---

ФАКЕЛ, КОТОРЫЙ НУЖНО ЗАЖЕЧЬ

В этой главе мы побеседуем о той области математики, которая называется математической физикой. Чтобы почувствовать, чем занимается и как работает математик, специализирующийся по этой науке, используем уже освоенный нами прием - познакомимся с ученым, внесшим принципиальный вклад в математическую физику ХХ века, академиком Сергеем Львовичем Соболевым.

Одному из авторов довелось в студенческие годы слушать лекции профессора С. Л. Соболева по уравнениям математической физики в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова. Вспоминается первое впечатление. Конечно, мы - студенты третьего курса - были наслышаны о С. Л. Соболеве. Еще бы - член-корреспондент Академии Наук СССР в 24 года, академик в 30 лет, трижды лауреат Сталинской премии, Герой Социалистического Труда, член многих иностранных академий - все это нам было известно, но мы еще ни разу его не видели. И вот в аудиторию стремительно вошел моложавый, крепко сбитый человек. Светлый вихор надо лбом, смеющиеся глаза, упрямо выпяченная нижняя губа. И абсолютная неспособность оставаться неподвижным. Даже когда он, вроде бы, стоял на месте, нас не покидало впечатление движения, порыва - до того рвалось из него то, что он хотел нам сообщить. Чувствовалось, что чтение лекций доставляет ему даже не удовольствие, а наслаждение, ведь речь шла о Математике.

“Я буду говорить об одной из самых древних наук, которая нам, ее работникам, кажется вечно юной. Она переживала за свою историю и восторги замечательных открытий, и революции, и периоды спокойной систематической работы. Ее считают и царицей всех наук, и их служанкой. Для ее последователей это всегда богиня, лик которой спрятан под покрывалом, и счастлив тот, кто удостоился увидеть какие-нибудь новые черточки ее лица или разгадать какую-нибудь из ее загадок”, - так вдохновенно описывал он дело своей жизни и предмет своей любви.

И началась гонка по уравнениям математической физики. Сейчас наш опыт позволяет утверждать, что уложить подобный курс в один семестр - это задача, решения которой не существует. Либо придется выбросить массу важного материала, чтобы толком объяснить хоть что-то, либо дело сведется к обзору задач и методов без какой-либо глубины. Да это и понятно. Для исследования задач математической физики требуется не только понимание физического существа задач, но и достаточно глубокие знания по функциональному анализу, теории меры и интеграла Лебега, дифференциальным уравнениям, теории функций комплексного переменного. Студентам трудно свободно оперировать всем этим материалом, хотя соответствующие курсы в объеме “прожиточного минимума” мы к тому времени и прослушали. Добавим еще, что исследование каждой задачи математической физики требует много времени, громоздких записей и формул.

Так вот, профессора С. Л. Соболева все это ничуть не смущало. С помощью инструмента, который в наше время принято называть динамизмом, с помощью глубокой уверенности в том, что можно сделать все - надо лишь как следует хотеть - он продирался вместе с нами через джунгли новых для нас понятий и приемов. Говорил, писал и жестикулировал одновременно. Его энергия заражала нас, и мы тоже быстро писали и даже необычно быстро думали, сами удивляясь этому. Видимо, его знания передавались нам не только традиционными путями, но и посредством каких-то, еще не открытых волн энергии. Наверное, это так. Не зря Сергей Львович любил говорить, что “студент - это не сосуд, который надо заполнить, а факел, который нужно зажечь”.

Так или иначе, С. Л. Соболев решил эту задачу, не имеющую решения, и вложил в нас фундамент своей науки. Ведь основным направлением деятельности академика как раз и были поиски решения задач, не имеющих решения в традиционном смысле слова, но важных для науки и техники. Его работы носили революционный характер, так как были связаны с качественно новым взглядом на привычные вещи, взглядом, высвобождающим новые творческие возможности развития науки. Ясно, что именно такие подходы, обеспечивающие качественный прорыв в развитии, особенно ценны. Человечество давно поняло это, создав мифы о гордиевом узле и колумбовом яйце.

РАЗДЕЛЕНИЕ ТРУДА

Чтобы понять, какими задачами занимался академик, поговорим немного о математической физике. Можно сказать, что это одна из областей математики, самых близких к инженерной деятельности человека. В самом деле, очень важны и многочис-ленны технологические проблемы, связанные с движением тех видов вещества, которые принято называть телами: твердых тел, жидкостей, газов, плазмы. Для инженера такие проблемы возникают при изучении прочности конструкций, расчете движения летательных аппаратов в атмосфере или кораблей в воде, фильтрации нефти в пласте, тепловой изоляции и т. д. Не менее важное значение имеют задачи, связанные с эволюцией такой формы материи, как поле, например электромагнитное. Они важны, в частности, для технологии различных видов телесвязи. Что общего между всеми этими задачами.

Чтобы ответить на этот вопрос, надо с инженерного уровня описания задачи перейти на физико-математический уровень. Ведь прежде чем инженер получит метод расчета конкретного устройства, требуется большая работа физиков и математиков.

Под полем обычно понимается функция, непрерывно изменяющаяся в пространстве и времени по определенным физическим законам. Ее значения могут иметь самую различную природу: быть числами (поле температуры), векторами (поле скорости или силы), тензорами или матрицами (поле напряжений или деформаций в теле) и т. д.

Главное - речь идет о функциях нескольких числовых переменных (пространственных координат и времени), которые могут непрерывно изменяться в некоторой области. Иначе говоря, главное - это сплошность рассматриваемого объекта, в отличие от дискретности, присущей системам изолированных объектов.

Дело физиков - экспериментаторов и теоретиков - найти законы, регулирующие изменения, происходящие в поле под влиянием силовых или энергетических воздействий. Затем они должны придать этим законам математическую формулировку, т. е. предложить математическую модель изучаемого процесса. На этой стадии в дело вступают математики. Их цель - проанализировать математическую модель и прежде всего установить ее логическую непротиворечивость, т. е. доказать, что математическая задача имеет решение. Математики должны также выяснить, является ли решение единственным. Наконец, им надо придумать методы нахождения точного или приближенного решения задачи. Только после этого наступает время инженера.

Конечно, описанная схема разделения труда довольно условна. На практике функции инженера и физика, физика и математика, а то и все три функции могут соединиться в лице одного и того же исследователя. Это бывает в двух случаях: когда исследователь обладает универсальными знаниями и талантами или когда научная работа плохо организована. Тем не менее, инженер-ный, физический и математический подходы к задаче довольно четко различаются.

Для инженера главное - получить конкретный результат в виде действующего устройства. Если устройство делает все, что ему положено, то никаких других обоснований примененного метода инженеру не нужно.

В свое время английский инженер-электрик О. Хевисайд придумал так называемое символическое исчисление для расчета электрических цепей. Оно не имело никакого математического обоснования, но обычно приводило к правильным результатам. Отвечая на упреки в необоснованности своего метода, О. Хевисайд говорил, что он не станет отказываться от вкусного обеда только потому, что не полностью понимает, как происходит процесс пищеварения. Справедливости ради, нужно сказать, что метод Хевисайда иногда приводил к ошибочным результатам, причем заранее было неясно, в каких именно случаях это произойдет. Позднее, проанализированный и усовершенствованный математиками метод О. Хевисайда стал широко известным и эффективным и ныне носит название операционного исчисления.

Что касается физика, то для него важнее всего - правильно понять и объяснить физическую суть процесса. Привлекаемые для этого математические средства он воспринимает как язык, на котором выражаются физические законы. Если эти законы настолько новы, что для них в языке нет слов, он придумывает новые, не очень заботясь о грамматике и стиле. Известный физик П. Дирак, занимаясь квантовой теорией, изобрел свою знаменитую дельта-функцию. Так он назвал “функцию”, которая равна нулю во всех точках числовой прямой, кроме начала координат, где она равна бесконечности, требовалось также, чтобы интеграл от этой функции по всей числовой оси был равен единице. Для математиков дельта-функция была чудовищем с противоречивыми свойствами, химерой. Не может функция, равная нулю везде, кроме одной точки, иметь интеграл, не равный нулю. И потом, что это за значение для порядочной функции - бесконечность?

Но физики работали с этим чудовищем абсолютно спокойно. Даже слишком спокойно, поскольку, применяя к действиям с дельта-функцией формальные правила операций над обычными функциями, можно получить неправильные выводы. Им вполне хватало понимания того, какое физическое содержание вкладывается в понятие дельта-функции. Это содержание можно описать примерно так. Физики привыкли задавать распределение физических величин по пространству с помощью удобного понятия плотности. В частности, им хотелось описать распределение массы следующего вида: в одной точке прямой (плоскости, пространства) сосредоточена масса величины единица, во всех остальных точках массы нет вовсе. Ясно, что, посчитав плотность такого распределения массы, мы получим бесконечную плотность в одной точке и нулевую - во всех остальных. При этом интеграл плотности по всему пространству, т. е. суммарная масса, равен единице. Мы видим, что, действительно, дельта-функция - это не функция, это объект нового типа, представляющий собой некоторый способ описания распределения физической величины по пространству. Позднее математики нашли путь для широкого обобщения понятия дельта-функции, создав теорию “обобщенных функций” или “распределений”; второе название напоминает о физическом происхождении нового математического понятия.

