ТРУДНОЕ РОЖДЕНИЕ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ПОЧЕМУ КОНСТРУКЦИИ ВЫДЕРЖИВАЮТ НАГРУЗКИ,
или
упругость твердых тел
Давайте начнем с самого начала, с Ньютона, который сформулировал основной закон механики: действие равно противодействию
по величине и противоположно ему по направлению. Это означает, что
каждая сила должна быть сбалансирована точно такой же по величине силой
противоположного направления. При этом природа сил не имеет никакого значения.
Например, сила может быть создана каким-либо неподвижным грузом. Предположим,
я стою на полу, мой вес 75 кг. Следовательно, мои подошвы давят на пол
с силой 75 кг, которая направлена вниз; это дело моих ступней. В то же
самое время пол должен давить на мои подошвы с той же силой 75 кг, направленной
вверх; эта сила исходит от пола. Если доски пола окажутся подгнившими и
не смогут обеспечить силу 75 кг, я неминуемо провалюсь. Но если каким-то
чудом пол сообщит мне силу, большую, чем та, которую требовал мой вес,
скажем 75,5 кг, то я - ни много ни мало - взлечу.
Дж. Гордон. "Почему мы не проваливаемся сквозь пол"
|
Мы могли бы начать с вопроса: как получается, что любое неодушевленное твердое тело - из стали, камня, дерева или пластмассы - вообще способно оказывать сопротивление механической силе или хотя бы выдерживать свой собственный вес. Это, в сущности, задача о том, "почему мы не проваливаемся сквозь пол", и ответ на нее вовсе не очевиден. Он лежит в основе целой науки о конструкциях, и здесь есть над чем подумать. Так или иначе, но эта проблема оказалась слишком трудной для Галилея, и честь первым ее понять принадлежит столь придирчивому человеку, как Роберт Гук (1635-1702).
В первую очередь Гук понял, что в тех случаях, когда материал или конструкция оказывает сопротивление действию нагрузки, это возможно только за счет их ответного действия на тело, создающее эту нагрузку, с силой, равной по величине и противоположной по направлению. Если ваши ноги давят на пол вниз, то пол должен давить на ваши ноги вверх. Если кафедральный собор давит вниз на свое основание, то основание должно давить вверх на собор. Это подразумевается в третьем законе Ньютона, который, напомним, гласит, что действие и противодействие равны по величине и противоположны по направлению.
Другими словами, сила не может исчезнуть просто так. Всегда и во всех случаях каждая сила должна быть уравновешена другой силой, равной ей по величине и противоположной по направлению, в каждой точке конструкции. Это справедливо для любых конструкций независимо от того, малы ли они и просты или велики и сложны. Это справедливо не только для полов и соборов, но и для мостов и самолетов, воздушных шаров и мебели, львов и тигров, капусты и земляных червей. Если это условие нарушено, то есть если где-то нарушено статическое равновесие, то либо конструкция развалится, либо она должна взлететь подобно ракете и исчезнуть из поля зрения. (Нередко последнее скрыто следует из ответов будущих инженеров на экзаменах.)
Представим на минуту простейшую из возможных конструкций. Предположим, что мы подвешиваем с помощью веревки груз, например обыкновенный кирпич, к опоре, которой может быть ветка дерева (рис. 1). Вес кирпича, как и вес ньютоновского яблока, обусловлен воздействием гравитационного поля Земли на его массу, и сила веса всегда направлена вниз. Кирпичу не суждено упасть, если его удерживает в воздухе постоянно действующая сила, равная по величине его весу и направленная вверх - в данном случае натяжение веревки. Если веревка слишком слаба и не может создать направленную вверх силу, равную весу кирпича, то она неминуемо оборвется и кирпич упадет на Землю, как упало ньютоновское яблоко.
Рис. 1. Направленная вниз сила веса кирпича
должна быть уравновешена
равной по величине и противоположной по направлению
силой натяжения веревки
Но если веревка достаточно крепкая и на нее можно подвесить не один, а два кирпича, то она должна создать вдвое большую силу вверх, которой будет достаточно, чтобы удержать оба кирпича. То же самое справедливо и для любых других изменений нагрузки. Кроме того, нагрузка - это не всегда обязательно "мертвый" вес, подобный нашему кирпичу; всякой силе, например напору ветра, должно быть оказано такое же противодействие.
