеризацией науки, промышленности, медицины. С помощью методов вычислительной диагностики проводится контроль труднодоступных узлов реактивных двигателей и турбин, элементов ядерного реактора. Компьютер в сочетании с электронным микроскопом стал основным инструментом в исследовании биологических структур и кристаллических решеток. Соединение компьютера и современных измерительных приборов дало возможность получить новые данные в физике плазмы, астрофизике, геофизике. Проблемы изучения плотности электронов на сферической поверхности вокруг Солнца или структуры биологических молекул мало волнуют людей, далеких от науки. Но каждому человеку приходится иметь дело с врачами и в большей или меньшей степени полагаться на результаты медицинской диагностики. В создании современных средств медицинской диагностики Андрей Николаевич Тихонов принял самое непосредственное участие.

В 1895 году директор физического института при Вюрцбургском университете В. Рентген обнаружил новый вид излучения, исходящего от катодной трубки. В предварительном сообщении об открытии он упомянул, что лучи дают возможность получать изображение скелета человека. Вскоре появился первый в мире рентгеновский снимок, на нем была запечатлена рука госпожи Рентген с четко выделяющимся золотым кольцом. Современники и особенно медики были в восторге от всепроникающих лучей. Рентгеновский аппарат означал революцию в медицинской диагностике, так как давал врачу больше информации о невидимом, чем другие средства. “За открытие лучей, носящих его имя”, - говорилось в решении Шведской академии наук 1901 года о присуждении В. Рентгену первой в истории Нобелевской премии по физике. Любопытно, что лучи эти он открыл случайно. Впрочем, “на случай при великих открытиях наталкиваются лишь те, кто его заслуживает”, - веком раньше писал Ж. Лагранж.

Непосвященному на рентгеновском снимке отчетливо видны только кости. Понятно, что специалист легко различит их повреждение, перелом. Как же рентгенологи узнают об опухоли мозга или процессе в легком? Основной принцип рентгенодиагностики состоит в том, что рентгеновские лучи, проходя через ткани различной плотности, по-разному ослабевают. Коэффициенты поглощения нормальных и патологических тканей отличаются, тени различных участков внутреннего органа, фиксируемые на снимке, выглядят темнее или светлее. Но беда в том, что теневые изображения различных органов накладываются друг на друга. Кроме того, рентгеновские изображения, как правило, слишком темные: нельзя использовать большие дозы излучения, а чувствительность пленки мала. Поэтому восстановление трехмерной картины по одной или нескольким (пациента поворачивают) двумерным проекциям - скорее не наука, а искусство, степень владения им и отличает опытного рентгенолога.

Недостатки рентгенодиагностики были очевидны с самого начала. Так возникла идея томографии (описания сечений): надо получать снимки, на которых одна фиксированная плоскость воспроизводилась бы четко, а все остальные были размазаны. Такие рентгеновские аппараты придумали в 30-х годах, но по-прежнему слишком многое зависело от искусства расшифровки. Выход из создавшегося положения состоял в том, чтобы резко увеличить число используемых проекций. Через плоский слой исследуемого органа надо в большом числе направлений пропускать малые дозы излучения. Но человеческий мозг уже не может справиться с огромным объемом поступающей информации. Нужен компьютер. Соединение в одну установку рентгеновского аппарата и компьютера было второй революцией в медицинской диагностике. Компьютерный томограф впервые появился в клинике в 1971 году. Создателями компьютерной томографии были физик из Кейптауна А. Кормак (сейчас он работает в США) и английский инженер Г. Хаунсфилд. В 1979 году они стали лауреатами Нобелевской премии по медицине.

Принцип действия рентгеновского компьютерного томографа состоит в следующем. Рентгеновская трубка и жестко связанный с ней детектор движутся вокруг пациента, оставаясь в одной плоскости. Трубка движется не только поступательно, но и поворачивается, число ее положений составляет сотни тысяч. Излучение пронизывает исследуемый орган по всем возможным направлениям. При каждом угле поворота узкий пучок рентгеновских квантов после прохождения через тело попадает в детектор. Детектор измеряет интенсивность прошедшего излучения, электронная схема усиливает сигналы детектора и направляет их в вычислительный комплекс. ЭВМ последовательно восстанавливает вид плоских сечений. Численная информация, преобразованная в распределение яркости, предстает в виде изображений на экране. Благодаря томографу, объект исследования можно как бы повернуть на 90° и увидеть сверху.

