Глава 12
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ РАЗРУШЕНИЯ ПРИ СЖАТИИ,
или
сэндвичи, весла и Леонард Эйлер
Как и следовало ожидать, при действии сил сжатия конструкции разрушаются иначе, чем при растяжении. Когда мы нагружаем твердое тело растяжением, расстояния между образующими его атомами и молекулами увеличиваются. При этом натягиваются и межатомные связи, но они могут растягиваться лишь в ограниченных пределах. Если деформации превышают примерно 20%, химические связи ослабевают и в конце концов исчезают совсем. Хотя в действительности полная картина процесса разрыва твердого тела достаточно сложна, можно, вообще говоря, утверждать, что, когда растяжение какой-то большой части межатомных связей достигнет предельного значения, произойдет и разрушение материала в целом. Нечто подобное происходит и тогда, когда материал разрушается при кручении. Однако при сжатии происходит несколько иное.
Если сжимать твердое тело, то расстояния между его атомами и молекулами будут уменьшаться, а межатомные силы отталкивания в любых нормальных условиях с ростом деформации сжатия будут возрастать почти безгранично. И только в случае, когда действуют огромные гравитационные силы, существующие в некоторых звездах, называемых астрономами белыми карликами, силы отталкивания уже не могут противостоять фантастическим силам гравитационного сжатия, причем с катастрофическими последствиями *.
* В результате плотность звезды может возрасти до такой степени, что ее собственное гравитационное поле сделает невозможным испускание с ее поверхности не только вещества, но и всех видов излучения. Всякая двусторонняя связь с такой звездой станет уже невозможна, и эта область Вселенной будет навсегда изолирована от нас. Такие объекты называют "черными дырами". Это походит на остров в мрачной пьесе Дж. Бэри "Мэри Роз", на котором "любят, чтобы их навещали", но никто никогда не может оттуда вернуться.
Тем не менее множество обычных земных конструкций при сжатии все-таки разрушается. Дело в том, что сжимающие напряжения в любой данной конструкции никогда не могут расти беспредельно, материал или конструкция всегда находит способ избежать этого, просто "выскользнув" из-под нагрузки куда-нибудь в боковом направлении. С энергетической точки зрения конструкции выгодно избавиться от избытка упругой энергии при сжатии с помощью того или иного механизма обмена энергией, удобного в данной конкретной ситуации.
Из-за этого сжатые конструкции обладают весьма прихотливыми свойствами и изучение их разрушения - это изучение способов, какими можно выбраться оттуда, где на тебя давят. Как известно, это можно сделать разными способами. Выбор возможного способа определяется формой, пропорциями и материалом самой конструкции.
О каменной кладке мы говорили уже довольно много. И хотя здания - это по сути своей сжатые конструкции и кладка всегда должна находиться в сжатом состоянии, следует сказать, что от сжатия они не разрушаются никогда. Как ни парадоксально, но они могут разрушиться, только если в них возникнут растягивающие напряжения. При этом у стены появляется бурная тенденция к порождению "шарнирных" точек; поворачиваясь вокруг этих точек, стены рушатся.
Арки - конструкции, гораздо более прочные и надежные, чем стены, но и в них иногда могут образоваться четыре "шарнирные" точки, после чего арка может уменьшить как свою упругую энергию, так и потенциальную энергию, сложившись вначале как механизм и свалившись затем грудой камней. Во всяком случае, согласно расчетам, проводимым нами в гл. 8, существующие напряжения сжатия в каменной кладке фактически очень невелики, они гораздо ниже общепринятого предела прочности материала на сжатие.
Предел прочности на сжатие, или разрушение коротких стержней и колонн при сжатии
Если взять кирпич или небольшой бетонный блок и подвергнуть их действию значительной сжимающей нагрузки (в испытательной машине или любым другим методом), материал в конце концов, разрушится тем способом, который условно называют "разрушением при сжатии". Хрупкие материалы, например камень, кирпич, бетон или стекло, обычно при этом рассыпаются на куски, а иногда и в пыль. Но, строго говоря, это вовсе не разрушение сжатием, так как в действительности оно почти всегда происходит из-за сдвига. Как мы видели в предыдущей главе, сжатие и растяжение образца с необходимостью приводят к появлению напряжений сдвига, действующих под углом 45°, и именно этот сдвиг по наклонным площадкам и служит обычно причиной разрушения коротких образцов при их сжатии.
Как мы уже говорили, практически во всех хрупких материалах существует
множество микротрещин, царапин и того или иного рода дефектов. Если даже
они не возникли при изготовлении материала, то практически неизбежно появятся
потом из-за самых разнообразных причин. Естественно, что эти трещины и
царапины в материале имеют всевозможные направления. Значительное число
их окажется направленным под углом ±45° к напряжению сжатия, то есть они
будут более или менее параллельны возникающим напряжениям сдвига (рис.