Если кирпич подвешен к ветке дерева, то груз удерживается за счет растяжения веревки, другими словами, за счет натяжения. Во многих конструкциях, таких, как здания, нагрузка выдерживается за счет сжатия, давления. И в том и в другом случае общий принцип не меняется. Таким образом, всякая конструкция, предназначенная для выполнения определенных функций, то есть должным образом выдерживать нагрузку, чтобы не происходило ничего непредвиденного, должна суметь каким-либо образом создать давление или натяжение, в точности равное по величине и противоположное по направлению приложенной к ней силе. Иначе говоря, конструкция должна оказывать сопротивление всем возможным внешним натяжениям и давлениям посредством ответных растяжений и сжатий нужной величины.
Все это очень хорошо, и не составляет особого труда понять, почему нагрузка сжимает или растягивает конструкцию. Но гораздо сложнее представить себе, как конструкция должна в ответ давить на тело, создающее нагрузку (или растягивать его). Случается, об этой проблеме подозревают совсем маленькие дети.
- Да не тяни же кошку за хвост!
- Я не тяну, мама, тянет Пусси.
В случае с кошкиным хвостом противодействие создано биологическими процессами в мышцах кошки, развивающих усилие, противоположное усилию, которое создают мышцы ребенка, но этот вид активного мышечного противодействия не является, конечно, ни очень распространенным, ни необходимым.
Если бы кошкин хвост оказался закрепленным на чем-то неживом, например был привязан к стене, то "тянуть" должна была бы стена; создает ли сопротивление тянущему ребенку кошка (активно) или стена (пассивно), безразлично как для ребенка, так и для хвоста (рис. 2).
Но как неживой, пассивный предмет, такой, как стена или веревка, кость, стальная балка или собор, может создавать необходимые силы противодействия?
Рис. 2.
а. - Да не тяни же кошку за хвост! -
Я не тяну, мама, тянет Пусси.
б. Пусси ли тянет или нет, значения
не имеет.
Закон Гука, или упругость твердых
тел
Сила любого упругого тела находится в постоянном отношении с удлинением, поэтому если одна сила растягивает или изгибает его на определенную величину, то две силы будут изгибать его на две такие величины, три - на три и так далее. И это есть Правило, или Закон, Природы, в соответствии
с которым и происходят все виды Восстанавливающего, или Упругого, движения.
Роберт Гук
|
Уже в 1676 г. Гук ясно понимал не только то, что сопротивление твердых тел силам веса или другим механическим нагрузкам создается посредством сил противодействия, но и то, что, во-первых, под механическим воздействием всякое твердое тело меняет свою форму, растягиваясь или сжимаясь, а во-вторых, именно это изменение формы и позволяет твердому телу создавать силу противодействия.
Когда мы на конец веревки подвешиваем кирпич, веревка удлиняется, и
как раз это удлинение и позволяет веревке тянуть кирпич вверх и удерживать
его от падения. Все материалы и конструкции, хотя и в очень различной степени,
под действием нагрузки испытывают смещения (рис. 3).
 |
Рис. 3. Все материалы
и конструкции, хотя и в весьма различной степени, под действием нагрузки
испытывают смещения. Теория упругости - это наука о соотношениях между
нагрузками и перемещениями в твердых телах. Под действием веса обезьяны
материал ветки растянут у ее верхней поверхности и сжат у нижней. |
Важно осознать, что возникновение смещений в любой и каждой конструкции вследствие действия нагрузки является совершенно нормальным. Если эти смещения не слишком велики с точки зрения целей, которым служит конструкция, их возникновение - отнюдь не "дефект" в том или ином смысле, а важное свойство, без которого ни одна конструкция не могла бы работать. Теория упругости - это наука о соотношениях между силами и смещениями в материалах и конструкциях.
Хотя под действием веса или других механических сил все твердые тела
в той или иной степени деформируются, величины смещений, которые встречаются
на практике, могут изменяться в огромных пределах. Так, в растении, куске
резины смещения, как правило, велики и их легко наблюдать, а в случаях,
когда мы прикладываем обычные нагрузки к таким твердым веществам, как металл,
бетон или кость, смещения на самом деле иногда оказываются очень малыми.