Основными параметрами томографа являются скорость получения изображения и разрешающая способность, т. е. “умение” различать близкие значения коэффициента поглощения. Чтобы увеличить эти параметры, используются специальные процессоры, многие источники и детекторы одновременно, другие технические решения. Но одна из главных ролей принадлежит математическому обеспечению.

Коэффициент поглощения излучения в плоском сечении есть функция двух переменных f(x,y). Величина поглощения на каждом луче, пересекающем исследуемую плоскую область, может быть выражена интегралом по этому лучу. Возникает задача, относящаяся к так называемой интегральной геометрии: восстановить заданную в области функцию f(x,y), если известны ее интегралы по всем прямым, пересекающим область. Задача эта была решена австрийским математиком К. Радоном в 1917 году. Преобразование Радона ставит в соответствие каждой функции ее интеграл по прямой. Обратное преобразование также задается интегралом - вспомним прямое и обратное преобразования Лапласа или Фурье. Кстати, преобразования Радона и Фурье оказываются тесно связанными между собой.

Прошло около 40 лет, прежде чем результаты Радона нашли практическое применение. Преобразование Радона потребовалось для исследования сверхвысокочастотного излучения Солнца. Когда пришла эра компьютерной томографии, формула обращения Радона была “переоткрыта” А. Кормаком заново. Именно обратное преобразование Радона лежит в основе решения задачи восстановления функции f(x,y).

Первый компьютерный томограф был привезен в нашу страну из ФРГ. Министерство электротехнической промышленности СССР собрало группу специалистов, которой было поручено разобраться в принципах действия компьютерных рентгеновских томографов, дать предложения по организации их производства в нашей стране. Сотрудникам Института прикладной математики, возглавляемого А. Н. Тихоновым, предстояло разобраться в вопросах математического обеспечения. Для начала были изучены сопроводительные материалы, рекламные проспекты, затем математики осмотрели установку в действии. Впечатление было двойственным. С одной стороны, поражала возможность видеть на экране живой мозг. С другой - чувствительность томографа оказалась ниже ожидаемой. Пытаясь улучшить изображение, представитель фирмы постоянно что-то подкручивал, налаживал, но обещанной в рекламных проспектах четкости добиться не мог.

Из доступных публикаций следовало, что алгоритм построения томограмм основан на использовании обратного преобразования Радона. Но это преобразование не при всяких реальных исходных данных имеет смысл и неустойчиво к их малым изменениям. Это лишь одна из некорректных задач в математической теории компьютерной томографии. Другие некорректные постановки порождены самой задачей интерпретации зависящих от времени данных. Каждый из этапов - работа детекторов, регистрирующих интенсивность прошедшего излучения, преобразование сигналов детекторов, создание изображения на экране - может быть формализован следующим образом.

На вход устройства поступает сигнал z(t), сигнал на выходе u(t) связан с входным сигналом соотношением

Так называемая аппаратурная функция K (t - t) представляет собой реакцию устройства на воздействие d-функцией, принимающей бесконечное значение при t = t. На практике для получения этой функции на вход подают высокий и короткий прямоугольный импульс. Задача интерпретации показаний прибора, т. е. определения формы поступившего сигнала, сводится к решению линейного интегрального уравнения первого рода. Задача эта, как уже отмечалось выше, некорректна, а исходные данные u(t) содержат случайные погрешности.

Для получения устойчивых результатов в зарубежных компьютерных томографах использовались различные методы сглаживания, являющиеся, по существу, интуитивной регуляризацией. Характер методов мог быть весьма различным, но в любом случае сохранялся фирмой, производящей томографы, в строгом секрете. Алгоритм сглаживания не позволял улучшить приближение к точному решению, этим, видимо, и объяснялась недостаточная четкость изображения. К тому же любое изменение конструкции томографа означало необходимость серьезных изменений и в математическом обеспечении.

Теоретики и конструкторы первого советского рентгеновского компьютерного томографа СРТ-1000, предназначенного для исследований головного мозга, поставили перед собой задачу создать более совершенную установку, чем имеющиеся к тому времени образцы. Работой руководили академик А. Н. Тихонов и профессор И. Б. Рубашов. В основу математического обеспечения была положена специально разработанная форма метода регуляризации. Принцип локальной регуляризации использовал дополнительную информацию как количественного, так и качественного типа и в конечном счете обеспечивал более высокую разрешающую способность. Специализированные вычислительные устройства и комплексы программ позволили довести время получения томограммы до 5-30 секунд.