135).
 |
Рис. 135. Разрушение хрупких материалов (цемент или стекло) при сжатии происходит на самом деле путем сдвига, |
Как и в случае растяжения, для этих сдвиговых трещин существует критическая длина по Гриффитсу. Другими словами, трещина данной длины начинает распространяться, когда касательное напряжение достигает некоторого критического значения. Если в хрупком материале, например бетоне, достигаются эти критические условия, то сдвиговые трещины распространяются практически мгновенно, процесс может носить почти взрывной характер. Когда сдвиговая трещина пройдет по диагонали поперек всего образца, две его части начинают скользить относительно друг друга. Образец уже не может больше сопротивляться сжимающей нагрузке, материал разгружается, выделяя большое количество упругой энергии, и именно поэтому, когда хрупкие материалы (стекло, бетон, камень) сжимают или разбивают молотком, разлетаются осколки, которые могут быть опасными. Выделенной энергии деформации часто оказывается достаточно для превращения материала в пыль. Именно это происходит, когда мы толчем кусочки сахара в ступке.
Разрушение сжатием пластичного металла (скажем, масла или пластилина)
происходит по аналогичным причинам. Под действием касательных напряжений
слои металла начинают проскальзывать * по дислокационному механизму. И
снова скольжение происходит вдоль плоскостей, расположенных примерно под
углом 45° (Словно карты в колоде, -
Прим.
ред.) к сжимающей нагрузке, короткий металлический
образец расползается, приобретая бочкообразную форму (рис. 136). Благодаря
большой работе разрушения пластичного металла вероятность выброса осколков
в этом случае невелика и непосредственные следствия разрушения бывают менее
опасными и драматичными. Когда мы бьем молотком по головке заклепки или
используем для этого гидравлический пресс, мы рассчитываем именно на эту
склонность металла расплющиваться при сжатий.
 |
Рис. 136. Разрушение пластичного материала (металла) при сжатии происходит вследствие сдвига, но в этом случае сдвиг приводит к расплющиванию образца. |
Материалы типа дерева или искусственных волокнистых композитов, например
стеклопластика или углепластика, при сжатии обычно разрушаются иначе. Армирующие
волокна под действием сжимающих нагрузок изгибаются все вместе, "коллективно",
образуя складку, бегущую поперек образца. Эти складки могут проходить под
углом 90° к направлению сжимающих сил пли наклонно под различными углами
(рис. 137). К сожалению, в композиционных материалах складки часто образуются
уже при сравнительно небольших напряжениях, то есть на сжатие эти материалы
работают плохо, что следует иметь в виду при использовании их в конструкциях.
 |
Рис. 137. Разрушение волокнистых материалов
(дерево или стеклопластик) при сжатии. Поперечная складка (а)
под углом 90°приводит к уменьшению объема, а потому возникает только в
материалах, содержащих пустоты, например в дереве. Косая складка (б)
характерна для композитных материалов, так как ее формирование не требует
уменьшения объема. |
Сравнение прочности материалов на растяжение и на сжатие
Содержимое многочисленных учебников и справочников - обширные таблицы прочности на разрыв практически всех конструкционных материалов. Как правило, книги эти гораздо более сдержанны в отношении прочности на сжатие. Одна из причин этого в том, что экспериментальные значения прочности при сжатии в большей мере зависят от формы испытуемого образца. Иногда материал оказывается столь чувствительным к ней, что становится почти бессмысленным приводить какие-либо цифры. Хотя обращаться с величинами прочности на сжатие мы обязаны очень осторожно и это оправданно, использование данного понятия все же позволяет лучше постигнуть работу конструкции. Прежде всего мы должны иметь в виду, что на самом деле не существует никакой однозначной зависимости между прочностью материала на сжатие и его прочностью на растяжение *.
* Если разрушение как при сжатии, так и при растяжении определяется сдвигами, как, например, в пластичных металлах, величины прочности на сжатие и растяжение в принципе должны быть одинаковы. Однако из этого правила есть слишком много исключений, что делает его практически неприменимым.
Весьма приблизительные величины прочности некоторых распространенных материалов приведены в табл. 5. Величины прочности на сжатие получены на образцах, имеющих отношение длины к толщине от 1 до 3-4. Прочность более толстых или более тонких образцов может быть совершенно другой.
Таблица 5
Приблизительные значения предела прочности на сжатие
и растяжение для некоторых материалов
| Материал | Предел прочности
на растяжение |
Предел прочности
на cжатие |
||||
| МН/м2 | кгс/мм2 | МН/м2 | кгс/мм2 | |||
| Дерево
Чугун Литой алюминий Литые цинковые сплавы Бакелит, полистирол и другие хрупкие пластмассы Цемент |
100
40 40 35 15 4 |
10
4 4 3,5 1,5 0,4 |
27
350 300 300 55 40 |
2,7
35 30 30 5,5 4 |
||
Один из очевидных выводов, который следует из табл. 5, состоит в том,
что если мы конструируем элемент, например изгибаемую балку, в которой
есть и область растяжения, и область сжатия, то нужно "глядеть в оба".
Лучшим проектом может оказаться балка с совершенно асимметричным сечением.