Хотя такие перемещения
часто бывают далеко за пределами возможностей невооруженного глаза,
они существуют всегда и совершенно реальны, даже если для их измерения
требуются специальные приборы. Если вы взберетесь на колокольню кафедрального
собора, в результате добавления вашего веса он станет ниже, пусть на весьма
малую величину, но действительно ниже. Каменная кладка на самом деле оказывается
более гибкой, чем можно было бы предполагать. Вы можете убедиться в этом,
посмотрев на четыре главные колонны, поддерживающие колокольню собора в
Солсбери: все они заметно изогнуты (рис. 4).
 |
Рис. 4. Каждая из
четырех колонн, поддерживающих 120-метровую башню собора в Солсбери, заметно
изогнута. Каменная кладка является намного более гибкой, чем обычно думают. |
Далее Гук пришел к важной мысли, воспринять которую некоторым трудно даже сегодня. Он понял, что под действием нагрузки смещения, о которых мы говорили выше, возникают не только во всякой конструкции, но и в самом материале, из которого она сделана. Он "внутренне" растягивается или сжимается в каждой своей части в соответствующей пропорции вплоть до очень малых размеров - до молекулярных размеров, как мы знаем сегодня. Так, при деформации ветки или стальной пружины, например при сгибании их, атомы и молекулы, из которых состоит вещество, в зависимости от того, растянут или сжат материал как целое, должны отодвинуться друг от друга или, наоборот, приблизиться друг к другу.
Как мы также знаем сегодня, химические связи, соединяющие атомы один
с другим и удерживающие таким образом вместе части твердого тела, являются
очень прочными и жесткими. Так что, растягивая или сжимая материал как
целое, мы "растягиваем" или "сжимаем" многие миллионы прочных химических
связей. Но последние оказывают мощное сопротивление даже весьма малым деформациям,
что и создает требуемые большие силы противодействия (рис. 5).
 |
Рис. 5. Упрощенная модель межатомных связей
в твердом теле при деформировании.
а - исходное недеформированное состояние;
|
Несмотря на то что Гук ничего не знал в деталях о химических связях и не очень-то многое знал об атомах и молекулах, он хорошо понимал, что в тонкой структуре вещества происходит нечто подобное, и вознамерился установить, в чем состоит природа макроскопической связи между силами и смещениями в твердых телах. Он проделал множество опытов с самыми разными, предметами из самых разных материалов различной геометрической формы. Здесь были и пружины, и куски проволоки, и балки. Последовательно подвешивая на них грузы и измеряя возникающие смещения, Гук показал, что в любой конструкции смещение обычно пропорционально нагрузке. Так, нагрузка в 100 кгс вызывает смещение, вдвое больше, чем нагрузка в 50 кгс, и т. д.
Кроме того, в пределах возможной для измерений Гука точности, которая не могла быть очень высокой, большинство твердых тел после снятия нагрузки, вызывавшей смещения, восстанавливало свою первоначальную форму. Многократно нагружая и разгружая такого типа конструкции, он установил, что после снятия нагрузок остаточных изменений их формы не происходит. Такое поведение называется упругим и является совершенно обычным. Слово "упругий" нередко ассоциируется с бельевой резинкой или изделиями из эластика, но в равной мере оно применимо и к стали, камню и кирпичу, к веществам биологического происхождения, таким, как дерево, кость или сухожилие. Именно в этом более широком смысле его обычно и употребляют инженеры. Между прочим, комариный писк порождает высокая упругость "пружинок", управляющих крылышками комара.
В то же время форма некоторых твердых и "почти твердых" тел, таких, как замазка, пластилин, полностью не восстанавливается, они остаются деформированными и после снятия нагрузки. Такое поведение называется пластическим. Этот термин относится не только к материалам вроде тех, которые идут на изготовление пепельниц, но также и к глине, к мягким металлам. Свойствами пластичности обладают, например, и сливочное масло, и овсяная каша, и патока. Многие из тех материалов, которые Гук считал "упругими", при более точных современных методах исследования таковыми не оказываются. но все же как широкое обобщение выводы Гука остаются справедливыми, именно они легли в основу современной теории упругости. Мысль о том, что большая часть материалов и конструкций - не только детали механизмов, мосты и здания, но также и деревья, животные, горы и скалы и "все сущее" вокруг - ведет себя подобно упругим пружинам, сегодня может показаться довольно простой и, возможно, вполне очевидной, однако, как видно из дневников Гука, такой прыжок по пути к истине стоил ему больших умственных усилий и многих сомнений. Возможно, это один из самых больших подвигов мысли в истории.
Обсудив свои идеи с сэром Кристофером Реном * в нескольких частных беседах, Гук в 1679 г. опубликовал результаты своих экспериментов. Статья называлась "Сила сопротивления, или упругость". Именно в ней впервые прозвучало знаменитое утверждение "ut tensio sic vis" - "каково растяжение, такова и сила". Вот уже триста лет этот прицип известен как закон Гука.
* Кристофер Рен - выдающийся английский архитектор и ученый. В 1681-1683 гг.- президент Лондонского королевского общества. - Прим. nepeв.
