Глава 2.

ИЗОБРЕТЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЯ  И ДЕФОРМАЦИИ,
или
барон Коши и расшифровка модуля Юнга

 

Чем, как не ареной ужасов, была бы жизнь без арифметики? Сидней Смит, письмо к юной леди от 22 июля 1835 г.

Кроме Ньютона и предрассудков XVIII в. главной причиной столь долгого застоя в теории упругости было то, что те немногие ученые, которые все же занимались атой проблемой, пытались анализировать силы и перемещения, рассматривая конструкцию целиком как это делал и Гук, - вместо того чтобы перейти, к силам и деформациям, которые существуют в каждой точке внутри материала. Предпринимавшиеся в XVIII и XIX вв. такими выдающимися умами, как Леонард Эйлер (1707-1783) и Томас Юнг (1773-1829), попытки решать вполне стандартные с сегодняшней точки зрения задачи кажутся современному инженеру невероятнейшими интеллектуальными ухищрениями.

Концепция упругости материала в точке сводится к понятию о напряжении и деформации, которое впервые в обобщенной форме было сформулировано Огюстом Коши (1789-1857) в его статье, направленной во Французскую академию наук в 1822 г. После работ Гука эта статья была, быть может, самым важным событием в истории развития теории упругости. После нее появилась надежда, что эта наука наконец станет орудием в руках инженеров, а не эмпиреями нескольких эксцентричных мыслителей. На портрете, написанном примерно в то же время, Коши выглядит довольно бойким молодым человеком; несомненно, в прикладной математике он был большой силой.

Когда в XIX в. английские инженеры наконец снизошли до того, чтобы познакомиться с работами Коши, то обнаружили, что, усвоив основные понятия о напряжениях и деформациях, можно сразу упростить все исследования по расчету конструкций. Сегодня эти понятия в широком ходу, и трудно объяснить то замешательство и смущение, которые иногда испытывают при упоминании о них неспециалисты. У меня как-то была аспирантка, незадолго до этого удачно защитившая диплом по биологии. Изучение понятий о напряжениях и деформациях вывело ее из душевного равновесия настолько, что она сбежала из университета и бесследно исчезла. Почему - я так и не пойму до сих пор.

Напряжение

Оказывается, к представлению о напряжении был очень близок еще Галилей. В "Двух новых науках" - книге, написанной им в старости в Арцетри, - он ясно указывает, что растягиваемый стержень имеет прочность, которая при постоянстве остальных условий пропорциональна площади его поперечного сечения. Иными словами, если стержень сечением 2 см² разрывается при нагрузке 1000 кгс, то стержень сечением 4 см² разрывается при нагрузке 2000 кгс. Кажется почти невероятным, что потребовалось почти два столетия, чтобы разделить разрушающую нагрузку на площадь поверхности в месте разрыва, дабы получить величину, называемую сегодня разрушающим напряжением (в упомянутом выше случае 500 кгс/см²) и относящуюся ко всем стержням из того же материала.

Коши осознал, что такое представление о напряжении можно использовать не только для того, чтобы предсказать разрушение материала, но и для более общего описания состояния тела в любой его точке. Другими словами, напряжение в твердом теле напоминает давление в жидкости или газе. Оно является мерой воздействия внешних сил на атомы и молекулы, из которых состоит материал и которые вынуждены под действием этих сил сближаться или удаляться друг от друга.

Таким образом, сказать, что напряжение в данной точке какого-то куска стали составляет 500 кгс/см²', ничуть не более вразумительно и не менее таинственно, чем сказать, что давление в шинах моего автомобиля 2 кгс/см². Однако, хотя понятия о давлении и напряжении вполне сопоставимы, нужно иметь в виду, что давление действует в любом направлении внутри жидкости, тогда как напряжение является величиной, характеризующейся определенными направлениями действия. Напряжение может, в частности, действовать в одном-единственном направлении; во всяком случае, пока мы будем считать, что это именно так.

В количественном выражении напряжение в заданной точке определяется отношением силы, или нагрузки, приходящейся на небольшую площадку в окрестности этой точки, к величине этой площадки*.

* Здесь явная аналогия со скоростью движения, которая в каждый данный момент времени равна отношению пути, пройденного за малый отрезок времени, к величине этого отрезка времени.

Если напряжение в некоторой точке мы обозначим буквой s, то

напряжение = s = (нагрузка/площадь) = (Р/А),

где Р - нагрузка, а А - площадь, на которую, как можно считать, эта нагрузка действует (рис. 6).

Рис. 6. Напряжение, возникающее в бруске при растяжении.
(Ситуация при сжатии выглядит аналогичным образом.)