В чугунных балках викторианских времен площадь растягиваемой зоны обычно
гораздо больше, чем сжимаемой, потому что чугун лучше работает на сжатие,
чем на растяжение (рис. 138). И наоборот, лонжерон крыла деревянного самолета,
например планера, всегда гораздо толще сверху, то есть на сжатой стороне,
так как при сжатии дерево менее прочно, чем при растяжении (рис. 139).
 |
 |
Рис. 138. Чугунная балка
обычно на растянутой полке делается более толстой, чем на сжатой, потому
что прочность чугуна на разрыв меньше его прочности на сжатие. |
Рис. 139. Деревянный
лонжерон крыла планера обычно на сжатой стороне толще, чем на растянутой,
потому что дерево при сжатии менее прочно, чем при растяжении. |
Прочность дерева и композиционных
материалов при сжатии
| Он сказал, что делает мачты вот уже пятьдесят лет и, насколько знает, их всегда делали из целого дерева. Он сказал, что из всех, кого он встречал,
я первый и единственный, кто хочет умышленно погубить хорошую мачту, вырезав
ее сердцевину, самое чувствительное место. Он сказал, что всякий, кто может
сделать это (и здесь я немного смягчаю его выражения), может ругаться в
церкви, сморкаться в скатерть, издавать неприличные звуки и портить инструменты.
...Такие вот дела. Мы оба, Джордж и я, в душе думали, что брус выглядит чересчур гибким и поэтому не. могли чувствовать себя спокойно, но перед лицом этих знатоков решили, что поступим мудро, оставив эти мысли при себе. И это было правильно. Ибо знатоки есть знатоки. Позднее, когда наши главные ванты были сорваны свирепым шквалом в Гольфстриме, эта мачта гнулась и гнулась, и гнулась, пока не стала похожа на букву S, но она стояла. Вестон Мартир. "Моряк из южных морей" |
В реальной жизни различие между балкой и длинной колонной обычно довольно неясно. Вытянутая колонна, например кость ноги животного, почти всегда подвергается изгибу, в результате чего материал ее вогнутой стороны сжат больше, чем в других местах. С другой стороны, в балках или фермах особенно сложной конфигурации сжатый пояс всегда следует проверять с точки зрения его прочности на сжатие. В любом случае, идет ли речь о балке или о колонне, если материал недостаточно прочен на сжатие, разрушение начнется тогда, когда наибольшее сжимающее напряжение достигнет опасного уровня. Лучшим примером колонн, которые, кроме сжатия, подвергаются и изгибу, служат деревья и мачты парусных кораблей. Ствол дерева должен выдерживать сжимающий вес всех своих ветвей и листвы, но в жизни дерева изгибающие нагрузки, вызванные давлением ветра, могут быть больше и опаснее. Точно так же и мачты, которые номинально являются сжатыми колоннами, испытывают значительный изгиб из-за неравномерного натяжения удерживающих их тросов. Этот изгиб особенно велик, если в оснастке что-нибудь рвется.
Мачты таких больших кораблей, как "Виктория", делались из кусков дерева, соединенных вместе железными обручами, но для мачт средних размеров старые мастера предпочитали использовать один ствол сосны или ели, по возможности оставляя его в первозданном виде. Эти специалисты не только встречали в штыки любые предложения о том, что следует делать пустотелые мачты, имеющие "более эффективное" трубчатое сечение; они старались вообще избегать какой-либо обработки дерева, кроме удаления коры.
В течение многих лет образованные инженеры, которые знали все об изгибе балок, нейтральных осях и моментах инерции второго порядка, презирали эти традиции, считая их обычно чепухой. Первое, что делает с деревом -современный инженер, - это режет его вдоль на маленькие кусочки, которые затем снова склеивает вместе, стараясь получить нечто пустотелое в сечении. И только недавно мы стали осознавать, что в том, как устроен ствол растущего дерева, заключена некая высшая мудрость. Среди других хитростей у древесины есть такая: в различных частях ствола она растет таким образом, что ствол оказывается "предварительно напряженным".
В такой балке, как лонжерон крыла планера, где наибольшие изгибающие нагрузки практически имеют всегда одно и то же направление, сжатую полку можно сделать толще растянутой, имея в виду, что при сжатии дерево значительно более непрочно, чем при растяжении. Но деревья или мачты должны выдерживать изгибающие нагрузки, действующие в самых различных направлениях, - все здесь определяется прихотью ветра, - поэтому для них такое решение не подходит. Во всяком случае, ствол дерева должен иметь симметричное сечение, обычно круглое. При изгибе распределение напряжений по сечению предварительно ненагруженной балки линейно, как показано на рис. 140, а. В этом случае, когда напряжение сжатия достигнет величины около 30 МН/м2 (3 кгс/мм2), балка, то есть дерево, начнет ломаться.
И вот тут-то выступает предварительно напряженная конструкция ствола.