При создании современных ЭВМ затраты на разработку их математического обеспечения в 2-3 раза превышают расходы на конструирование. С компьютерными томографами дело обстоит так же. Разработанные А. Н. Тихоновым и его учениками общие принципы позволяют производить различные модификации компьютерных томографов, не меняя при этом существа математического обеспечения.

Когда начиналась работа над созданием отечественных компьютерных томографов, фирма “Дженерал Электрик” предложила купить у нее пакет программ, оценив его более чем в 6 млн. долларов. Наши математики предпочли пойти своим путем. На основе метода регуляризации А. Н. Тихонова им удалось создать менее “шумящие” алгоритмы, более “быстрые” программы, которыми заинтересовались западные фирмы.

С 1981 года томограф СРТ-1000 действует в Институте неврологии Академии медицинских наук СССР. До появления томографа для того, чтобы как-то увидеть, что происходит в мозге больного человека, в черепе делалось отверстие. Через него с помощью иглы в желудочки мозга вводилось контрастное вещество. “Окрашенные” желудочки можно было различить на обычном рентгеновском снимке. Если удавалось увидеть изменения в их положении, то на основании этого судили о новообразовании в мозге, самих новообразований врачи не видели. Компьютерный томограф избавил тысячи людей от мучительных и недостоверных процедур. С 1983 года аппараты такого типа выпускаются серийно, они установлены во многих ведущих клиниках страны.

То же самое математическое обеспечение было использовано при разработке томографа для исследования человеческого тела, его первый экземпляр был передан в 1983 году Всесоюзному онкологическому научному центру. Интересно, что созданию этого компьютерного томографа во многом помог другой компьютер - на стадии проектирования технические решения отдельных комплек-сов, узлов, систем управления выбирались путем численных экспериментов.

Принцип вычислительной томографии оказался настолько плодотворным, что начались разработки томографов, использую-щих другие виды излучения. Естественно, что менялись и математические постановки задач. Весьма перспективным казалось применение ультразвука, так как он абсолютно безвреден. В отличие от рентгеновского, ультразвуковой томограф восстанав-ливает не коэффициент поглощения, а скорость распространения ультразвука, связанную с биологическими свойствами тканей. Еще одно, более принципиальное отличие состоит в том, что рентгеновское излучение распространяется в объекте по прямой, а ультразвуковой луч - по сложным траекториям, подвергаясь отражениям и дифракции. Формализовать такой процесс сложно. По оценкам А. Н. Тихонова и его коллег, известные математические модели ультразвуковой томографии достаточно хорошо описывают процессы только в однородных мягких тканях. Ультразвуковые томографы внедрены в клиническую практику, они предназначены для исследования молочной железы, когда рентгеновским излучением даже в самых малых дозах пользоваться нельзя.

Революцию, но уже в компьютерной томографии, представляло создание томографа, основанного на явлении ядерно-магнитного резонанса (ЯМР). ЯМР-томография основана на взаимодействии переменных во времени магнитных полей с ядрами некоторых атомов (например, водорода) в мягких биологических тканях. Если облучать объект электромагнитным полем определенной частоты, то вдоль линии L постоянной магнитной напряженности возникают условия ЯМР. Когда облучение ведется в импульсном режиме, вещество будет то поглощать энергию, то излучать ее. Информацию об объекте несет излученная энергия, формально она выражается интегралом вдоль линии L. Задачи интерпретации здесь, разумеется, некорректны, но имеют, по сравнению с рентгеновскими, свою специфику.

В статье “О решении проблемы восстановления изображения в ЯМР-томографе”, опубликованной в 1982 году, А. Н. Тихонов и его коллеги сформулировали основные положения теории ЯМР-томографии, на базе которых был создан пакет программ. С 1983 года ЯМР-томографами пользуются нейрохирурги, онкологи, кардиологи.

Интенсивные исследования в области теории и практики компьютерной томографии как в медицине, так и в других областях науки и техники, ведутся во всем мире. Вышедшая в 1987 году книга сотрудников Института прикладной математики А. Н. Тихонова, В. Я. Арсенина и А. А. Тимонова “Математические задачи компьютерной томографии” не только подводит итог проведенным исследованиям, но и намечает подходы к созданию математического обеспечения для принципиально новых компьютерных томографов.