Как мы уже замечали, для математики главное - логическая непротиворечивость и строгость введения понятий и развития теории. Многие инженеры и физики имеют обыкновение подшучивать над пристрастием математиков к доказательству теорем суще-ствования и единственности решения. Они считают это излишним “наукообразием”, предпочитая заниматься непосредственным построением решений задачи. Наша профессия обязывает нас привести здесь доводы в защиту математиков. Конечно, хорошо, если удастся, как в задачниках для школьников и студентов, построить точное решение задачи, это, в частности, будет и доказа-тельством его существования. А если не удастся? Тот, кто не имеет информации о существовании решения, рискует оказаться в положении средневековых алхимиков, истративших огромное количество времени и сил на поиски философского камня, который так и не найден. А ведь многим из них казалось, что они уже почти нашли его, что он совсем близко, рядом. Сколько труда положили ученые на попытки вывести пятый постулат Евклида из других аксиом его геометрии, на решение задач о квадратуре круга или трисекции угла, пока не было доказано, что решения этих задач не существует!

Нам могут возразить, что существование решения правильно сформулированной задачи физического происхождения, обычно, очевидно. Но в этой кажущейся очевидности и заключено все коварство природы. Очевидность - категория скорее психологическая, чем научная. В предыдущих примерах существование решения также было “очевидно” для тех, кто их решал. Точно так же древним грекам было “очевидно” существование кентавров. Доказательство существования решения говорит о том, что математическая модель реально существующего процесса непротиворечива и, в этом смысле, составлена корректно.

Вопрос о единственности решения не менее важен. Если решение математической задачи, моделирующей некий однозначно протекающий физический процесс, не единственно, это значит, что в модели учтены не все факторы, влияющие на природу процесса. Известная шутка о том, что наилучшее средство от насморка - это гильотина, довольно грубо поясняет, какого рода неприятности могут возникнуть при постановке задачи с неоднозначным решением.

“Часто от представителей других наук приходится слышать, что существование решения и его единственность не вызывают вопроса, так как изучается реальное явление, которое и представляет решение задачи, и если изучаемое явление детерминировано, то другого решения задачи быть не может. Однако такое утверждение основано на смешении представлений о реальном явлении и математической модели. Математическая модель описывает лишь модель явления, и для модели, отражающей лишь некоторые черты объекта, существование решения или его единственность может не иметь места”, - пишет академик А. Н. Тихонов. Ему будет посвящена следующая беседа, где мы подробнее поговорим о корректной постановке математических задач.

НУЖНЫ ЛИ ДВОЙНЫЕ РАМЫ

Мы слишком отвлеклись на полемику с теми, кто недооценивает серьезность требований математиков к вопросам существования и единственности решения. Вернемся и к другим особенностям задач математической физики. Мы уже знаем, что каждая такая задача состоит в определении того или иного поля - функции многих переменных. Из каких условий следует определять это поле ?

Одним из таких условий является уравнение или система уравнений, которым должно удовлетворять поле в той области изменения пространственных переменных и в том интервале времени, которые определяются конкретной задачей. Как правило, такие уравнения оказываются уравнениями в частных производных. Поэтому термины “уравнения математической физики” и “уравнения в частных производных” - это почти синонимы, просто в первом из них сделан некоторый акцент на физическом происхождении рассматриваемых математических объектов. Уравнение в частных производных возникает как математическая запись физического закона (например, закона сохранения массы, импульса, энергии и т. д.), примененного к малой окрестности любой точки внутри области, занятой полем, и к любому малому интервалу времени. При этом существенно используется непрерывность пространства и времени, а также дифферен-цируемость полей, т. е. непрерывность изменения самих полей, скоростей и ускорений их изменения при переходе от точки пространства и момента времени к соседним точкам и моментам.

Рассмотрим, например, так называемую “струну”, т. е. очень тонкое гибкое упругое тело, которое в натянутом состоянии занимает отрезок 0  Ј  x  Ј  l оси x. Если вывести струну из положения равновесия, отклонив ее от прямолинейного положения и отпустив в момент времени t = 0 или резко ударив по ней в этот же момент, то она начнет колебаться около этого положения. Пусть u (x, t) означает отклонение точки струны x от положения равновесия в момент t. Применив к малому участку струны в районе точки x и в окрестности момента t закон сохранения импульса (второй закон Ньютона), получим следующее уравнение колебаний струны:

где a²(x) - заданная функция, которая определяется физическими свойствами струны - распределением массы вдоль нее и ее упругостью; f (x, t) учитывает постоянно действующие на струну в поперечном направлении силы, например собственную тяжесть струны; каждый нижний индекс означает дифференцирование по соответствующей переменной.

Уравнение колебаний струны - это один из простейших, но в то же время и важнейших, примеров уравнений в частных производных математической физики. Оно описывает упругие колебания не только струны. Если вместо струны рассматривать упругий стержень, т. е. не гибкое тело и не обязательно очень тонкое, а вместо поперечных отклонений от положения равновесия говорить о продольных колебаниях частиц стержня под действием сил, направленных вдоль него, получится в точности то же самое уравнение. Это объясняется физической тождественностью процессов: в обоих случаях речь идет о взаимодействии сил упругости, возвращающих выведенное из равновесия тело обратно, и сил инерции, заставляющих тело “проскакивать” это положение.

С точки зрения единства математического описания внешне различных физических процессов, еще более интересный пример представляет собой уравнение

Оно описывает распространение тепла в стержне с помощью механизма теплопроводности, диффузию малой примеси в веществе, изменение давления при фильтрации жидкости в пористой среде. В зависимости от задачи, его называют уравнением теплопроводности, диффузии или пьезопроводности (от греческого piezein - давить). В данном случае физическое единство процессов состоит в том, что всякий раз речь идет о переносе физического качества (энергии, массы, импульса) путем хаотического и лишь в среднем упорядоченного взаимодействия соседних микрочастиц тела. Действительно прав был Ньютон, говоря: “Природа не богата на причины”.

Итак, искомое поле должно удовлетворять некоторому уравнению в частных производных. Однако таким уравнением поле однозначно не определяется. Говоря физически, закон взаимодействия значений поля в соседних участках пространства и интервалах времени еще не определяет конкретного физического процесса изменения поля. Например, для однозначного выяснения вопроса о том, как меняется температура в квартире, мало знать, что тепло передается путем теплопроводности. Надо еще выяснить, какая температура была в квартире в начале интересующего нас периода времени, каковы условия теплообмена внутренности квартиры с ее внешностью: холодно ли за окнами или жарко, открыты они или нет, из чего сделаны стены. Говоря математически, надо добавить к уравнению краевые условия, т. е. условия на границе пространственной области, в которой рассматривается искомое поле, а также условия в начальный момент времени, если поле зависит от времени. При этом краевые условия надо формулировать так, чтобы они не оказались противоречивыми и тем самым исключающими существование решения задачи, с одной стороны, и чтобы их не было слишком мало для однозначности решения - с другой. Это уже знакомые нам вопросы существования и единственности решения.

Говорят, что с известным физиком Э. Ферми случилась такая история. В его квартире было холодно, и жена предложила вставить вторые рамы. Поскольку Э. Ферми был человеком науки, он решил сначала теоретически рассчитать, какой эффект дадут эти рамы. Расчеты показали, что эффект незначителен. Жена не прислушалась к этим доводам и все-таки вставила рамы. В квартире стало заметно теплее. Э. Ферми удивился, вернулся к расчетам и обнаружил ошибку.

Как добиться выполнения поставленных требований и откуда брать краевые условия? Брать их следует из физических закономерностей, но примененных не к внутренним участкам области определения поля, а к поверхностям контакта этой области и ее внешности. Например, колебание струны - это типичная задача об эволюции чисто механической системы. Физикам известно, что для знания процесса такой эволюции необходимо задание начального положения и начальных скоростей всех элементов системы. Отсюда вытекают стандартные начальные условия для уравнения колебаний струны (1):

где j₀ (x) и j₁ (x) - заданные функции. Если же говорить об уравнении теплопроводности (2), то для него постановка двух таких независимых условий приведет к отсутствию решения. На этот раз рассматривается процесс не механической, а молекулярно-кинетической природы. В таких случаях надо ограничиться одним начальным условием u(x, 0) = j₀ (x).

Нередко в физических задачах оказывается естественным предположение о бесконечной длине колеблющейся струны или теплопроводного стержня. В этом случае условия на границе уже не требуются, процесс определяется только начальными условиями и мы получаем так называемую задачу Коши.

Что касается граничных условий для струны или стержня конечных размеров, то для каждого из двух обсуждаемых уравнений они имеют математически одинаковую структуру, хотя физически различное происхождение: это либо задание значения поля на границе (известны отклонения струны от положения равновесия на ее концах, известна температура внешней среды на концах стержня), либо задание значений производной поля u_x на концах (это сила натяжения струны, поток тепла - в задаче о теплопроводности в стержне), либо, наконец, задание на границе некоторой комбинации значений самого поля и его производной. Последний вариант возникает, когда условия силового или энергетического взаимодействия рассматриваемого поля с окружающей средой достаточно сложны.

Если физики ошибутся в постановке дополнительных условий, то математики рано или поздно их поправят, выяснив, что при данных условиях задача не имеет решения или имеет не одно решение.