Каким-то образом дерево ухитряется расти так, что внешние слои древесины
обычно растянуты (примерно до 15 МН/м2), то есть до 4,5 кгс/мм2 в то время
как внутренние сжаты. Примерное распределение напряжений в сечении ствола
в обычных условиях показано на рис. 140, б. Теперь напомним
одно из важных следствий линейности закона Гука, состоящее в том, что мы
можем смело складывать одно распределение напряжений с другим. Тогда, если
мы прибавим к распределению напряжений, показанному на рис. 140, а,
распределение, показанное на рис. 140, б, то получим распределение,
изображенное на рис. 140, в.
 |
а - поведение под ветром дерева, в древесине
которого нет предварительных напряжений; распределение напряжений по сечению
ствола линейно и наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения одинаковы;
б - предварительно напряженное дерево
в безветренную погоду; наружные слои ствола растянуты, внутренние - сжаты;
в - предварительно напряженное дерево
при сильном ветре; сжимающие напряжения уменьшились наполовину, так что
дерево может выдержать вдвое большие нагрузки, чем в случае а. |
Таким образом, дерево уменьшает наибольшую величину сжимающего напряжения примерно вдвое и тем самым удваивает эффективное сопротивление ствола на изгиб. Правда, при этом возрастает максимальное растягивающее напряжение, но дерево вполне с ним может справиться. То, к чему стремится дерево, создавая предварительно напряженную структуру ствола, противоположно целям, которые мы преследуем в случае предварительно напряженного железобетона. Бетон непрочен при растяжении и сравнительно прочен при сжатии, так что бетонную балку при изгибе опасность подстерегает на растянутой стороне. Чтобы избежать этого, мы армируем бетон стальными стержнями, находящимися под натяжением, так что сам бетон оказывается сжатым. Поэтому балку нужно гнуть довольно сильно, прежде чем сжимающие напряжения в бетоне вблизи от одной из поверхностей балки сменятся растягивающими. Тем самым отодвигается момент начала растрескивания бетона, так как балку следует продолжать гнуть, прежде чем будет достигнут предел прочности бетона на растяжение *.
* Отметим, что многие морские водоросли, состоящие в основном из альгиновой кислоты, хрупкого и непрочного вещества, предварительно напряжены так же, как и железобетон. Как железобетон экономит нам сталь, так и водоросли экономно расходуют дефицитный, но прочный материал - целлюлозу.
Мы уже говорили, что дерево и волокнистые композиционные материалы при сжатии разрушаются, образуя складки изогнутых волокон. Мой коллега д-р Ричард Чаплин показал, что эти складки имеют много общего с трещинами, которые возникают при растяжении. В частности, они часто начинаются в местах концентрации напряжений у отверстий и дефектных включений. Гвозди и шурупы, вообще говоря, не сильно ослабляют древесину, но только в том случае, если они плотно в ней сидят. Как только вы вытащите гвоздь или вывернете шуруп, получившееся отверстие станет опасным местом. То же самое справедливо и. для сучков в древесине. В сильно нагруженных деревянных конструкциях, таких, как планер или мачта яхты, разумно поэтому оставлять ненужные гвозди и шурупы в покое и не пытаться их вытаскивать. При острой необходимости их лучше срезать заподлицо с поверхностью дерева.
Далее, как показал Ричард Чаплин, образование складок при сжатии волокнистых материалов требует больших энергетических затрат, чем работа разрушения при растяжении. Следовательно, для развития складок необходимо подводить к ним упругую энергию, и их поведение должно быть чем-то похоже на поведение трещин Гриффитса. Однако здесь имеется и несколько важных различий.
Мы уже говорили, что в материалах, которые мы сейчас рассматриваем, складки изогнутых волокон могут появляться как под углом 45°, так и под углом 90° к направлению действия нагрузки (они могут быть и под другими углами между 45° и 90°). Поведение складки под углом 45° похоже на поведение трещины сдвига, при подходящих условиях она распространяется через весь образец подобно трещине Гриффитса. Однако складка под углом 90° короче наклонной, и поэтому она потребляет меньше энергии при равной глубине, отсчитываемой по нормали от образца.
По этой причине складки под углом 90° в целом более вероятны. Однако, хотя такая складка начинает распространяться легче, она и скорее прекращает свой рост, продвинувшись на сравнительно небольшую длину. Происходит это потому, что при увеличении длины складки две ее стороны прижимаются друг к другу, в результате чего высвобождение упругой энергии прекращается. Поэтому полное разрушение образца, по крайней мере немедленное, становится маловероятным. В этих условиях может возникнуть целая цепочка коротких складок, протянувшаяся вдоль сжатой поверхности балки. Их можно иногда увидеть на поверхности деревянного лука или весла (рис. 141).
Рис. 141. Складки на сжатой стороне круглого изогнутого бревна.
Инженеры обычно уповают на эффективность двутаврового или коробчатого сечения балок, но иногда это не что иное, как заблуждение. По ряду причин* в балках круглого сечения (как древесный ствол) высвобождение упругой энергии, необходимое для распространения трещин или складок сжатия, оказывается менее благоприятным для развития процессов разрушения. Этим, быть может, определяется рациональность круглого сечения большинства деревянных луков, и, несомненно, с этим связана округлая форма поперечного сечения костей животных.
* Когда трещина или складка сжатия с прямолинейным фронтом (как пропил) углубляется в круглое сечение, ее поверхность может возрастать быстрее, чем величина высвобождаемой упругой энергии за ее фронтом, нарушая тем самым условие Гриффитса.
Пока на материал действуют только сжимающие нагрузки, развитию складок препятствует довольно много причин. Отчасти поэтому дерево обычно является таким надежным строительным материалом. Однако, если нагрузка реверсируется, ситуация может стать чрезвычайно опасной. Дело в том, что система согнутых волокон, которая образует складку, имеет практически нулевую прочность на растяжение и в условиях растяжения складки ведут себя подобно трещинам. Это особенно опасно потому, что при растяжении теперь уже ничто не препятствует высвобождению упругой энергии, так как две стороны "трещины" теперь могут свободно разойтись.