ИНТУИЦИЯ И АНТЕННЫ

Важным результатом научных исследований является создание, синтез новых устройств, приборов. Объекта пока не существует, есть только его математическая модель. Требования к прибору - это “исходные данные” u, характеристики прибора формализуются неизвестным “решением” z, связь между u и z задается условием Az = u. Таким образом, задача проектирования или синтеза является обратной и, возможно, некорректной. Общего метода решения таких задач не было, поэтому обычно пользовались следующим приемом: руководствуясь опытом, задавали z и выясняли, какое при этом получится u. Если “исходные данные” оказывались далеки от желаемых, пытались что-то изменить в z.

Мы уже упоминали о задаче проектирования антенн. Основной характеристикой излучающей антенны является так называемая диаграмма направленности, описывающая распределение энергии излучения в пространстве в зависимости от угла. Для того, чтобы синтезировать антенну с заданной диаграммой, надо решить интегральное уравнение первого рода. В середине 60-х годов эта задача привлекла внимание физиков. В работе академиков П. Л. Капицы, В. А. Фока и Л. А. Вайнштейна такое решение было получено в виде ряда Фурье. Практическое использование этих результатов предполагало замену ряда суммой нескольких первых гармоник. Но суммирование рядов Фурье в случае, когда коэффициенты известны приближенно, представляет собой некорректную задачу.

Устойчивый к малым изменениям коэффициентов метод суммирования рядов Фурье, основанный на идее регуляризации, был предложен А. Н. Тихоновым в 1964 году. Спустя пять лет, появилась статья А. Н. Тихонова и его ученика В. И. Дмитриева “О методах решения обратной задачи теории антенн”. Физики обратили внимание на статью, их самолюбие было задето. Андрей Николаевич получил приглашение выступить с докладом на знаменитом “капичнике” — семинаре, которым руководил П. Л. Капица, директор Института физических проблем АН СССР.

Докладчик рассказал, как в рамках построенной математической теории удалось не только получить устойчивое решение интегрального уравнения, но и учесть диктуемые практикой дополнительные требования к диаграмме направленности. Признавая важность полученных автором доклада результатов, академик В. А. Фок, крупный специалист в области электродинамики и квантовой механики, заявил, что хороший физик должен интуитивно чувствовать, сколько гармоник заменяют сумму ряда. “Интуиция хороша для решения отдельной задачи, но когда речь идет о создании алгоритма решения класса задач, нужна гарантированная устойчивость”, - ответил А. Н. Тихонов. Когда бурный семинар закончился, Петр Леонидович Капица пригласил Андрея Николаевича к себе в кабинет, и они долго говорили о том, в каких еще физических задачах может оказаться полезной идея регуляризации.

Исследования по созданию методов проектирования оптимальных антенных систем различного назначения продолжались. Как всегда, Андрей Николаевич привлек к работе группу своих учеников. Значение этих исследований выходило за рамки и первоначальных прикладных задач, и электродинамики. По сути дела руководимый А. Н. Тихоновым коллектив разработал принципиально новый подход к решению задач математического проектирования сложных физических систем. В 1976 году эти работы были отмечены Государственной премией СССР.

ПРОНИКНУТЬ В ТАЙНЫ ПРИРОДЫ

Рассказывая об обратных задачах и диагностике, мы уже коснулись проблемы интерпретации и обработки результатов наблюдений. Установки для проведения современных экспериментальных исследований в физике, химии, биологии, технике нередко являются сложными, дорогостоящими. Результаты этих исследований должны быть надежными, практически достоверными. Из получаемых экспериментальных данных надо извлекать максимум информации, не выходя за пределы точности, определяемой сутью процесса. При этом эффекты, лежащие, что называется, на поверхности, науке, как правило, известны. Охота идет за “редкими”, “слабыми” эффектами, отдельные эксперименты приходится повторять многократно. Объем информации, требую-щий переработки, может составлять десятки и сотни тысяч осциллограмм, снимков, показателей других приборов. Естественно, что столь ответственная и трудоемкая работа может быть выполнена только с помощью ЭВМ.

Для широкого класса экспериментальных исследований выделяют три этапа обработки наблюдений. На первом этапе происходит снятие информации с регистрирующей аппаратуры, перевод ее в числовой код и засылка в ЭВМ. На полезные информативные сигналы накладываются погрешности, шумы приборов. Второй этап состоит в первичной обработке - числовые данные могут быть подвергнуты нормировке, статистической обработке. Результатами второго этапа являются исходные данные u. Третий, наиболее сложный этап состоит в интерпретации результатов наблюдений u, т. е. в нахождении модели объекта z из соотношения Az = u.