Совокупность уравнения в частных производных и надлежащим образом выбранных краевых условий называется краевой задачей и составляет основной объект изучения математика - специалиста по математической физике. Мы пояснили это понятие на самых простых примерах. Набор краевых задач, которые ставит современная наука перед исследователем, исключительно широк и разнообразен, задачи эти сложны. Достаточно привести в качестве примеров задачи, связанные с системой уравнений Навье-Стокса в механике вязкой жидкости, Максвелла - в электродинамике, Шредингера - в квантовой механике, Эйнштейна - в общей теории относительности. Практически все достижения в этих областях науки связаны с разработкой новых методов решения краевых задач. “Дифференциальное уравнение в частных производных вошло в теоретическую физику в качестве служанки, но постепенно стало госпожой”, - писал А. Эйнштейн. При этом многое в решении прикладных краевых задач все еще остается неясным. Неточность метеорологических прогнозов в значительной степени обусловлена сложностью уравнений Навье-Стокса, так что по-прежнему справедлив полезный совет Козьмы Пруткова: “Даже летом, отправляясь в вояж, бери с собой что-либо теплое, ибо можешь ли ты знать, что случится в атмосфере.”

ПЕРЕСТРОЙКА В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ

Теперь мы достаточно образованы, чтобы попытаться обсудить вопрос о том, какие же проблемы и каким способом решил математик, с которым мы познакомились в начале беседы - академик С. Л. Соболев. Для этого вернемся к выписанному выше уравнению струны (1), которое должно решаться с начальными условиями (3). Предположим, что концы струны, находящиеся в точках x = 0 и x = l, закреплены, так что граничные условия имеют вид u(0, t) = u(l, t) = 0.

Традиционно и естественно, под решением такой краевой задачи понималась функция u(x, t), определенная внутри и на границах области 0  Ј  x  Ј l, t > 0, непрерывная в этой области вместе с границей и имеющая внутри области непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Кроме того, заданные функции a²(x), j₀ (x), j₁ (x) также предполагались непрерывными. Совершенно понятно, зачем нужна непрерывность самого поля и его первых производных внутри области: иначе просто не будут существовать вторые производные, входящие в уравнение (1), т. е. нельзя будет даже осуществить подстановку поля в него, чтобы проверить, удовлетворяется ли уравнение. Но зачем требовать непрерывности вторых производных? Не достаточно ли их существования? Точно так же, зачем требовать непрерывность заданных функций a²(x), j₀ (х), j₁ (x), f (x, t)?

Оказывается, эти требования вытекают из способа вывода дифференциального уравнения колебаний струны. Оно получается применением закона сохранения импульса к произвольному участку x₁   Ј  x  Ј  x₂ струны и произвольному интервалу времени t₁  Ј  t  Ј  t₂. В результате возникает некоторое интегральное соотношение, содержащее функцию u (x, t) и ее производные первого порядка под знаком интеграла. Затем, чтобы вместо интегрального соотношения получить значительно более удобное для анализа классическими методами дифференциальное уравнение, интегралы преобразуются с помощью интегрирования по частям, и соотношение приводится к виду

На этом этапе требуется, чтобы выражение в квадратных скобках было, если и не непрерывным, то, во всяком случае, интегрируемым. Наконец, наступает последний этап. Пользуясь произвольностью интервалов интегрирования x₁  Ј  x  Ј  x₂ и t₁  Ј  t  Ј  t₂, можно сделать вывод о тождественном обращении в ноль подынтегральной функции. Для этого заключения и требуется предположение о непрерывности подынтегральной функции, т. е. вторых частных производных поля u (x, t), а также функций a²(x), f (x, t).

Итак, в классической постановке исходные данные рассматриваемой краевой задачи должны быть непрерывными, а решение ее - дважды непрерывно дифференцируемым. Однако такое описание физического процесса колебаний струны обладает существенным неудобством. Во многих случаях указанные ограничения на данные задачи не выполняются, но сам процесс благополучно происходит, что фиксируется экспериментально. Описать же его с помощью классической постановки краевой задачи мы не в состоянии, так как решение задачи просто не существует в классе функций с непрерывными вторыми частными производными.

Пусть, например, струна составлена из двух кусков разной плотности, т. е. коэффициент a²(x) в уравнении (1) представляет собой разрывную кусочно-постоянную функцию. Можно показать, что в этом случае дважды непрерывно дифференцируемого решения уравнения (1) не существует. Другой вариант отсутствия классического решения краевой задачи получаем в случае, когда коэффициент постоянен, но в начальном положении струна имеет форму ломаной, в вершинах которой функция j₀ (x) не дифференцируема. Аналогичная ситуация возникает при разрывной начальной скорости j₁ (x), физически это соответствует удару в начальный момент времени по небольшому участку струны.

Таким образом, многие практически важные задачи математической физики не могут быть решены в классической постановке. Это привело математиков начала ХХ века к необходимости как-то изменить само понятие решения, приблизив его к физической реальности. Определенные шаги в этом направлении делали один из учителей С. Л. Соболева ленинградский профессор Н. М. Гюнтер, К. О. Фридрихс в США, Ж. Лере во Франции и другие математики. Однако определенно можно сказать, что систематическая “перестройка” математической физики, освободившая ее от тесных рамок классических постановок задач и давшая мощный импульс развития науке, началась с опубликованных в 30-х годах работ молодого советского математика С. Л. Соболева.

Попытаемся по возможности проще, без особой общности и строгости, описать идею, использованную С. Л. Соболевым при введении нового понятия решения краевой задачи. При этом будем ориентироваться на знакомую нам краевую задачу для уравнения колебаний струны. Вспомним, что физически естественная часть вывода уравнения струны кончается там, где получается интегральное соотношение (4) для поля u(x, t). Далее уже используется искусственное, только математически удобное предположение о непрерывности подынтегральной функции. Как уйти от него?

Перепишем соотношение (4) в виде

где V(x, t) - характеристическая функция (индикатор) множества S = { x₁  Ј  x  Ј  x₂ , t₁  Ј  t  Ј  t₂}, т. е. функция, равная единице на этом множестве и нулю вне него. Немного фантазии сначала и математической техники потом, и можно показать эквивалентность двух утверждений: “написанное равенство верно для любого множества S ” и “оно верно для любой бесконечно дифференцируемой финитной функции V(x, t)”. Под финитной понимается функция, тождественно равная нулю вне множества конечных размеров. Второе утверждение значительно удобнее для наших целей, чем первое. Теперь проведем в полученном соотношении интегрирование по частям в сторону понижения порядка производных поля u(x, t) и найдем:

Итак, соотношение выполняется для любой бесконечно дифференцируемой финитной функции V(x, t). В такую формулировку физического закона колебания струны уже не входят никакие производные искомого поля u(x, t). Функция u(x, t), удовлетворяющая этому интегральному тождеству относительно V(x, t), и называется обобщенным решением той краевой задачи для уравнения колебаний струны, которую мы рассматриваем.

Преимущества такого определения очевидны. Ему может удовлетворить функция, вовсе не имеющая производных, и даже функция, не определенная в некоторых точках. Тем самым класс функций, среди которых ищется решение краевой задачи, сильно расширяется. И это не противоречит физическому пониманию задачи, которое, в конечном счете, определяется возможностями и нуждами физических измерений. Ведь понятие поля - это тоже математическая абстракция. Реально, в эксперименте или технологическом устройстве, фиксируются и имеют смысл не значения поля в отдельной точке пространства и в отдельный момент времени, а интегральные, осредненные характеристики: массы, количества энергии или работы, расходы. Другими словами, реальный смысл имеют не сами поля, а определяемые ими функционалы или, проще, интегралы их произведений на различные функции. А для интегралов, как известно, дифференцируемость и даже существование всюду подынтегральной функции не важны.

На первый взгляд, определение обобщенного решения имеет и недостатки. Вместо классически элегантного дифференциального уравнения возникает явно “менее красивый” набор интегральных соотношений с откуда-то взявшимися непривычными финитными функциями произвольного вида. Неясно, какими способами находить конкретное обобщенное решение. На это можно ответить, что мы лишь показали на примере, каким способом вводится новое понятие обобщенного решения. Конечно, новые, совсем не похожие на традиционные, определения требуют разработки новой теории, нового математического аппарата, новых методов решения конкретных задач.

ДИТЯ ВЫРОСЛО ТАЛАНТЛИВЫМ

Вернемся к уже цитированному нами в начале главы докладу С. Л. Соболева о математике: “Нашу науку можно сравнить с растущим деревом, ветки и веточки которого - это отдельные области и теоремы (кстати сказать, существует даже математическое абстрактное понятие “дерево” для описания аналогичных структур). Бывает, что две или больше ветвей математики срастаются друг с другом. Тогда от них берут начало побеги, для которых родительскими служат не одна, а две или больше математических дисциплин”.

Новый побег - теория обобщенных функций - оказался детищем исключительно плодотворного союза двух областей математики: уравнений математической физики и функционального анализа. Дитя выросло настолько талантливым, что каждый из родителей охотно приписывает его достижения себе. Во всяком случае, раздел “Обобщенные функции” включается во все современные руководства и по уравнениям математической физики, и по функциональному анализу.

В функциональном анализе функции тех или иных классов рассматриваются как точки функциональных пространств, а числовые функции, определенные на этих пространствах, называются функционалами. В пионерских работах С. Л. Соболева, опубликованных в 1935-36 годах, и была впервые предложена новая замечательная концепция - решение дифференциального уравнения в частных производных надо рассматривать как обобщенную функцию (функционал). Созданное С. Л. Соболевым понятие обобщенной функции вызвало к жизни новые методы, позволившие решить ряд давно стоявших проблем математической физики, придать окончательную форму многим ранее полученным результатам, поставить и решить ряд новых задач. Новый аппарат и связанные с ним понятия и методы, особенно бурно развивавшиеся в 50-х годах в работах Лорана Шварца и его школы, изменили в короткий срок облик многих разделов математической физики.