Вернемся теперь к нашему кирпичу, который в предыдущей главе мы оставили висящим на веревке. Если кирпич весит 5 кг, а веревка имеет сечение 2 мм², то кирпич натягивает веревку с силой 5 кгс, а напряжение в веревке

s = (нагрузка/площадь) = (Р/A) =  5 кгс/2 мм² = 2,5 кгс/мм²,

 или, если угодно, 250 кгс/см².

Единицы напряжения

В связи со сказанным возникает порой вызывающий досаду вопрос о единицах напряжения. Напряжение можно выразить, и часто его именно так и выражают, в различных величинах, соответствующих какой-либо единице силы, деленной на какую-либо единицу площади. Чтобы не было путаницы, в этой книге мы ограничимся использованием следующих единиц.

Меганьютон на квадратный метр - МН/м². Это единица СИ - Международной системы единиц, которая в качестве единицы силы использует Ньютон - Н.

1Н = 0,102 кгс (приблизительно весу одного яблока).

1 МН (меганьютон)=1 млн. Н, что составляет почти 100 т.

Килограмм силы на квадратный сантиметр - кгс/см²

Перевод одних единиц в другие:

1 MH/м² = 10,2 кгс/см², 1 кгс/см²=0,098 МН/м².

Таким образом, полученное в нашей веревке напряжение составляет 250 кгс/см² или 24,5 МН/м². Обычно для приближенного вычисления напряжений нет необходимости и в абсолютно точных коэффициентах перевода одних единиц в другие.

Стоит повторить: важно осознать, что напряжение в материале, подобно давлению в жидкости, есть величина, привязанная к некоторой точке; оно не относится к какой-либо определенной площади поперечного сечения, такой, как квадратный сантиметр или квадратный метр.

Деформация

В то время как напряжение говорит нам о том, сколь интенсивно принуждаются к расхождению в данной точке твердого тела атомы, деформация говорит о том, сколь далеко этот процесс растяжения зашел, то есть каково относительное растяжение межатомных связей,

Так, если стержень, имевший первоначально длину L, под действием силы удлинился на величину l, то деформация, или относительное изменение длины стержня, которую обозначим буквой е, будет e = l/L (рис. 7)

Рис. 7. Деформация, возникающая в бруске при растяжении.
(Деформация при сжатии выглядит аналогичным образом.)

Возвращаясь к нашей веревке, можно сказать, что если ее первоначальная длина была, допустим, 2 м (200 см), а под действием веса кирпича она удлинилась на 1 см, то деформация веревки е = l/L= 0,005, или 0,5%.

Деформации, возникающие в инженерной практике, обычно весьма малы, поэтому инженеры, как правило, выражают их в процентах, что уменьшает вероятность ошибки, если оперировать десятичными дробями с множеством нулей.

Подобно напряжению, деформация не связана с какой-либо опеределенной длиной, сечением или формой материала. Она также характеризует состояние материала в точке. Поскольку для определения деформации мы делим удлинение на первоначальную длину, она выражается безразмерной величиной - числом, не требующим какой-либо единицы измерения. В равной мере все сказанное относится не только к растяжению, но и к сжатию.

Модуль Юнга, или какова жесткость данного материала?

Как уже говорилось, в своей первоначальной форме закон Гука хотя и заслуживал внимания, но свалил в одну кучу свойства материала и поведение конструкций. Произошло это в основном из-за отсутствия понятий "напряжение" и "деформация", не последнюю роль сыграли здесь существовавшие в прошлом трудности, связанные с испытанием материалов.

В настоящее время для испытания материала как чего-то отличного от конструкции из него изготовляют так называемый образец. Форма образца может быть самой разной, но, как правило, это стержень с участком постоянного сечения, на котором и производятся измерения, и утолщенными концами для закрепления в испытательной машине. Обычная форма металлических образцов показана на рис. 8.

Рис. 8. Типичный образец для испытаний на растяжение

Испытательные машины также могут сильно различаться размерами и конструкцией, но по существу все они представляют собой механические приспособления для приложения к образцам нагрузки, которую при этом можно точно измерять.

Напряжение в стержне вычисляется путем деления нагрузки, регистрируемой на каждой стадии испытаний по шкале устройства, на площадь поперечного сечения образца. Растяжение стержня-образца под действием нагрузки (а следовательно, деформация материала) обычно измеряется с помощью экстензометра - чувствительного устройства, которое крепится к двум точкам образца.