Поскольку исходные данные u известны с некоторой погрешностью, основной проблемой автоматизации обработки наблюдений является создание математических методов решения обратных задач, устойчивых по отношению к ошибкам наблюдений. Главную роль здесь играют разработанные А. Н. Тихоновым методы регуляризации. В математической теории компьютерной томографии эти методы применялись для решения интегральных уравнений первого рода. Решение систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при обработке результатов наблюдений, также требует регуляризации. А. Н. Тихонов поясняет это следующим простым примером: Рассмотрим систему

x + 7y = 5 x + y =

Внимательный читатель сразу заметит, что второе уравнение получается из первого умножением на , система имеет бесконечно много решений. Компьютер ничего не заметит, он приближенно извлечет корни и начнет решать. Если ограничиться точностью до одного знака после запятой, то можно обойтись и без компьютера, решение системы

x + 7y = 5 1,4x + 9,9y = 7,1

имеет вид x = - 2, y = 1. При точности в 100, 300 и 500 десятичных знаков компьютер выводит следующие результаты:

x⁽¹⁰⁰⁾ = 0,..., x⁽³⁰⁰⁾ = 1,6..., x⁽⁵⁰⁰⁾ = 5,....

Неточность в исходных данных задачи - коэффициентах системы и правых частях - становится все меньше, а с решением происходит что-то странное. Можно, конечно, сослаться на странность исходной системы, имеющей бесконечно много решений. Но, во-первых, имея систему из большого числа уравнений, мы заранее не знаем, сколько у нее решений. А, во-вторых, математики умеют находить единственное решение любой системы линейных алгебраических уравнений. Делается это с помощью метода наименьших квадратов (МНК), возникшего как раз в связи с необходимостью обработки результатов наблюдений.

В конце XVIII - начале XIX века Лежандр и Гаусс занимались восстановлением траекторий комет по наблюдениям, сделанным в различные моменты времени. Предстояло найти величины Z₁, Z₂,..., Z_n, каждое измерение давало линейное соотношение между ними вида a_i1Z₁ + a_i2Z₂ +...+ a_inZ_n = u_i, причем коэффициенты a_ik и u_i определялись из наблюдений с неизбежными систематическими и случайными ошибками. Здравый смысл подсказывает, что для более точного определения Z₁, Z₂,..., Z_n надо иметь побольше наблюдений. В итоге получается переопределенная система, число неизвестных в ней n , а число уравнений m > n. В традиционном смысле эта система неразрешима, идея Лежандра (1806 г.) и Гаусса (1809 г.) состояла в том, чтобы определить решение Z* по методу наименьших квадратов как такое, которое минимизирует сумму квадратов отклонений всех измерений:

Условие (4) сводится к системе линейных уравнений относительно Z₁, Z₂,..., Z_n , эта система заведомо разрешима, так что обобщенное решение z*₁, z*₂,..., z*_n в смысле МНК всегда существует. Однако возможно, что такое решение не единственно. В этом случае, считает А. Н. Тихонов, надо определить нормальное решение в смысле МНК. В простейшем варианте нормальное решение выделяется из всех решений по МНК тем, что ближе всего лежит к началу координат. Любая система линейных уравнений имеет, и притом единственное, нормальное решение по МНК: если исходная система имеет единственное решение, то МНК дает именно его.

Для системы (3) правая часть соотношения (4) имеет вид

Ясно, что минимум, равный нулю, достигается при всех x и y, лежащих на прямой x + 7y - 5 = 0. Ближайшая к началу координат точка этой прямой x* = 0,1, y = 0,7 и определяет нормальное решение. Все системы, получившиеся из (3) при замене корней их десятичными приближениями, имели единственное решение, совпадающее с нормальным решением по МНК. Следовательно, нормальное решение, находимое традиционными методами, также может быть неустойчивым.

Таким образом, эти методы не могут быть положены в основу автоматизированной обработки наблюдений на ЭВМ. Снова проявляется общий закон: для получения устойчивого решения обратной задачи нужна информация о точности исходных данных. В данной задаче информация складывается из двух параметров - точности задания матрицы системы m и точности правых частей d. Разработанный А. Н. Тихоновым регуляризованный метод наименьших квадратов (РМНК) представляет собой алгоритм получения устойчивого решения. Примененный к системе (3) этот алгоритм дает следующие результаты: при d = m =10^-1 x = 0,0968, y = 0,6944, при d = m = 10^-4 x = 0,09998, y = 0,69998. Явно видна сходимость к нормальному решению.