Уравнение колебаний струны (1) было выведено Даламбером в 1747 году. Он же получил общее решение, содержащее две произвольные функции. Подобрав эти функции так, чтобы удовлетворялись начальные условия, Эйлер, выражаясь современным языком, решил задачу Коши. Отметим, что этот результат Эйлера почему-то называют решением Даламбера. Между выдающимися математиками возник спор, какие функции можно считать решением уравнения. Фактически спор шел о том, что такое функция. Эйлер считал, что функция может зависеть от переменной так, как ордината точки, лежащей на “начертанной свободным движением руки” кривой, от ее абсциссы. Даламбер не соглашался, полагая, что функция должна задаваться аналитическим выражением. Чуть позже в спор вмешался Д. Бернулли, утверждавший, что всегда можно подобрать тригонометрический ряд, удовлетворяющий и уравнению, и начальным и краевым условиям в случае ограниченной струны.

Общее определение функции как соответствия принадлежит Н. И. Лобачевскому (1834 год). Вопрос об условии представимости числовых функций тригонометрическими рядами рассматривали впоследствии Фурье, Дирихле, другие математики XIX века. Попытки построить строгую теорию тригонометрических рядов во многом стимулировали развитие современной теории меры, теории множеств, теории функций. Под сильным влиянием этих разделов математики формировался функциональный анализ.

Методы функционального анализа были использованы  С. Л. Соболевым для того, чтобы ввести новые понятия обобщенной функции и обобщенного решения уравнения (1). В полном соответствии с принципами диалектики, математика вернулась к тем же понятиям и уравнениям, но на качественно новом уровне. Виток спирали развития занял около 200 лет. Будет ли еще один виток?

Идеи теории обобщенных функций распространились и на другие разделы математики - обыкновенные дифференциальные уравнения, теорию представлений групп, теорию случайных процессов, вариационное исчисление и даже на теорию чисел. Они используются в механике, теоретической физике, ряде инженерных дисциплин. Уже много лет теория обобщенных функций входит в программы университетов и технических вузов, хотя всего полвека назад обобщенные функции воспринимались с таким же недоверием, как комплексные числа в эпоху Возрождения. “В настоящее время теория обобщенных функций далеко продвинута вперед, имеет многочисленные применения в физике и математике и прочно вошла в обиход математика, физика и инженера”, - пишет известный математик академик В. С. Владимиров.

Вклад С. Л. Соболева в качественное преобразование математической физики ХХ века не ограничился введением в науку понятий обобщенного решения краевой задачи и обобщенной функции как функционала. Им были заложены основы теории, построенной на этих понятиях. Сами по себе постановки краевых задач в тот момент не требовали подобной теории. Но фантазия математика, живущего в своем абстрактном мире, идет дальше, чем модели реальных явлений. Мир современных математических представлений и объектов широк - шире, чем это нужно в практических целях. Впрочем, дадим слово самому академику:

“Законы развития математики определяются двумя главными факторами. С одной стороны, это требования жизни, запросы техники, запросы со стороны других наук, с другой стороны - внутренние причины, заключенные в ней самой. Если Ньютон создавал свое учение о флюксиях и флюентах,  т. е. дифференциальное и интегральное исчисление, исходя из задач практики, из желания понять законы движения, в частности законы движения небесных тел, то Лейбниц пришел к той же теории, стремясь дополнить и превратить в стройное целое ряд отрывочных идей, оставшихся не до конца доработанными его замечательными предшественниками, такими, например, как Пьер Ферма. Есть и еще примеры тому, как внутренние законы развития математической науки, подчас действующие без всяких внешних поводов или влияний, вызывали к жизни грандиозные по своему значению ветви математической науки”.

Одним из примеров и может служить упомянутая выше теория обобщенных функций как функционалов. Дело в том, что сами функционалы естественным образом классифицируются, образуя определенные нормированные пространства, они-то и стали для С. Л. Соболева объектом изучения. В результате было установлено, что различные пространства обобщенных функций связаны между собой внешне простыми, но отнюдь не тривиальными связями. Теоремы, выражающие эти связи, называют теоремами вложения Соболева. Сами упомянутые пространства в мировой математической литературе называют пространствами Соболева, либо соболевскими пространствами. “Соболевские пространства служат в настоящее время основным инструментом в теории дифференциальных уравнений с частными производными”, - отмечают английские математики В. Хатсон и Дж. Пим, авторы монографии “Приложения функционального анализа и теории операторов”, изданной в 1980 году. Из фамилий математиков не часто делают прилагательные, в этом смысле С. Л. Соболев стоит в одном ряду с основателями функционального анализа Д. Гильбертом и С. Банахом.

Новаторские идеи, смело введенные в науку академиком С. Л. Соболевым, бурно развились и усовершенствовались. В этом плане, как уже говорилось, много сделала французская математическая школа, возглавляемая Лораном Шварцем. При знакомстве с историей развития новых концепций математической физики четко просматриваются национальные черты двух математических школ - российской и французской. Это, с одной стороны, - стремление к революционной ревизии основ науки (вспомним Н. И. Лобачевского и А. Н. Колмогорова), с другой - блестящее мастерство математической формализации, безупречность дедуктивных построений (Ж. Л. Лагранж, О. Коши, Н. Бурбаки).

Мы больше не будем в этой беседе писать формулы и пытаться перекладывать на общечеловеческий язык то, что излагается мудреным языком современной математики, и потому может быть понято до конца только посвященными. “То, что я понял, прекрасно, из этого я заключаю, что остальное, чего я не понял, тоже прекрасно”, - так Сократ комментировал труды Гераклита. Будем надеяться, что читатель последует примеру Сократа, и обратимся к другой стороне дела. Спросим себя: как может выглядеть, с чисто человеческой стороны, личность математика, всю жизнь напряженно размышляющего об абстрактных понятиях, далеких от того, что волнует большинство окружающих его людей. Если мы попробуем поближе познакомиться с Сергеем Львовичем Соболевым, нас ждут некоторые неожиданности.

“МНЕ БЫЛО ВСЕ ИНТЕРЕСНО...”

Всем известен миф о мальчике-вундеркинде, будущем знаменитом математике, лет в десять-двенадцать освоившем премудрости высшей математики и поражающем этим окружающих. Вспомним, например, Гаусса или Винера. Но жизнь не всегда похожа на миф, раннего интереса к математике Сережа Соболев не проявлял. “Мне было восемь лет , когда мой отец, Лев Александрович, решил заняться со мной арифметикой, купив учебник Сахарова”, - вспоминал Сергей Львович. Учебник был пройден за неделю.

Лев Александрович за участие в революционных выступлениях был исключен из Петербургского университета и отправлен в солдаты. Позже, сдав экстерном экзамены за юридический факультет, он стал присяжным поверенным. Человек высокой культуры, он писал и издавал стихи, его относили к последователям поэта-символиста Д. К. Бальмонта. С Натальей Георгиевной, матерью Сергея Львовича, он познакомился в Саратове. Студентка Бестужевских курсов и член большевистской фракции РСДРП, она была в 1901 году выслана в Саратов за участие в студенческой демонстрации. После революции Наталья Георгиевна закончила медицинский институт, работала на эпидемиях холеры, принимала участие в первых опытах по определению канцерогенных свойств веществ в Ленинградском медицинском институте. Наталья Георгиевна рано потеряла мужа, на ее плечи легли все заботы по воспитанию детей.

1919 год, разгар гражданской войны. Спасаясь от голода, семья переезжает в Харьков, на родину матери. Будущему академику приходится пасти трех коз, главных кормилиц семьи. Спускаясь в окружающие дом овраги, он прихватывает с собой школьные учебники. Двоюродный брат, который был на четыре года старше, уже занимался математикой. “Я его непрерывно интервьюировал: что такое квадратные уравнения, что такое прогрессия, - рассказывает Сергей Львович. - А кончилось все тем, что брат начал приносить мне задачи, и я их решал. Для меня это - первое чувство удовлетворения от математики, к которому примешивалось немного мальчишеского честолюбия”.

Один год подготовительных курсов Харьковского вечернего рабочего техникума, возвращение семьи в Петроград в 1923 году. И последний класс школы в Петрограде, которую он закончил с отличием. “Мне было все интересно: математика, физика, химия, медицина, литература, - вспоминал Сергей Львович, - но учительница сказала, что я должен обязательно поступить на математический факультет”. “Это твоя дорога, перестань думать о другом”, - говорила она”.

Однако он не перестал. И продолжал разрушать другое ходячее представление: математик всецело углублен в свои формулы и может себе позволить разве лишь какое-нибудь хобби в свободные минуты. В 15 лет он начал профессиональное музыкальное образование, поступив в Первую государственную художественную студию по классу фортепьяно. И лишь через год, продолжая учебу в студии, стал студентом физико- математического факультета Ленинградского государственного университета.