Один из безотказных способов сломать крыло деревянного планера в полете - это совершить грубую посадку при предыдущем вылете. Если при посадке машину сильно ударить о землю, то крыло резко изогнется вниз. Это может привести к образованию складок сжатия в полке лонжерона, нагруженной растяжением в полете. Невероятно, чтобы возникшие складки были обнаружены при обычном осмотре, так что в следующем полете лонжерон сломается именно в этом месте, после чего, конечно, отвалится и все крыло.
Леонард Эйлер и выпучивание тонких стержней и пластин
Все, о чем мы говорили до сих пор, применимо лишь к относительно коротким и толстым стержням и другим сжатым элементам. Мы видели, что при сжатии они обыкновенно разрушаются вследствие сдвига или образования локальных складок. Однако огромное количество сжатых конструкций содержит длинные и тонкие элементы, которые выходят из строя совершенно по-другому. Длинный стержень, тонкий лист металла или страница этой книги выпучиваются при сжатии, теряя способность нести нагрузку. В этом легко убедиться с помощью простейшего эксперимента: возьмите лист бумаги и попытайтесь сжать его в продольном направлении. Такой вид потери несущей способности (с ним связаны важные технические и экономические последствия) называется потерей устойчивости. Впервые он был изучен Леонардом Эйлером (1707-1783), и потому нередко говорят об устойчивости (или неустойчивости) по Эйлеру.
. Эйлер имел немецко-швейцарское происхождение, в его семье были известные математики. Он рано приобрел имя в той же области, и еще очень молодым был приглашен Екатериной II в Россию. Большую часть жизни он провел при дворе в Петербурге, лишь по временам, в моменты острой политической ситуации, находя пристанище у Фридриха II в Потсдаме. Жизнь при дворах просвещенных деспотов в середине XVIII в. была, должно быть, интересна и колоритна, однако в многотомных сочинениях Эйлера мы не найдем каких-либо упоминаний об этом. Насколько я мог выяснить, ни одному из его биографов не удалось установить хотя бы одного случая или происшествия в его жизни, которые могли бы удовлетворить обычное человеческое любопытство *. Он просто в течение очень многих лет постоянно занимался математикой, описывая свои результаты в огромном количестве научных статей, которые и после его смерти все еще публиковались в течение сорока лет.
* Кроме, разве, слепоты, прогрессировавшей в последние годы его жизни.
Конечно, Эйлер совсем не собирался заниматься несущей способностью сжатого стержня как конструкционного элемента. Просто среди многих других своих математических открытий он изобрел то, что теперь называется вариационным исчислением, и он искал задачи, к которым можно было бы применить этот новый математический метод. Один из его друзей предложил попробовать этот метод для определения наименьшей высоты тонкого вертикального стержня, при которой этот стержень начнет выпучиваться под собственным весом. Такая формулировка этой не очень реальной задачи объясняется тем, что, как мы уже упоминали в гл. 2 понятия напряжения и деформации возникли лишь в значительно более поздние времена. Для ее решения нужно было применить вариационный метод. Если переложить полученный Эйлером результат на современный язык, то получится то, что сейчас называется формулой Эйлера для критической нагрузки потери устойчивости продольно сжатого стержня, а именно:
P = p2(EI / L2),
где P - нагрузка, при которой выпучиваются стержень или панель; E - модуль Юнга материала; I - момент инерции поперечного сечения стержня или панели (гл. 10); L - длина стержня. Естественно, все эти величины должны быть выражены в одной и той же системе единиц. (Удивительно, что так много важных расчетных формул имеют столь простой вид *.)
* Современные подходы к выводу формулы Эйлера можно найти в учебниках. См., например, Cottrell A. The Mechanical Properties of Matter (а также Работнов Ю. Н. Сопротивление материалов М.: Физматгиз, 1962: Алеутов Н.А. Основы расчета на жесткость упругих систем - М., Машиностроение, 1978.)
Формула Эйлера применима к длинным и тонким колоннам и стержням всех видов - как сплошным так и пустотелым, а что, быть может, и более важно - к тонким панелям и пластинам, которые встречаются в конструкциях самолетов, кораблей и автомобилей. Если мы построим график зависимости критической нагрузки стержня или панели от длины, то получится нечто похожее на рис. 142, на котором показаны два возможных механизма разрушения.
Короткие стержни разрушаются описанным выше путем с образованием бочки или дроблением на мелкие куски. Когда отношение длины к толщине стержня достигает величины 5-10, эта линия пересекает кривую, соответствующую эйлеровой форме потери устойчивости. Теперь более опасным становится выпучивание, и длинный стержень выходит из строя вследствие выпучивания. В действительности переход от разрушения материала к потере устойчивости происходит не так резко, существует некая переходная область, отмеченная на рис. 142 пунктиром.
Рис. 142. Зависимость предельного сжимающего напряжения от длины стержня.