Такое оборудование позволяет довольно просто измерить напряжения и деформации, которые возникают в образце материала по мере того, как мы увеличиваем нагрузку. Графическое изображение зависимости напряжения от деформации называется кривой деформирования. Эта кривая, обычный вид которой представлен на рис. 9, является характеристикой данного материала и практически не зависит от размеров испытываемого образца.
 

Рис. 9. Типичная кривая деформирования.

При постройке кривых деформирования для металлов и многих других твердых тел мы неизменно будем обнаруживать, что по крайней мере для небольших напряжении эти кривые имеют прямолинейные участки. В этих случаях о материале говорят, что он "подчиняется закону Гука" или является "гуковским материалом".

Мы обнаружим также, что наклоны этих прямолинейных участков для различных материалов различны (рис. 10), Очевидно, что наклон кривой деформирования является мерой деформации материала при заданном напряжении. Другими словами, он является мерой упругости или, наоборот, податливости данного твердого тела.
 

Рис. 10. Кривая деформирования. Тангенс угла наклона ее прямолинейного участка является параметром материала, который называется модулем упругости и обычно обозначается Е

Для любого материала, который подчиняется закону Гука, тангенс угла наклона кривой деформирования должен быть величиной постоянной. Таким образом, отношение

напряжение/деформация = s/e = E

и носит название модуля упругости, или модуля Юнга. Модуль Юнга - величина постоянная для данного материала. Иногда при обсуждении технических вопросов о нем говорят как о "жесткости". Кстати, слово "модуль" в переводе с латинского означает "малая мера".

Вспомним, что деформация нашей веревки под действием веса кирпича составляла 0,5%, или 0,005, при напряжении 24,5 МН/м² Поэтому модуль Юнга веревки

E = s/e = 24,5/0,005 = 4900 МН/м² = ~ 5 • 10⁴ кгс/см².

Единицы измерения жесткости, или модуля Юнга

Поскольку модуль Юнга представляет собой отношение напряжения к безразмерной величине, то размерность его та же, что и у напряжения, например МН/м² или кгс/см². Формально модуль Юнга можно рассматривать как напряжение, требуемое для 100%-ного удлинения материала (если с материалом при этом ничего не произойдет), вследствие чего его численные значения настолько велики, что их трудно себе представить.

Фактические значения модуля Юнга

Значения модуля Юнга для многих органических веществ и инженерных материалов представлены в табл. 1. Они расположены в порядке возрастания - от модуля Юнга мягкого покрова взрослой самки саранчи (отнюдь не самого мягкого биологического материала; кстати, покров самцов и молодых самок саранчи не многим жестче) до алмаза. Из таблицы видно, что величина жесткости материалов может изменяться в 6 млн. раз. Причину таких колоссальных различий мы обсудим в гл. 7.

Таблица 1. Значения модуля Юнга для различных материалов

Материал	Модуль Юнга (Ј), МН/м2	Материал	Модуль Юнга (Е), МН/м2
Мягкий покров взрослой самки саранчи * Резина Пленка скорлупы яйца Хрящ человека Сухожилие человека Штукатурка Неармированный пластик, полиэтилен, нейлон Фанера	0,2 7 8 24 600 1400 1400 7000	Дерево (вдоль волокон) Свежая кость Магний Обычное стекло Алюминиевые сплавы Латунь и бронза Железо и сталь Окись алюминия (сапфир) Алмаз	14000 21000 42000 70000 70000 120000 210000 420000 1200000

* Данные любезно предоставлены д-ром Ю. Винсентом (отделение зоологии Редингского университета).

Следует отметить, что многие очень мягкие биологические материалы отсутствуют в таблице. Дело в том, что их упругие свойства даже приближенно не описываются законом Гука, а потому для них невозможно ввести модуль Юнга - во всяком случае, в том виде, как обсуждалось выше. К упругим свойствам таких материалов мы вернемся позже.

В настоящее время модуль Юнга считается фундаментальным понятием - оно господствует в инженерном деле, в материаловедении и начинает вторгаться в биологию. Однако должна была пройти вся первая половина XIX столетия, прежде чем модуль Юнга завоевал умы инженеров. Отчасти это явилось следствием крайнего консерватизма, а отчасти того, что все практически полезные идеи о напряжениях и деформациях появились довольно поздно.

После разработки основных идей трудно было представить себе что-либо более простое и очевидное, чем модуль Юнга, но до этого все представления об упругости казались исключительно сложными. От Юнга, сыгравшего важную роль в расшифровке египетских иероглифов и бывшего одним из проницательнейших умов своего времени, эта работа потребовала, очевидно, огромного умственного напряжения.