Жизнь студента Соболева была необычайно насыщенной. Математик Соболев слушал в университете лекции профессоров Н. М. Гюнтера, В. И. Смирнова, Г. М. Фихтенгольца и пытался во всем разобраться досконально. Уже на втором курсе он обратил на себя внимание педагогов. После лекции профессора Н. М. Гюнтера по уравнениям с частными производными первого порядка он подошел к лектору с вопросом. Изложенная на лекции теорема, про которую говорилось, что она доказана профессором Салтыковым, вызывала сомнения у студента Соболева. Узнав, где все это опубликовано, юноша не только нашел ошибки в доказательствах, но и построил примеры, противоречащие утверждениям автора. Первая печатная работа С. Л. Соболева “Замечания по поводу работ Н. М. Салтыкова...” появилась в “Докладах Академии наук СССР” в 1929 г. Ее пожелтевший оттиск с трогательным посвящением близким и сейчас хранится в семейном архиве.

А музыкант Соболев должен был торопиться в студию, где ждали клавиры концертов Римского-Корсакова, Глазунова, Шопена. Была и сугубо личная причина спешить в студию - именно там произошло знакомство с будущей женой. На вечер они часто брали стоячие билеты в филармонию - невозможно было пропустить концерты, на которых звучала волшебная музыка Бетховена, Мусоргского, Бородина, Скрябина.

Но и этого было мало, чтобы утолить духовную жажду студента Соболева. Он читал массу книг по философии, политэкономиии, биологии, медицине, увлекался поэзией Блока, Ахматовой, Маяковского и сам писал стихи. Его интересовали и изобразительное искусство, и фотография, и шахматы. Другом и партнером за шахматной доской был талантливый химик Б. А. Никитин, работавший впоследствии в Радиевом институте и рано ушедший из жизни из-за тяжелой лучевой болезни. Тесные дружеские отношения на всю жизнь связали С. Л. Соболева с однокурсником С. А. Христиановичем, ставшим позднее крупным специалистом в области механики, академиком, Героем Социалистического Труда. Друзья часто собирались у Соболевых в небольшой мансарде под самой крышей многоэтажного дома. Говорили о жизни, о математике, о музыке.

Между тем, Сергей Соболев уже сделал свой выбор. Его по-прежнему волновали новые звучания Шостаковича и Стравинского, но гораздо больше занимали проблемы аналитических решений системы дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными, принимающих заданные значения на координатных осях. Это была тема его дипломной работы, опубликованной в 1930 году в “Докладах” Французской академии наук. Художественную студию он успешно закончил, но даже не пришел получать диплом - ведь дело его жизни определилось.

Конечно, математика победила. Но и в недрах этой науки интересы и темы работ С. Л. Соболева весьма разнообразны. Правда, одна черта их объединяет: все его работы направлены на решение важных прикладных задач. Может быть, в этом “виноват” Ленинградский университет. Для ленинградской математической школы очень характерна связь рассматриваемых математических проблем с принципиальными вопросами естествознания и техники.

МЕДНЫЕ ТРУБЫ

После окончания университета - три года работы в теоретическом отделе Сейсмологического института АН СССР под руководством В. И. Смирнова. Основное направление исследований - распространение волн в упругих неоднородных средах, на языке математики это задача Коши для гиперболических уравнений. Учитель и ученик работали на равных: и идеи и исполнение - все вместе (учителю было тогда 42 года, а ученик был вдвое моложе). К тому времени С. Л. Соболевым было опубликовано более 30 работ, результаты одной из них докладывались в 1930 году на Первом Всесоюзном математическом съезде в Харькове. Присутствующий на съезде известный французский математик Ж. Адамар, решавший в свое время аналогичную задачу по-другому, пишет С. Л. Соболеву после съезда: “Я буду очень счастлив, молодой коллега, если Вы будете держать меня в курсе дальнейших Ваших работ, чрезвычайно меня заинтересовавших”.

В 1932 году Сергей Львович переходит в отдел дифференциальных уравнений Математического института имени В. А. Стеклова АН СССР. В это время идет напряженная работа над статическими задачами теории упругости, краевыми задачами для эллиптических уравнений, теорией обобщенных функций и обобщенных решений дифференциальных уравнений, теоремами вложения. Сделано три блестящих доклада на II Всесоюзном математическом съезде в Ленинграде, название одного из них - “Обобщенные решения волнового уравнения”.

Научные достижения С. Л. Соболева получили признание. В 1933 году его избирают членом-корреспондентом АН СССР. Стремительный взлет 1935-36 годов, когда молодой ученый ввел в науку обобщенные функции и предложил новую концепцию решения дифференциальных уравнений, породил неслыханную для теоретика популярность. В 1937 году его избирают депутатом Верховного Совета РСФСР первого созыва и депутатом Московского городского Совета. Газеты писали о нем много и восторженно, называли выдающимся математиком, предсказывали большое будущее. Восторгались журналисты в центральных газетах, музыковеды в своих специальных изданиях. Восторгались и коллеги - статья П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова, опубликованная в июне 1938 года в газете “Московский университет”, называлась “Яркий талант”. Самый молодой академик (выборы происходили в 1939 году) стал национальной гордостью. “Мы будем такими полярниками, как Папанин, такими летчиками, как Чкалов, такими математиками, как Соболев, такими шахтерами, как Стаханов, такими поэтами, как Маяковский”, - говорилось в приветствии пионеров Москвы XVIII съезду ВКП(б), состоявшемуся в 1939 году.

Много лет спустя, в беседе с журналистами Сергей Львович довольно скептически оценивал шумиху, поднятую вокруг его имени. “Я считаю, что мне просто повезло, - говорил он. - Тогда ведь было принято начинать хвалить какого-нибудь одного человека. Так и меня хвалили безудержно. Мне это неприятно, я все-таки считаю, что сам человек - лучший судья своих работ. Что касается моих работ, то тогда никто еще не мог разобраться, что из этого вырастет, выбран в академию я был в кредит”. О мнении профессионалов Сергей Львович отзывался так: “Они не специалисты, П. С. Александров тогда занимался топологией, А. Н. Колмогоров - теорией вероятностей, в узкой области уравнений математической физики ни один, ни другой непосредственно не работали”. Позволим себе не согласиться с мнением академика. Такие выдающиеся математики, как П. С. Александров и А. Н. Колмогоров, и не будучи узкими специалистами, вполне могли предвидеть тот революционный переворот, который под влиянием работ С. Л. Соболева произойдет в математической физике через 10-15 лет.

Все последующие годы послужили доказательством тому, что одно из самых трудных испытаний - испытание успехом - оказалось по плечу молодому академику, никак не отразилось на его характере. “Переоценить себя я бы никогда не хотел. Мне казалось, самое страшное - это почить на лаврах, думать о себе как об известном человеке. Гораздо важнее, да и приятнее то, что удалось решить какую-ту задачу, поставить правильно какую-то научную проблему и с ней справиться”, - говорил Сергей Львович. Таких проблем ему еще предстояло ставить и решать великое множество.

НА ВОЙНЕ КАК НА ВОЙНЕ

Война. Руководство страны понимало, что интеллектуальную элиту нужно сохранить любой ценой. И уже через месяц после начала войны издается приказ об эвакуации из Москвы институтов Академии Наук СССР. На молодого академика С. Л. Соболева возложены обязанности директора Математического института имени В. А. Стеклова. Организовав эвакуацию сотрудников и их семей в Казань, сам Сергей Львович остался в Москве. Ему приходилось дежурить на крышах в бригадах противовоздушной обороны, тушить пожары, заниматься отправкой в Казань богатейшей институтской библиотеки. В октябре 1941 г., когда немецко-фашистские войска стояли у ворот Москвы, Государственный Комитет Обороны (ГКО) обратил внимание на то, что не все крупные ученые эвакуировались. Последовал строгий приказ немедленно покинуть Москву академикам П. Л. Капице, Н. Н. Семенову, С. Л. Соболеву, члену-корреспонденту АН СССР
А. И. Алиханову. Напомним, что впоследствии выдающийся физик П. Л. Капица и один из основоположников химической физики Н. Н. Семенов стали дважды Героями Социалистического Труда, Нобелевскими лауреатами, а А. И. Алиханов — академиком, Героем Социалистического Труда, крупнейшим специалистом в области ядерной физики и космических лучей.

В Казани Сергей Львович провел два года. В сложных условиях эвакуации он как директор института много сделал для организации исследований, нужных фронту. С участием Сергея Львовича решались задачи по расчету артиллерийской стрельбы, бомбометания. В докладе о работе Академии наук СССР в годы войны академик П. Л. Капица отмечал: “Основанное только на теоретических предпосылках улучшение формы снаряда без дополнительной затраты пороха и увеличения прочности ствола орудия позволило увеличить дальность стрельбы примерно на 10%”.

Приходилось решать и сложные житейские проблемы, выгружать с барж дрова, организовывать быт сотрудников. Характерный штрих - семье не хватало теплой одежды. Найденный выход из положения был типично соболевским. Сначала сам Сергей Львович научился вязать и связал себе свитер, затем научил этому ремеслу детей.

В 1945 году правительство США собрало ведущих физиков-атомщиков, среди них были Э. Лоуренс, Р. Оппенгеймер, Э. Ферми. Обсуждался один вопрос - когда Советский Союз сможет сделать атомную бомбу. Физики были единодушны в ответе - не раньше, чем через 10 лет. Свой прогноз составило и ЦРУ - через 15-20 лет. Но уже в сентябре 1949 года президент Г. Трумэн сообщил и физикам и экспертам: “У нас есть доказательства, что недавно в СССР произведен атомный взрыв”. Президент был прав.