Приведенная выше формула Эйлера относится к тому случаю, когда стержень
или панель имеют шарнирное закрепление и могут свободно поворачиваться
(рис. 143). Обычно все, что препятствует концам стержня или панели поворачиваться
приводит к увеличению критической нагрузки потери устойчивости. В крайнем
случае, когда оба конца стержня жестко заделаны, его критическая нагрузка
увеличивается в 4 раза. Очень часто, однако, для жесткой заделки необходимо
существенное стеснение концов, а это приводит к увеличению веса, сложности
и стоимости всей конструкции, поэтому она становится невыгодной.
 |
Рис. 143. Различные
условия эйлеровой формы потери устойчивости.
а - оба конца шарнирно оперты; б - оба конца заделаны: в - один конец заделан, а второй шарнирно оперт и может перемещаться в горизонтальном направлении. |
Далее, жесткая заделка концов передает любые монтажные несоосности самому
стержню. При этом стержень может оказаться изогнутым еще до нагружения
и его предельная нагрузка упадет. Вот почему жесткая установка мачты, при
которой она одновременно крепится и к палубному перекрытию, и к килю, сейчас
уже вышла из употребления (рис. 144).
| Рис. 144. Изогнутый до нагружения стержень (в данном случае мачта) теряет устойчивость при меньшей нагрузке. |  |
Следует отметить, что в выписанную нами формулу Эйлера не входит предел прочности материала. Нагрузка, при которой стержень или панель данной длины теряет устойчивость, зависит только от момента инерции сечения I и модуля Юнга (жесткости) материала. Длинный стержень не разрушается при выпучивании. Он только упруго изгибается таким образом, чтобы "выскользнуть" из-под нагрузки. Если при выпучивании не был достигнут "предел упругости" материала, то после снятия нагрузки стержень опять выпрямится, и, спружинив, как ни в чем не бывало примет свою прежнюю форму.
Это свойство часто может быть весьма полезным, поскольку, основываясь на нем, можно создавать "неразрушающиеся" конструкции. Ковры и ковровые дорожки не портятся именно по этой причине, и природа, конечно же, широко использует этот принцип, особенно в отношении низкорослых растений, например травы, которую всегда довольно трудно вытоптать. Так, мы спокойно гуляем по лужайке, не причиняя ей большого вреда. Именно гениальная комбинация острых колючек с открытием д-ра Эйлера делает живую изгородь одновременно неразрушаемой и труднопреодолимой для людей и скота. С другой стороны, для комаров и других насекомых, использующих в качестве оружия длинное и тонкое жало, природа вынуждена была "изобрести" прямо-таки невообразимое количество самых разных конструкционных уловок, чтобы предотвратить потерю устойчивости этих тонких, жалящих нас стержней.
При жизни Эйлера его формула не могла найти сколько-нибудь значительного использования в технике. Практически ее могли применить лишь при проектировании корабельных мачт и других стоек. Однако корабельные мастера тех времен уже справились с этой проблемой. В замечательных справочниках XVIII в. по кораблестроению, таких, как "Основы изготовления мачт, парусов и такелажа" Стила, содержатся подробные таблицы, где приведены размеры брусьев любого типа, основанные на опыте, и сомнительно, чтобы эти рекомендации могли быть существенно улучшены с помощью вычислений.
Серьезный интерес к явлению потери устойчивости возник лишь столетие спустя и был связан с возросшим использованием Листовой стали. Стальные листы были, естественно, тоньше, чем каменная кладка и деревянные детали, к которым так привыкли инженеры. В 1848 г. при постройке железнодорожного моста через пролив Менай расчеты на устойчивость впервые делались для серьезных практических целей. Этот мост явился совместным детищем трех выдающихся людей: Роберта Стефенсона (1802-1859), Итона Ходжинсона (1789-1861), математика и одного из первых профессоров-инженеров, и Вильяма Фейрберна (1789-1874), пионера конструкционного использования листовой стали.
Подвесные мосты Стефенсона оказались неудачными из-за своей излишней гибкости. К тому же адмиралтейство настаивало, и не без оснований, на тридцатиметровой высоте пролета, чтобы под мостом могли проходить корабли. Удовлетворить требованиям как жесткости, так и высоты можно было лишь единственным путем - спроектировав мост балочного типа невиданной до этого длины. По ряду соображений наилучшим вариантом казалась балка в форме трубы, собранная из листовой стали, внутри которой двигался бы поезд. Длина каждой секции должна была составлять около 140 м.
Вскоре стало очевидным, что труднее всего справиться с проблемой устойчивости
стальных панелей, образующих верхнюю, сжатую сторону балки. Для простых
панелей и стержней формула Эйлера является точной, но здесь речь шла о
мостовых балках достаточно сложной формы, для расчета которых в то время
не было еще соответствующей теории. Выход был только один - эксперименты
на моделях. Как и можно было ожидать, результаты оказались довольно путаными
и ненадежными, причем до такой степени, что все три проектировщика перессорились
между собой. Казалось, их партнерство распадется, так и не породив конструкции
действительно надежного моста. В конце концов порешили делать для моста
клетчатые коробчатые балки (рис. 145). Ко всеобщему облегчению, мост оказался
удачным и служит по сей день.
 |
Рис. 145. Балка в виде трубы коробчатого сечения (мост "Британия"). |
Со времен Стефенсона проделано огромное количество математических расчетов устойчивости тонких оболочек, но проектирование таких конструкций все еще сопровождается значительно большей, чем обычно, неопределенностью. Поэтому разработка ответственных конструкций такого типа может обходиться достаточно дорого из-за возможных натурных испытаний в процессе проектирования и доводки.