Глубокое философское и математическое значение имеет результат А. Н. Тихонова, полученный им в 1986 году. Андрей Николаевич доказал, что знание величин m и d не только достаточно, но и необходимо для построения устойчивого решения системы линейных алгебраических уравнений. Иначе говоря, не существует никакого понятия устойчивого обобщения решения такой системы, основанного только на информации о ее матрице.

Мы коснулись лишь некоторых аспектов задачи автоматизированной обработки результатов наблюдений. А. Н. Тихоновым и его сотрудниками создан целый программный комплекс, состоящий из многих пакетов программ. Особенность комплекса - в его многоцелевом назначении, управляющая программа для различных задач остается одной и той же. Во всех программах интерпретации основное внимание уделено получению устойчивых результатов. В комплекс входит и программа “квазиреального эксперимента”, позволяющая оценивать точность полученных результатов в зависимости от уровня шумов.

Первая в мире система сплошной обработки наблюдений, базирующаяся на разработанном комплексе, была реализована в одной из лабораторий Института ядерной физики МГУ. Установка, предназначенная для проведения фотоядерных экспериментов, включала в себя бетатрон - один из видов ускорителей элементарных частиц. Поток гамма-квантов, генерируемых бетатроном, бомбардировал образцы исследуемого вещества. При этом могут происходить ядерные реакции с захватом гамма-квантов и выделение нейтронов, протонов или других частиц. Появление частиц связано с энергетическими характеристиками потока излучения, математически эта связь выражается интегральным уравнением первого рода. Эксперимент многократно повторялся, объем перерабатываемой информации имел порядок 10⁷ чисел. Управление бетатроном и вся обработка результатов велись на ЭВМ. В комнату, где размещался бетатрон, сотрудники лаборатории заходили лишь для того, чтобы что-то изменить в условиях эксперимента. Многократные “квазиреальные эксперименты” гарантировали высокую точность результатов.

Система оправдала надежды физиков. На ней впервые был обнаружен тонкий эффект “двойного взаимодействия”, когда при реакции выделяется не один, а два нейтрона. В результате этих работ в Институте ядерной физики МГУ создано отделение Мирового банка данных по фотоядерным взаимодействиям.

Другая совместная работа была проведена Институтом прикладной математики им. М. В. Келдыша и Институтом атомной энергии им. И. В. Курчатова. Экспериментально исследовался всплеск плазмы, возникающей при взаимодействии лазерного луча с пластинкой фольги. С помощью специальной камеры и различных фильтров плазменная корона фотографировалась в рентгеновских лучах. Снимки представляют косвенное проявление недоступных прямому измерению температуры и плотности внутри короны. Они являются исходными данными в задаче диагностики плазмы. Математические методы решения этой задачи во многом похожи на применяемые в рентгеновской компьютерной томографии. Система обработки результатов наблюдений не только обеспечила устойчивое решение задач диагностики, но и позволила оптимальным образом выбрать фильтры. “Квазиреальные эксперименты” состояли в том, что по реальным распределениям температуры и плотности плазмы были найдены теоретические значения интенсивности излучения, проходящего через различные фильтры. На полученные значения были наложены реальные шумы, затем была решена обратная задача. Полный цикл обработки дал хорошее согласие исходных и расчетных данных.

Работы А. Н. Тихонова и его учеников были высоко оценены такими известными физиками, как академики А. П. Александров, Н.Г. Басов, Е. П. Велихов, Я. Б. Зельдович. Методы автоматизированной обработки наблюдений помогают им глубже проникнуть в тайны природы.

“Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевесу принес на жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то бы едва в целом свете столько рогатого скота сыскалось”, - более двух веков назад писал М. В. Ломоносов. Несмотря на увеличение поголовья, вывод остается справедливым и в наши дни.

ЧЕЛОВЕК ОДЕРЖИМЫЙ

2500 лет назад древнегреческий философ Анаксагор утверждал, что “разум правит миром”. Он считал, что целью жизни человека является теоретическое познание и происходящая отсюда свобода. Мы не знаем, как выглядело это утверждение на языке оригинала. Возможно, что теоретическое познание - это перевод греческого mathema. В этом случае, согласно Анаксагору, цель жизни состоит в занятиях математикой.

Андрей Николаевич Тихонов пришел к такому выводу еще в молодости. Слова знаменитого французского математика и механика С. Пуассона “В жизни нет ничего лучшего, чем изучать и преподавать математику” могли бы стать девизом А. Н. Тихонова. В выполнении этой программы Андрею Николаевичу удалось достичь многого. Получены результаты, принесшие мировую славу, завоевано признание и высокое положение в науке, создана большая и сильная научная школа. Конечно, для этого потребовалось то, что называют особым складом ума, математическими способностями, талантом. Но не менее, а возможно, и более важную роль сыграли целеустремленность и работоспособность.