К 1943 году, когда Математический институт возвратился в Москву, физики убедили И.В.Сталина в том, что в США и Германии ведутся исследования по созданию атомного оружия. Приказом председателя ГКО СССР организуется так называемая лаборатория № 2, впоследствии переименованная в институт атомной энергии. Директором лаборатории назначен академик И. В. Курчатов, главным (первым) заместителем директора и председателем Ученого Совета - академик С. Л. Соболев. С этого момента фамилия С. Л. Соболева надолго исчезла со страниц газет. В обстановке глубочайшей секретности велись интенсивные работы по созданию атомного щита страны. Сергей Львович работал вместе с известным физиком академиком И.К. Кикоиным и занимался расчетом сложных систем получения кондиционного ядерного горючего. Прежде чем сформулировать математическую постановку задач, требовалось детально разобраться в физических процессах, которые до этого никогда не изучались.

Сложнейшие задачи математической физики надо было довести до числа, результаты - до воплощения в металле. Специальные бригады занимались только счетом, орудиями служили логарифмические линейки и арифмометры. Сергей Львович придумывал специальные методы счета и контроля результатов. Все это было делом государственной важности, и сотрудники лаборатории остро ощущали личную ответственность за его судьбу. В этот период (до 1952 года) Сергей Львович месяцами не бывал дома, уезжал в далекие и длительные командировки. В Москве часто работал по ночам, дети видели его только по воскресеньям. Если и выдавались свободные вечера, то, уходя из дома, он должен был сообщить, где его можно будет найти. Случалось, что посыльный вызывал его из театра во время спектакля. “Тогда было такое ощущение, - вспоминал Сергей Львович, что если не выйдет наша работа, то неизвестно, что станет со страной. Но у всех у нас была уверенность, что выйдет, обязательно выйдет”. Вышло. В декабре 1946 года атомный реактор заработал.

Менее чем через год после пуска реактора, правительство заявило о том, что секрета атомной бомбы уже не существует. В стране началось строительство промышленных атомных реакторов. В разработке технологии выделения из урана плутония - важнейшего атомного взрывчатого материала - важную роль сыграл Б. А. Никитин, друг юности С. Л. Соболева. В 1949 году были проведены первые успешные испытания атомного оружия.

Работы, проведенные лабораторией, обеспечили безопасность страны. А личный вклад академика С. Л. Соболева был отмечен двумя Государственными премиями и званием Героя Социалистического Труда. Формулировка указа от 8 января 1952 года о награждении - “за исключительные заслуги перед государством по выполнению специального задания Советского правительства”.

С работой в лаборатории был связан следующий любопытный эпизод. Как-то в закрытый изнутри кабинет, где работал Сергей Львович, постучали. Попытка открыть дверь не удалась, сломался замок. По тем суровым временам и нравам нежелание или невозможность открыть дверь могли быть истолкованы по-всякому. Поэтому Сергей Львович ногой выбивает дверь, она открывается, но нога повреждена. Врачи накладывают гипс и предписывают постельный режим. В течение 6 недель Сергей Львович находится дома, у него впервые появляется возможность свести воедино результаты 15-летней работы, разбросанные по статьям и конспектам лекций. Так в 1950 году появилась книга “Некоторые применения функционального анализа в математической физике”, переведенная на многие языки и сыгравшая важную роль в “перестройке” теории дифференциальных уравнений с частными производными.

ДВАЖДЫ ДВА В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В начале 50-х годов появились первые советские электронно-вычислительные машины. Наибольшей известностью пользовалась машина БЭСМ, в 1952 году она была самой быстродействующей в мире, выполняя 8 тысяч операций в секунду. С новой техникой С. Л. Соболев познакомился в институте атомной энергии. Он сразу оценил перспективы ее использования, понял, что новой технике требуется принципиально новый математический аппарат. Вводить в машины старые методы вычислений было неразумно, нужна была качественно новая вычислительная математика. “Работая в Институте атомной энергии, я приобрел вкус к вычислительной математике, осознал ее исключительные возможности. Поэтому я с удовольствием принял предложение И. Г. Петровского возглавить первую в стране кафедру вычислительной математики Московского университета”, - рассказывал Сергей Львович.

Кафедрой вычислительной математики механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова С. Л. Соболев руководил с 1952 по 1959 годы. Кафедрой был обеспечен выпуск первых высококвалифицированных специалистов, выполнен ряд крупных научных исследований. На вычислительную математику переключились и собственные научные интересы Сергея Львовича. Основу вычислительной математики составляют методы приближения, понимаемые в самом широком смысле. Разработанный С. Л. Соболевым новый подход состоял в систематическом использовании понятий и теорем функционального анализа. Строгое изучение любых приближений возможно лишь в конкретном функциональном пространстве, только при таком подходе могут быть найдены и скорость сходимости итерационного процесса, и оценка погрешности счета. Принципиально важным был и цикл работ С. Л. Соболева, посвященный обоснованиям правильности вычислительного алгоритма.

В 1948 году название статьи ленинградского математика Л. В. Канторовича “Функциональный анализ и прикладная матема-тика” воспринималось как парадоксальное. С трудом верилось, что столь абстрактная ветвь математики может иметь какой-нибудь выход на прикладные задачи. Но уже в 1964 году известный немецкий математик Л. Коллатц в книге “Функциональный анализ и вычислительная математика” пишет: “Сегодня трудно сказать, относится ли, например, функциональный анализ к так называемой чистой математике или к так называемой прикладной”. Тому, что функциональный анализ стал языком современной теории численных методов, математика в значительной мере обязана трудам С. Л. Соболева. Сам Сергей Львович говорил, что теорию вычислений сейчас также невозможно представить без банаховых пространств, как и без электронных вычислительных машин.

Когда узнаешь, какими вопросами Сергей Львович занимался одновременно, всюду получая первоклассные результаты, поневоле закрадывается сомнение, было ли в его соболевских сутках 24 часа или больше. Несмотря на чрезвычайную занятость в Институте атомной энергии, он читает лекции в Московском и Ленинградском университетах, руководит аспирантами. С 1943 по 1958 год С. Л. Соболев совместно с И. Г. Петровским и А. Н. Тихоновым ведет известный семинар по уравнениям с частными производными. На этом семинаре воспитывалось новое поколение специалистов по математической физике, его заседания были праздниками для молодых математиков. В 1947 году он издает учебник “Уравнения математической физики”.

В это же время С. Л. Соболев продолжает заниматься задачами о распространении волн различной природы. Особенно трудными были задачи о колебаниях во вращающейся жидкости. Математическая модель этого процесса - уравнения в частных производных, не разрешенные относительно старшей производной по времени (сейчас их называют уравнениями типа Соболева). Эти исследования положили начало новым большим разделам функционального анализа и математической физики, их интенсивно продолжали ученики, советские и зарубежные математики. Как всегда, работы С. Л. Соболева были нацелены в будущее. Со временем теория получила и новые приложения - помимо расчета колебаний жидкости внутри летательных аппаратов, это динамика атмосферы и океана, математические модели охраны окружающей среды. В 1986 году Сергею Львовичу совместно с учениками и сотрудниками за многолетний цикл работ “Математические исследования по качественной теории вращающейся жидкости” была присуждена Государственная премия СССР.

ЧАЕПИТИЕ В МОЗЖИНКЕ

Вскоре после войны в подмосковной деревне Мозжинка близ Звенигорода создается академический дачный поселок. Однокурсники и друзья С. Л. Соболев и С. А. Христианович оказываются соседями. По субботам они встречаются у самовара, идет обсуждение личных проблем и проблем, стоящих перед страной. В одной из таких бесед - дело было осенью 1956 года - разговор зашел о Сибири. Пресса того времени много писала о необходимости освоения и форсированного развития Сибири и Дальнего Востока. Были приняты решения партии и правительства, разворачивалось строительство новых городов и заводов. Газеты часто цитировали М. В. Ломоносова: “Российское могущество прирастать будет Сибирью”.

Академикам было ясно, что развивать в Сибири надо не только промышленность, но и науку. Особенно беспокоило положение с математикой - на 30 миллионов советских людей, живущих восточнее Урала, приходился один профессор математики - в Томске. На очередное чаепитие был приглашен еще один сосед - выдающийся математик и механик академик М. А. Лаврентьев. Еще много раз они встречались втроем, прежде чем созрело решение обратиться в Президиум Академии наук и правительство с планом создания научных центров на востоке страны.

Первоначально предполагалось, что исследования будут вестись только по точным наукам - математике, механике, физике. Но запротестовала Ариадна Дмитриевна Соболева, супруга Сергея Львовича. У нее, кандидата медицинских наук, в таком случае не было бы возможности для научной работы. Коллеги-академики, с которыми встречались и советовались авторы проекта, также высказали свои пожелания. Окончательный вариант предусматривал создание институтов: математики с вычислительным центром, теоретической и прикладной механики, гидродинамики, ядерной физики, автоматики и электрометрии, геологии и геофизики, цитологии и генетики, экспериментальной биологии и медицины, экономики. Позже к ним добавились четыре химических института.

Надо было выбрать место для будущего центра сибирской науки. Вариантов было несколько. Побывав на местах и взвесив все “за” и “против”, академики остановились на пригороде Новосибирска. В 1957 году было принято официальное решение о создании Сибирского отделения Академии наук СССР, началось строительство Академгородка. “По нашему замыслу должен был строиться городок, в котором можно было бы обмениваться мыслями не только в своей узкой области, иначе заглохнешь, но и с учеными различных специальностей. Для математики - и для математиков - вновь открылись широкие возможности практиче-ского применения. Ну а самое главное - это новое дело. Как в науке, так и в жизни для меня это всегда было особенно привлекательным”, - вспоминал Сергей Львович.