Трубы, корабли и бамбук, или кое-что о локальной потере устойчивости
Согласно Эйлеру, нагрузка, при которой стержень теряет устойчивость, определяется величиной EI / L2, и поэтому критические нагрузки длинных колонн на сжатие обычно очень и очень малы. Единственное, что можно здесь сделать, - это увеличивать EI по возможности пропорционально L2. Для большинства материалов модуль упругости Юнга Е практически постоянен, так что в действительности мы можем лишь увеличивать момент инерции поперечного сечения I. Это значит, что колонны следует делать толще. Именно так и поступают при использовании каменной кладки, например в мощных колоннах дорических храмов. Но вес при этом получается чрезмерно большим, и если мы хотим сделать легкую конструкцию, то должны каким-то образом развить поперечное сечение. Иногда его делают в форме швеллера, а иногда придают коробчатую форму. Но, как правило, лучшим и наиболее эффективным оказывается стержень в виде трубы.
Трубы очень популярны не только среди инженеров - природа тоже повсеместно отдает предпочтение трубчатым стержням. Однако труба при сжатии может терять устойчивость, и происходит это двумя путями. Один путь мы уже описали - это эйлерова, или длинноволновая, форма выпучивания. Другой путь - коротковолновая форма выпучивания, когда в каком-то месте на стенке трубы образуются вмятины и выпучины. Если радиус трубы велик, а стенки тонки, труба может быть совершенно устойчива к длинноволновой форме выпучивания, но она выйдет из строя из-за локального сморщивания (рис. 146). Это легко продемонстрировать на примере тонкостенного мундштука папиросы. Именно этот эффект накладывает ограничения на использование простых труб и тонкостенных цилиндров при сжатии *.
* Локальная потеря устойчивости в тонкостенной круглой трубе обычно начинается тогда, когда напряжение в ее стенках достигает величины Et / 4r, где t - толщина стенки, r - радиус трубы, Е - модуль Юнга.
Рис. 146. Локальная потеря устойчивости в тонкостенной трубе при осевом сжатии.
Обычный способ борьбы с потерей устойчивости такого типа состоит в подкреплении
стенок конструкции с помощью таких элементов, как шпангоуты и стрингеры
и т.п. Шпангоуты - это ребра жесткости, идущие по периметру сечения, а
ребра жесткости, идущие в продольном направлении, - это стрингеры. Жесткость
корпуса корабля чаще всего увеличивают с помощью шпангоутов и переборок,
хотя с недавних пор большие танкеры строят по системе Ишервуда с использованием
продольных стрингеров. Сложная оболочечная конструкция, подобная фюзеляжу
самолета, обычно подкрепляется и стрингерами, и шпангоутами. Пустотелые
стебли травы и бамбука, которые имеют тенденцию сплющиваться при изгибе,
очень изящно подкреплены "узлами", или перегородками, размещенными через
определенные интервалы по всей длине стебля (рис. 147 и 148).
 |
 |
| Рис. 147. Два способа увеличения жесткости стеблей растений с целью предотвращения локальной потери устойчивости: а - продольные стрингеры; б - узлы, или перегородки, характерные для травы и бамбука. | Рис. 148. Подкрепленная конструкция корпуса судна, часто используемая в нефтяных танкерах. |
Листья, сэндвичи и сотовые конструкции
Пластины, панели и оболочки широко используются и природой, и техникой, но, чем они протяженнее и тоньше, тем меньше их жесткость на изгиб и критические нагрузки потери устойчивости. В принципе все, что увеличивает жесткость стержня или пластины на изгиб, увеличивает и ее сопротивление выпучиванию при продольном сжатии. Один из методов повышения устойчивости состоит в установке панели или стержня с помощью тросов и растяжек (метод, никогда не используемый в растениях). Другой и, возможно, более предпочтительный метод состоит в устройстве ребер жесткости, гофрировании для использовании ячеистых конструкций.
Древесина имеет ячеистое строение, так же как и большинство других растительных тканей, среди которых следует обратить внимание на стенки стеблей травы и бамбука. Кроме того, в борьбе растения за существование важную роль играет конструктивная эффективность листьев, которые должны использовать для фотосинтеза как можно большую площадь своей поверхности при минимальных метаболических затратах. Лист - весьма важная конструкция типа панели. Чтобы увеличить свою жесткость при изгибе, листья используют большинство из известных конструкционных решений. Почти все листья имеют развитую систему ребер жесткости *, в то время как пленки между ними представляют собой ячеистую структуру, увеличивающую жесткость; в некоторых случаях они, кроме того, и гофрированы. Вдобавок к этому жесткости листа как целого способствует осмотическое давление в нем сока.
* Лист лилии Виктория регия с его необычными ребрами жесткости вдохновил, как принято думать, Джозефа Пакстона на постройку Кристал-паласа (1851).