А. Н. Тихонов - человек одержимый, работа поглощает его целиком. И в молодые годы, и в конце жизни необходимость оторваться от разложенных на письменном столе бумаг или закончить обсуждение научных проблем с учениками он воспринимал как неизбежность, отрывающую его от основного дела - математики. Может в этой формуле “человек одержимый” и содержится суть ответа на вопрос, как добиться успехов в математике.

Впрочем, точнее будет сказать, что Андрей Николаевич поклонялся двум божествам. Одно из них - Математика, другое - Семья, и трудно определить, какое из них важнее. Со своей будущей женой Андрей Николаевич познакомился в Теберде. Наталья Васильевна, выпускница МГУ, филолог по образованию, отдыхала там в санатории. Весь санаторий знал, что в палатке на берегу Бадукского озера живут бритые московские математики (в ту пору борода считалась почти необходимым признаком принадлежности к ученому миру), которые купаются в ледяной воде и что-то строчат на пишущей машинке. Это были П. С. Александров, А. Н. Колмогоров, В. В. Немыцкий и А. Н. Тихонов. Следующая встреча произошла только через год, на турбазе в Хибинах, затем последовали частые свидания в Москве. В свадебное путешествие Наталья Васильевна и Андрей Николаевич отправились на русский север, к Кирилло-Белозерскому монастырю.

У Тихоновых четверо детей. Андрей Николаевич, несмотря на занятость, много занимался с детьми, развивая в них интерес к математике и изобразительному искусству, истории и литературе, туризму и альпинизму. Человек неприхотливый и равнодушный к материальным благам, он боялся, что достаток в семье может избаловать детей. Им всегда покупалась самая обычная одежда, билеты в театр или консерваторию брались подальше, повыше, подешевле. Все, кто знает семью Тихоновых, отмечают, что родители сумели передать детям скромность, трудолюбие, доброту и подлинную внутреннюю культуру. Потом, когда пришло время, Наталья Васильевна и Андрей Николаевич помогали воспитывать 11 внуков. И маленькие, и большие любили приходить к дедушке. Как-то, при подготовке первого издания этой книги, один из авторов беседовал с А.Н.Тихоновым в его кабинете. В поисках нужной бумаги Андрей Николаевич достал из укромного места ключ от ящика письменного стола и, предупреждая вопрос, с улыбкой пояснил, что у него в домашнем кабинете часто бывают малолетние бандиты.

С детьми и внуками Андрей Николаевич неоднократно “проходил” школьный курс математики. Естественно, что он не мог не выразить своего отношения к изменениям, которым программа этого курса подверглась в середине 70-х годов. Он стал инициатором документа, известного как письмо десяти академиков. Подписанное такими математиками, как Н. Н. Боголюбов, И. М. Виноградов, М. В. Келдыш, А. Н. Тихонов, оно призывало отказаться от недостаточно продуманных экспериментов в столь важном для всей страны деле, как школьное образование. Отделение математики АН СССР согласилось с авторами письма и создало несколько групп, которым на конкурсной основе было поручено продумать основные концепции школьного курса математики и подготовить новые учебники. Одну из групп возглавил А. Н. Тихонов. В нее вошли ближайшие ученики. Группа разделилась на две части, одни занялись алгеброй, другие - геометрией. Формально Андрей Николаевич не считался автором этих учебников, но в их создание он вложил весь свой опыт. На конкурсе учебник по геометрии, представленный группой А. Н. Тихонова, занял первое место, высокую оценку получил и учебник по алгебре.

Для математика такие понятия, как отдых или отпуск, имеют довольно условный характер. Далеко не всегда работа мысли считается с будильником и календарем. В молодости Андрей Николаевич предпочитал проводить свободные дни в походах, спутниками его всегда были коллеги, математики. В беседах у туристического костра нередко рождались идеи, из которых потом строились новые теории.

В последние годы жизни Андрею Николаевичу стало трудно ходить в походы. Он перестал использовать положенные ему длинные отпуска и путевки в санатории. Проведя на даче 2-3 недели, он начинал скучать по работе, ученикам и в конце концов уезжал в Москву. Отдых, перерыв в работе для Андрея Николаевича состоял в том, чтобы побыть с внуками или, взяв новые тома Н. М. Карамзина, С. М. Соловьева, публикации, посвященные тысячелетию крещения Руси, погрузиться в далекую историю. Коллеги и ученики знали, что с 21⁰⁰ до 22⁰⁰ А. Н. Тихонову звонить не стоит, он смотрит “Новости”. Впрочем, у Натальи Васильевны не было уверенности, что при этом он полностью переключался на последние известия. Ей кажется, что и у телевизора Андрей Николаевич продолжал думать о своей математике.