Он работал над проблемой жесткости в 1800 годы и рассуждал совершенно иначе, чем это сделали бы мы с вами. Юнг оперировал величиной, которая в настоящее время называется удельным модулем и показывает, каким должно быть уменьшение длины столба исследуемого материала под действием собственного веса. Данное самим Юнгом определение своего модуля, опубликованное в 1807 г., гласит: "Модуль упругости любого вещества есть столб этого вещества, способный производить давление на свое основание, которое так относится к весу, вызывающему определенную степень сжатия, как длина вещества к уменьшению этой длины" * .

* "Хотя их светлости весьма уважают науку и очень ценят Вашу статью, она слишком учена..., говоря короче, она непонятна". (Из письма адмиралтейства к Юнгу.)

После всего этого даже египетские иероглифы могли показаться не такими уж сложными. Один из современников сказал о Юнге: "Он употреблял слова не в обычном их значении, а строй его мыслей редко походил на строй мыслей собеседников. Я не встречал человека, который бы менее его подходил для обмена знаниями".

К тому же не следует забывать, что Юнг старался осилить концепцию, которую едва ли можно было сформулировать без понятия о напряжениях и деформациях, вошедших в употребление лишь 15-20 лет спустя. Современное определение модуля Юнга (Е = напряжение/деформация) было дано в 1826 г., за три года до смерти Юнга, французским инженером Навье (1785-1836). Что касается Коши, то спустя некоторое время как изобретателю напряжения и деформации ему был пожалован титул барона. Думается, он это заслужил.
 

Прочность

Не следует путать прочность конструкции и прочность материала. Прочность конструкции определяется нагрузкой (в ньютонах или в килограммах), которая приводит к разрушению конструкции. Эта величина известна как разрушающая нагрузка, и она обычно используется только применительно к некоторой конкретной конструкции.

Прочность материала характеризуется напряжением (в МН/м² или в кгс/см²), разрушающим сам материал. Обычно величина прочности более или менее постоянна для всех образцов данного вещества. Мы в основном будем рассматривать прочность материалов при растяжении, которую называют прочностью на разрыв. Ее обычно определяют, разрушая небольшие образцы в испытательной машине. Большинство вычислений в области прочности сводится, естественно, к определению прочности конструкции по известной прочности ее материала.

Величины прочности некоторых материалов приведены в табл. 2. Из нее видно, что прочность биологических и инженерных материалов, как и их жесткость, меняется в очень широких пределах.

Таблица 2. Прочность на разрыв различных твердых тел

* Имеется в виду свежая ткань мертвого организма.

Удивительно различие в прочности мышц и сухожилий. Этим объясняется и разница их поперечных сечений. Так, ахиллесово сухожилие, будучи толщиной всего с карандаш, прекрасно справляется с передачей натяжения от толстых икроножных мышц к костям пятки (что позволяет нам ходить и прыгать). Кроме того, из таблицы видно, почему инженеры не могут допустить большие растягивающие нагрузки на бетон, не армированный стальными прутьями.

В целом металлы прочнее неметаллов. А плотность почти у всех металлов больше, чем у большинства биологических материалов. (Удельный вес стали 7,8 г/см³, а большинства биологических тканей около 1,1 г/см³) Поэтому высокая прочность металлов в сравнении с тканями растений и животных не производит особого впечатления, если относить ее к единице массы.

Подытожим сказанное в этой главе.

Напряжение =  нагрузка / площадь

Деформация = удлинение под действием нагрузки / первоначальная длина

Прочность - это напряжение, необходимое для разрушения материала. Модуль Юнга характеризует жесткость материала.

Модуль Юнга = напряжение / деформация = E

Прочность и жесткость - свойства разные. Приведем в этой связи выдержку из книги "Почему мы не проваливаемся сквозь пол": "Печенье жестко, но непрочно, сталь - и жесткая, и прочная, нейлон - нежесткий, гибкий, но прочный, малиновое желе - и нежесткое, и непрочное. Вряд ли можно ожидать большей информации о свойствах твердого тела, если пользоваться лишь двумя его характеристиками".

Если что-либо из сказанного оказалось для вас не совсем ясным, возможно, вам будет утешением узнать, что не так давно мне пришлось потратить в Кембридже целый вечер на объяснение двум всемирно известным ученым основных различий между прочностью, жесткостью, напряжением и деформацией в связи с одним очень дорогим проектом, по которому им предложили дать консультацию правительству. Так, мне и до сих пор неясно, насколько я тогда преуспел.
 

Глава 3. Конструирование и безопасность, или можно ли доверять расчетам на прочность?

Оглавление

---

---

Март 2001