В инженерных конструкциях жесткость панелей и оболочек увеличивается с помощью стрингеров и шпангоутов, которые приклеиваются, приклепываются или привариваются к обшивке, хотя это и не всегда самый простой или самый дешевый путь. Другой путь решения проблемы состоит в. изготовлении оболочки из двух разнесенных слоев, пространство между которыми содержит возможно более легкий наполнитель. Конструкции такого типа называют "сэндвич".
Панели типа сэндвича впервые были использованы известным конструктором Эдвардом Бишопом, главным конструктором фирмы Хэвиленд. В 1930 г. он применил их в фюзеляже теперь уже забытого самолета "Комета" *. Возможно, более известно использование их в самолете "Москито", преемнике "Кометы". В обоих этих самолетах в качестве наполнителя использовалась легкая бальсовая древесина, а внешние слои сэндвича делались из прочной и тяжелой березовой фанеры, которая приклеивалась к наполнителю.
* Этот самолет не имеет никакого отношения к более позднему реактивному авиалайнеру с тем же названием.
"Москито" был одним из наиболее удачных самолетов, но наполнитель из бальсы легко впитывал воду и гнил; кроме того, поставки этой довольно мягкой и хрупкой древесины тропического происхождения были ограничены, а ее качество не отличалось постоянством. Случилось, однако, так, что изыскание материалов для наполнителей панелей и оболочек типа сэндвича было стимулировано главным образом не этими обстоятельствами, а внедрением самолетных локаторов. Вращающуюся, или сканирующую, антенну локатора нужно было поместить внутри защитного куполообразного обтекателя. Естественно, что такой обтекатель должен был быть прозрачен для радиоволн высокой частоты, его следовало делать из какой-либо пластмассы, например из стеклопластика. Однако оказалось, что прозрачность оболочки обтекателя значительно увеличивается - по крайней мере теоретически - благодаря использованию материала типа сэндвича, толщина которого строго определяется длиной волны, на которой работает локатор, точно так же, как толщина поверхностной пленки в современной "просветленной" оптике определяется длиной волны видимого света.
Но сырая бальса, как и любая сырая древесина, практически непрозрачна
для радиоволн, поэтому требовалось создать более водостойкие и легкие материалы.
Такие материалы были получены путем "вспенивания" искусственных смол. Сэндвич
с таким наполнителем выглядит так, как показано на рис. 149. Было получено
довольно много "вспененных" смол различных типов, которые использовались
не только в качестве наполнителя в трехслойных локаторных обтекателях,
но также и во всех других трехслойных конструкциях. Некоторые из них применяются
еще и сегодня при изготовлении лодок, поскольку стенки их ячеек практически
водонепроницаемы.
 |
Рис. 149. Конструкция типа сэндвича со вспененным наполнителем. |
Однако для использования в качестве наполнителя панелей типа сэндвича, работающих в условиях, когда требуется наивысшая эффективность, вспененные смолы довольно тяжелы и обладают меньшей жесткостью, чем хотелось бы. Таким образом, с изобретением пеноматериалов голод на легкие наполнители не был ликвидирован.
Однажды, где-то в конце 1943 г., мне позвонил в Фарнборо один владелец цирка, некто Джордж Мэй, и попросил о встрече. После нескольких историй в духе Джеральда Даррелла о том, как трудно содержать обезьян в передвижном цирке, он извлек из кармана нечто похожее на помесь книги и гармошки. Когда Мэй потянул за концы своего изобретения, оно раскрылось подобно бумажной гирлянде, подвешиваемой на рождество. На самом деле это было какое-то подобие бумажных сот, очень легких, но совершенно удивительных по своей прочности и жесткости. Не думаю ли я, что такая штука может быть использована в конструкции самолета? Препятствие, как честно признался Джордж Мэй, состояло в том, что, поскольку эти соты были сделаны всего лишь из оберточной бумаги и обычного клея, они очень боялись воды и тут же расползались, стоило их только слегка намочить.
Это был тот редкий случай, когда авиационные инженеры испытывали серьезное искушение расцеловать владельца цирка всем коллективом. Однако, преодолев первый порыв, мы сказали Мэю, как защитить бумажные соты от воды с помощью синтетических смол.
Именно так поступили и мы (рис. 150). Бумагу, из которой изготовлялись
соты, предварительно пропитывали раствором фенольной смолы. Сделанные из
нее и расправленные соты помещались в печь для отверждения смолы. Бумага
после этого делалась не только водостойкой, но и более прочной и жесткой.
Материал получился очень удачный и нашел широкое применение в военной технике.
Хотя теперь он почти не используется в самолетостроении, зато около половины
дверей в мире имеют его между слоями фанеры или пластмассы. Особенное распространение
нашел этот способ в США, велико и мировое производство бумажных сот.
 |
а - на пропитанную мономером бумагу наносятся
параллельные полосы клея:
|
Хотя инженеры начали применять конструкции типа сэндвича и наполнители
из вспененных смол и бумажных сот сравнительно недавно, они с незапамятных
времен используются в природе (рис. 151). Примером тому служат так называемые
"плоские" кости нашего черепа, подвергающиеся действию изгибающих и сжимающих
нагрузок.
 |
Рис. 151. Плоская кость. |