Назначенный директором Института математики, он в 1958 году переезжает в Новосибирск. Вслед за Сергеем Львовичем в Новосибирск приехали математики из всех университетских и научных центров страны. В МГУ до сих пор помнят выступления заведующего кафедрой вычислительной математики профессора
С. Л. Соболева. Стремительно подходил он к трибуне, и в зал неслись вдохновенные слова о призвании ученого, о могуществе научных идей, о необходимости развивать науку в Сибири. Для многих веским аргументом при принятии решения о переезде в Новосибирск был личный пример С. Л. Соболева, его необыкновенный авторитет, привлекательность его личности. В работе по организации института большую помощь Сергею Львовичу оказал его заместитель, известный алгебраист, член-корреспондент АН СССР А. И. Ширшов. За короткое время Институт математики становится одним из крупнейших математических центров мирового уровня.

Возглавляя Институт математики, С. Л. Соболев заботился о том, чтобы в нем были представлены все важнейшие направления современной математики. Он хотел, чтобы эти направления возглавлялись людьми яркими, талантливыми. "Даже дюжина старательных посредственностей не заменит одного яркого таланта”, - считал он. Исследованиями в области геометрии руководил академик А. Д. Александров, в области алгебры и математической логики - академик А. И. Мальцев.

На должность руководителя отдела вычислительной математики Сергей Львович пригласил молодого математика Г. И. Марчука. Сказалась близость научных интересов - Гурий Иванович Марчук, заведующий математическим отделом физико-энергетического института в Обнинске, занимался численными расчетами ядерных реакторов, получил за эти работы Ленинскую премию. В 1964 году Г. И. Марчук возглавил Вычислительный центр - самостоятельный институт, спустя несколько лет стал академиком, а затем и президентом Академии наук СССР.

“ОКОВЫ ТЯЖКИЕ ПАДУТ...”

Сам Сергей Львович никогда не занимался математической экономикой, но хорошо понимал перспективность и важность для страны этого раздела математики. Отдел математической экономики возглавил известный математик Леонид Витальевич Канторович, приглашенный Сергеем Львовичем из Ленинграда.

С. Л. Соболев и Л. В. Канторович были знакомы со студен-ческих лет. Они вместе, хотя и на разных курсах, учились в Ленинградском университете. Вместе участвовали в работе кружка по теории функций, которым руководил Г. М. Фихтенгольц. Вдвоем они были основными слушателями спецкурса Н. М. Гюнтера по интегралу Стилтьеса. В один день они сделали свои первые доклады на заседании ленинградского физико-математического общества. Студент Соболев рассказывал об ошибках профессора Н. И. Салтыкова, студент Канторович - о полученных им новых результатах по теории множеств.

В 1938 году к Леониду Витальевичу, к тому времени известному специалисту по функциональному анализу, обратились за консультацией сотрудники Ленинградского фанерного треста. Речь шла о том, как можно рационально распределить пять видов работ по станкам восьми типов. Л. В. Канторович не только решил эту конкретную задачу, но и разработал общие принципы оптимального производственного планирования. Об этих исследованиях он доложил в 1939 году в Ленинградском государственном университете и Ленинградском институте инженеров промышленного строительства. Дополненная стенограмма этих докладов “Математические методы организации и планирования производства”, изданная отдельной брошюрой, была первой в стране крупной работой по математической экономике. Впоследствии из этой работы вырос целый раздел современной математики - линейное программирование.

“Экономический расчет наилучшего использования ресурсов” - название другой работы математика Л. В. Канторовича, написанной в 1942 году, но изданной только через 17 лет.

Эти работы были отправлены в Госплан СССР вместе с рекомендациями, подписанными академиком А. Н. Колмогоровым и депутатом Верховного Совета РСФСР академиком С. Л. Соболевым. Однако ни авторитет, ни титулы подписавших рекомендации не смогли преодолеть “математикобоязнь” руководящих чиновников. Работы поддержки не получили, так продолжалось до конца 50-х годов.

После образования отдела Л. В. Канторовича в Институте математики экономико-математическими методами стали активно заниматься не только математики, но и экономисты в Институте экономики. Исследования в столь широких масштабах велись в стране впервые. Содружество математиков и экономистов позволило сделать крупный вклад в создание систем перспективного планирования. Были найдены общие принципы и решены конкретные планово-экономические задачи. Заслуги Л. В. Канторовича были признаны сначала внутри страны - он стал академиком и лауреатом Ленинской премии, а затем и во всем мире - в 1975 году ему была присуждена Нобелевская премия по экономике.

Важную роль сыграл С. Л. Соболев в становлении исследований по кибернетике. Книга Н. Винера “Кибернетика” появилась в 1948 году, кибернетика в ней определялась как наука об управлении и связи в живых организмах, машинах, обществе. К сожалению, в те годы право судить о перспективах развития науки у нас в стране нередко предоставлялось не специалистам, а тем, кто подменял подлинные научные исследования раз и навсегда установленными положениями. На основе скороспелых выводов, а порой и из личных побуждений они могли одним направлениям науки дать свидетельство о благонадежности, другим - приклеить ярлык “реакционных” или “буржуазных”. Так было с генетикой, так произошло и с кибернетикой. На кибернетику буквально набросились некоторые философы. Толком не разобравшись в ее сути, они называли кибернетику не иначе, как идеалистической лженаукой. Работы по кибернетике замалчивались, ее практические достижения игнорировались. Тем, кто понимал важность кибернетики и хотел ею заниматься, грозила участь генетиков, разгромленных на недавней сессии ВАСХНИЛ 1948 года.

Первым официальным выступлением в поддержку кибернетики была статья “Основные черты кибернетики”, опубликованная в 1955 году журналом “Вопросы философии”. Соавторами С. Л. Соболева были А. И. Китов и А. А. Ляпунов. “К сожалению, многие, выступавшие против кибернетики как “сплошной мистификации”, не имели о ней достаточного представления”, - говорилось в статье. Далее подробно объяснялось, в чем состоят основные идеи кибернетики и почему они никак не противоречат марксистской философии. Однако этого было мало, чтобы победить околонаучных оппонентов, профессионалов борьбы “за советскую науку против ее идейных противников”. В 1957 году С. Л. Соболев и А. А. Ляпунов выпускают книгу “Кибернетика и естествознание”. Кибернетика становится отчасти разрешенной, в Институте математики организуется отдел кибернетики, во главе исследований - член-корреспондент АН СССР А. А. Ляпунов.

Книга Д. А. Гранина “Зубр” посвящена одному из основоположников генетики Н. В. Тимофееву-Ресовскому, одно из “действующих лиц” - Академгородок. О А. А. Ляпунове в книге говорится: “Этот добрейший человек проявил в битве за кибернетику беспощадность, неслыханную твердость и изворотливость”. Усилиями таких энтузиастов новой науки, как С. Л. Соболев и А. А. Ляпунов, битва была выиграна. Кибернетика заняла достой-ное место в ряду других наук.

“В СССР кибернетика стала развиваться бурными темпами лишь после того, как выдающиеся математики А. Н. Колмогоров, С. Л. Соболев, А. Я. Хинчин и другие заинтересовались ее проблемами”, - утверждается в “Очерках по истории кибернетики”.

Надо сказать, что Сергей Львович не раз выступал в защиту ученых от мракобеснических поползновений, имевших место в конце 40-х - начале 50-х годов. Такие выступления в то время требовали большой научной и гражданской смелости. В июле 1954 года, когда до “оттепели” было еще далеко, С. Л. Соболев опубликовал в “Правде” статью “О научной критике, новаторстве и догматизме”. В статье дается уничтожающий отзыв о руководстве физического факультета МГУ за то, что, “подвергая критике путаное идеалистическое мировоззрение Эйнштейна, некоторые ученые не хотели или не могли видеть то рациональное, что содержится в его конкретных физических исследованиях. Более того, делались безуспешные попытки опровергнуть физическое содержание теории относительности”.

Выступая против антинаучных попыток оторвать фундаментальные направления в математике от приложений, С. Л. Соболев писал: “Мы должны все более приближать наши научные исследования к потребностям строительства коммунистического общества. Однако это не должно вести к узкому практицизму. Путь дальнейшего поступательного развития советской науки пролегает через решения принципиальных больших теоретических вопросов науки, через новые поисковые работы, новые и новые открытия”.

Много внимания в статье уделено положению в биологии. “Признавая на словах необходимость научной критики, иные маститые ученые считают себя непогрешимыми и на деле стараются подавить все, что не укладывается в их схемы”. С. Л. Соболев хорошо знал, каким образом была подавлена генетика. Чуть ниже маститые ученые, чьи методы работы характеризуются как аракчеевские, названы поименно - это физиолог академик К. М. Быков и биолог и агроном академик Т. Д. Лысенко. Кстати, Т. Д. Лысенко был избран в Академию наук в один год с С. Л. Соболевым, в газетах 1939 года их портреты можно видеть рядом. Продолжая обличать тех, кто придает критике извращенную, догматическую форму, С. Л. Соболев указывает, что стандартные для биологии ярлыки “вейсманистский”, “мальтузианский”, “антипавловский” заменяют некоторым биологам научную аргументацию.