Мы уже много раз говорили об учениках Андрея Николаевича. Работая в МГУ, А. Н. Тихонов в разные годы возглавлял кафедры высшей математики физического факультета, вычислительной математики механико-математического факультета. Ему пришлось преодолеть много ведомственных барьеров, чтобы добиться открытия в МГУ еще одного факультета - вычислительной математики и кибернетики (ВМК). С 1970 года А. Н. Тихонов был деканом этого факультета. Его лекции слушали тысячи студентов. Среди тех, кто вошел в науку под его непосредственным руководством, - сотни кандидатов и десятки докторов наук. Если учесть “научных внуков” - учеников академика А. А. Самарского, члена-корреспондента АН СССР В. А. Ильина, профессоров А. Б. Васильевой, Б. Л. Рождественского, А. Г. Свешникова и многих других, то каждое из упомянутых чисел возрастает на порядок. Тихоновская школа во многом определяет развитие прикладной математики в нашей стране.

Совмещение должностей декана факультета ВМК и директора Института прикладной математики им. М. В. Келдыша - дело хлопотное. Административные вопросы отнимали у А. Н. Тихонова много времени. Известный советский математик академик Л. С. Понтрягин как-то спросил у Андрея Николаевича, зачем ему это нужно. Декан и директор ответил, что таким образом ему без всяких согласований удается сразу погрузить студентов в атмосферу серьезной научной работы, привлечь к преподаванию лучших научных сотрудников, пополнять Институт наиболее талантливыми выпускниками факультета. Как говорится, цель оправдывает средства.

По отношению к своим ученикам Андрей Николаевич был одновременно и добрым и беспощадно требовательным. Он умел заранее определить “потолок” каждого из них и заставлял максимально выкладываться до тех пор, пока этот “потолок” не будет достигнут. Ученики знают, что Андрея Николаевича устраивали только исчерпывающие результаты. Если в теореме фигурируют предположения a), b), c), то он требует непременно выяснить, определяются ли они существом дела или порождены методом доказательства.

Владимир Александрович Ильин поступил в МГУ в послевоенном 1945 году. У восьми человек из этого набора А. Н. Тихонов стал научным руководителем. Андрей Николаевич считает, что за все годы его преподавания это была лучшая, наиболее активная группа его учеников.

Владимир Александрович вспоминает, что руководитель не только учил студентов математике. Он рассказывал об истории и импрессионизме, гулял по Москве и ходил вместе с ними в походы. Как-то студент В. А. Ильин пропустил семинар руководителя. На следующем занятии Андрей Николаевич поинтересовался причиной. Студент, заранее не побеспокоившийся о благовидном предлоге, честно сказал, что был на катке. Руководитель посоветовал найти возможность сочетать два нужных дела. Владимиру Александровичу показалось, что после этого случая Андрей Николаевич почему-то стал относиться к нему лучше. Во всяком случае, защиту дипломных работ он и двое его товарищей отмечали на квартире у Тихоновых.

Профессор В. А. Ильин - автор нескольких учебников, изданных в многотомной серии “Курс высшей математики и математической физики”. Главный редактор серии А. Н. Тихонов привлек к ее созданию своих лучших учеников. Сам Андрей Николаевич стал автором трех учебников серии. Помимо уже упоминавшегося курса “Уравнений математической физики”, это “Дифференциальные уравнения” и “Теория функций комплексной переменной”. Адресованная студентам специальностей “Прикладная математика” и “Физика” серия насыщена примерами, помогающими научиться применять математические методы для исследования разнообразных реальных процессов и явлений.

“Математика - наука молодых. Иначе и быть не может. Занятия математикой - это такая гимнастика ума, для которой нужны вся гибкость и вся выносливость молодости”, - считал Н. Винер. Всей своей деятельностью последних лет Андрей Николаевич Тихонов опровергал это утверждение.

Литература

Оглавление

---

При любезном содействии авторов публикуется по изданию
Б.М. Писаревский, В.Т. Харин, "Беседы о математике и математиках",
Изд. "Нефть и газ", М., 1998 г., 185 стр.

---

---