В статье делается вывод о том, что “догматизм в науке, вышедший из тиши кабинетов на арену жизни, может принести серьезный вред интересам государства”. Обратим внимание еще на одну фразу из статьи: “Советским ученым чужд культ личности, ибо известно, что самые выдающиеся ученые были всегда сынами своего времени и вовсе не все их взгляды сохраняют свое значение на вечные времена”. То, что советским людям чужд культ личности, было сказано на XX съезде КПСС, до съезда оставалось долгих два года.

ГЛАВА СИБИРСКОЙ МАТЕМАТИКИ

Но вернемся в Академгородок. В течение четверти века С. Л. Соболев возглавлял Институт математики. Он, однако, протес-товал, когда его называли главой сибирской математической школы и утверждал, что в Институте сложилось несколько независимых научных школ. Таков был объективный итог его мягкого, неавторитарного руководства Институтом. Сбылись надежды С. Л. Соболева об обмене идеями между математиками и представителями других наук. Об экономико-математических методах и кибернетике мы уже говорили. Необычайно плодотворным оказалось взаимодействие математики и химии, рождение новой науки - математической химии - произошло благодаря тесному содружеству Института математики, Вычислительного центра и Института катализа. Математическое моделирование химических процессов и реакторов помогло химии расчленить сложный процесс на более простые, для каждого элементарного процесса были построены свои уравнения, свои математические модели. Используя методы теории оптимального управления, математики научились определять параметры оптимального хода химического процесса, увеличивать производительность реакторов. Математические методы использовались для решения геологических задач (об этом подробнее рассказывается в следующей главе), была построена математическая теория взрыва, специалисты научились с помощью ЭВМ предсказывать паводок в речных руслах, велись интенсивные исследования в области математической лингвистики.

Самого Сергея Львовича занимала в это время задача о приближенном интегрировании функций - одна из основных, первостепенных задач вычислительной математики. Для одномерного случая она изучалась еще классиками - Эйлером, Гауссом, Чебышевым, полученные ими формулы называют квадратурными. Поискам наилучших кубатурных формул для вычисления многомерных интегралов С. Л. Соболев посвятил более 15 лет. При всей внешней простоте задача оказалась сложной, требующей привлечения разнообразного математического аппарата. С одной стороны, пришлось вернуться к классическим работам - потребовались новые, еще не известные свойства многочленов Эйлера. С другой стороны, пришлось использовать современные методы теории уравнений с частными производными, обобщенные функции, теоремы вложения. Проблема оптимизации кубатурных формул формулировалась на языке функционального анализа и свелась к нахождению минимума нормы функционала погрешности на некотором пространстве функций. В 1974 году вышла монография С. Л. Соболева “Введение в теорию кубатурных формул”, резюмирующая его исследования в этой области и послужившая основой многих работ его учеников.

Ученики всегда занимали важное место в жизни академика С. Л. Соболева. В их число входят не только аспиранты, защищав-шие диссертации под его руководством. Учениками Сергея Львовича считают себя и многие из тех, кто слушал его лекции, спецкурсы, участвовал в работе руководимых С. Л. Соболевым семинаров, работал под его руководством, испытал на себе влияние его научных идей. Мы уже делились впечатлениями о лекциях Сергея Львовича. Превосходный педагог, он всегда видел свой долг в том, “чтобы не упустить первые порывы любознательности, чтобы заронить в юную душу искорку интереса, которая, исподволь разгораясь, может превратиться в пламя научного творчества”.

В 1951 году группа ученых (в их числе был и С. А. Христианович) предложила организовать высшее учебное заведение нового типа, в котором органически сочетались бы обучение и научная работа. Естественно, что С. Л. Соболев не мог оставаться в стороне, он помогал решать организационные вопросы, составлял и обсуждал программы. Он читал лекции первым студентам Московского физико-технического института.

В Академгородке забота о воспитании молодых математиков стала одной из главных. Тут же, рядом с Институтами, в 1959 году создается Новосибирский государственный университет. Первую лекцию по математике студентам университета читает академик С. Л. Соболев. В университете он организует и возглавляет кафедру дифференциальных уравнений, читает общие и специальные курсы. Опыт работы Физтеха помог, студенты Новосибирского университета с первого курса активно включаются в работу Институтов Академгородка. Когда-то М. В. Ломоносов мечтал о такой постановке образования, при которой “...университет - друг, более того - единокровный брат Академии наук, который составляет с ней единую плоть и будет за одно с ней трудиться на пользу отечества”. Новосибирский университет, руководимый известным математиком академиком И. Н. Векуа, действительно оказался единокровным братом Сибирского отделения Академии наук СССР. Лучшие сотрудники Институтов стали одновременно преподавателями Университета. Тысячи выпускников университета пополнили Институты, составили целые кафедры в вузах и молодых университетах Сибири и Дальнего Востока.

Новая организация учебы требовала и новых методов подбора студентов. Одаренных и увлеченных математикой школьников надо было искать повсюду. На вступительном экзамене трудно понять, действительно ли абитуриент имеет настоящий интерес и способности к математике или же его просто хорошо подготовили. Ведь возможности проявить талант есть не у всех. Академику С. Л. Соболеву очень хотелось, чтобы ни один талант не зачах. В одной из статей он писал: “Рассказывают, жил в одном из захолустных губернских городов царской России одинокий и нищий старик. Незадолго до смерти он показал местному учителю математики потрепанную тетрадь. Полистали ее сведущие люди и ахнули: дифференциальное исчисление. Полуграмотный нищий, сам того не подозревая, через 250 лет повторил великое открытие Ньютона и Лейбница. Ирония судьбы? Пожалуй, так. Конечно, жаль, что человек ломился в открытую дверь, второй раз открывая Америку. Но это еще полбеды. Беда в том, что не подметили в нем “искры божьей”, не дали развернуться незаурядным математическим способностям”.

При активном участии С. Л. Соболева организуется Всесибирская школьная олимпиада, объявляется набор в физико-математическую школу при Новосибирском государственном университете. Выпускники школы, нередко уроженцы далеких таежных сел, становятся студентами, а затем и научными сотрудниками. В том, что Сибирь давно уже перестала быть математической целиной, решающая роль, несомненно, принадлежит Сергею Львовичу Соболеву.

К ЧЕМУ ПРИВОДИТ УПРЯМСТВО

В 1984 году С. Л. Соболев возвратился в Москву, в Математический институт имени В. А. Стеклова. Снова, как и 50 лет назад, местом его работы стал отдел дифференциальных уравнений. Почетный доктор многих зарубежных университетов и член иностранных академий, он участвовал в работе международных конференций, выступал с докладами. Он продолжал трудиться, свидетельство тому - Государственная премия 1986 года. Он был счастлив и сам объяснял это так: “И радость творчества, и источник сил найдут для себя в царстве математики все, кто будет строить ее здание. Путь в науку не легок, но прекрасен. Тому, кто его прошел, открывается многое - радость творчества, радость познания. Счастье в том, чтобы дело твоей жизни было нужно людям. И нужно всегда”.

Сколько разных научных проблем, сколько направлений творчества, и в каждом - первоклассные результаты, теоретические и прикладные! Где источник, причина такой творческой активности?

Ну, конечно, природный талант - необходимое условие творческого успеха. Но этим все не объяснишь. Безусловно решающую роль сыграло довольно редкое сочетание свойств человеческого характера: необычайное любопытство к миру, жажда знаний любой природы, неприятие покоя и рутины, абсолютная уверенность в разрешимости какой угодно проблемы и обычное (точнее, необычное) человеческое упрямство.

Мать С. Л. Соболева, Наталия Георгиевна вспоминала, как она с детьми проводила лето 1916 г. на берегу моря в Финляндии, будучи студенткой медицинского института. Там же отдыхал и профессор Догель, которому она должна была осенью сдавать экзамен по гистологии. Профессору не раз приходилось наблюдать сеансы “укрощения” сына студентки Соболевой: до такой степени Сережа был своенравным, настойчивым и упорным в своих желаниях. На экзамене Догель без единого вопроса поставил Соболевой высшую отметку, заметив: “Если вы управляетесь с таким сыном, вы, конечно, отлично справились с моим предметом”. Эта способность страстно хотеть осталась у Сергея Львовича на всю жизнь.

Если перечислить еще и общественные занятия С. Л. Соболева - депутата, члена многих комитетов и редколлегий, активиста международных организаций, то у читателя сформируется глубокое убеждение в том, что на “личную жизнь”, на семью у него времени просто не оставалось. И снова сюрприз! У Сергея Львовича и его жены Ариадны Дмитриевны Соболевой 7 детей, 14 внуков, 12 правнуков. Воспитание детей в этой большой и дружной семье - это высокий культ, и глава семьи был одним из самых активных его жрецов.

Дочери вспоминают, что Сергей Львович никогда не оказывал на них давления, примером служил сам образ жизни отца. При всей своей занятости он ходил с детьми в туристические походы, учил их плавать и бегать на лыжах, прививал интерес к науке, природе, жизни. Маленьким он читал книги, сочинял для них стихи и сказки, учил играть в шахматы. А еще вырезал из дерева ложки и забавные фигурки. Но, видимо, главное - передавал детям, да и не только детям, свой оптимизм, жизнерадостность, увлеченность и доброжелательность к людям.

Дальше

Оглавление

Литература

---

При любезном содействии авторов публикуется по изданию
Б.М. Писаревский, В.Т. Харин, "Беседы о математике и математиках",
Изд. "Нефть и газ", М., 1998 г., 185 стр.

---

---