Как теория упругости застыла на
месте
| Но стать врагом Ньютона было роковым шагом:
ведь Ньютон был непримирим независимо от своей правоты. Маргарет Эспинас. "Роберт Гук" (Хайнеман,
1956)
|
Если мы задумаемся на мгновение, то поймем, что величины смещений зависят от двух факторов - от размеpa и геометрической формы конструкции и от материала, из которого конструкция сделана. Материал от материала очень сильно отличается присущей ему жесткостью. Такие материалы, как резина или мягкие животные ткани, деформируются под действием столь малых сил, как нажатие пальцем. В то же время жесткость дерева, кости, камня, большинства металлов гораздо выше, н хотя абсолютно "твердых" материалов в природе не существует, некоторые твердые тела, подобные сапфиру н алмазу, являются весьма жесткими.
Пусть два предмета, например два обычных промывочных ерша одной и той же формы и размера, сделаны из стали и резины. Очевидно, что стальной ерш будет гораздо (примерно в 30 000 раз) более жестким, чем резиновый. С другой стороны, если мы из одного и того же материала, например стали, сделаем тонкую спиральную пружину и толстую массивную балку, то пружина, естественно, будет намного более гибкой, чем балка. Упомянутые два фактора, определяющие жесткость конструкции, необходимо уметь отличать друг от друга и оценивать вклад каждого, поскольку в инженерном деле, как и в биологии, мы постоянно имеем дело с изменениями обоих факторов.
Достойно удивления, что после столь многообещающего старта на протяжении 120 лет после смерти Гука наука так и не нашла путей, чтобы справиться с этой проблемой. В действительности XVIII столетие на удивление мало продвинуло изучение упругости. Причин на это, несомненно, было много, но в общем можно сказать, что если ученые XVII в. рассматривали свою науку в тесной связи с прогрессом техники - такое понимание целей науки для того времени было почти откровением,- то большинство ученых XVIII в. считали ниже достоинства мыслителя задачи промышленности и торговли. Это был явный возврат к прошлому, к древнегреческому взгляду на науку. Закон же Гука уже давал общее философское объяснение довольно широкому кругу явлений, - объяснение, вполне достаточное с точки зрения джентльмена-философа, не очень интересующегося техническими деталями.
И тут мы не можем обойти молчанием такое обстоятельство, как влияние личности Ньютона (1643-1727), и не сказать о последствиях жестокой вражды, существовавшей между Ньютоном и Гуком. Гук, вероятно, был не менее талантлив, чем Ньютон, и, определенно, более обидчив и тщеславен, чем он, но в остальных отношениях это были люди совершенно различных темпераментов и интересов. Довольно скромное происхождение не мешало Ньютону быть снобом, а Гуку при отсутствии снобизма - личным другом Карла II.
В отличие от Ньютона Гук принадлежал к типу "земных" людей, его занимали задачи практического характера, касающиеся упругости, пружин, часов, зданий, микроскопов и даже анатомии обычной блохи. Среди изобретений Гука, применяющихся и поныне, - универсальное соединение, используемое в передачах автомобиля, и ирисовая диафрагма, используемая в большинстве фотокамер. Его лампа для экипажей, в которой пламя сгорающей свечи удерживается в центре оптической системы с помощью специальной пружины, вышла из широкого употребления только в 20-е годы нашего века. Но и сейчас еще такую лампу можно увидеть у парадного подъезда. Что касается частной жизни, то Гук грешил больше своего друга Сэмюеля Пепса *, как говорится, не пропуская ни одной служанки.
* С. Пепс - видный чиновник военно-морского ведомства; с 1684 г. - секретарь Адмиралтейства и президент Лондонского королевского общества. Знаменитые дневники Пепса, не предназначавшиеся для постороннего глаза и опубликованные впервые 150 лет назад, рисуют живую и откровенную картину общества и нравов того времени. - Прим. перев.
Взгляд Ньютона на мир был, возможно, шире, но его интересы в науке лежали значительно дальше от практики. Подобно интересам многих академических ученых меньшего масштаба, их можно было бы во многих случаях охарактеризовать как "антиутилитарные". Однако это не помешало Ньютону занять должность директора монетного двора. Хотя, по-видимому, здесь сыграла роль не столько склонность заниматься прикладными науками, сколько желание иметь правительственную должность, что по тем временам давало значительно более высокое общественное положение, чем кафедра в Тринити-колледже, не говоря уже о жалованье. Немало времени Ньютон потратил и на размышления теологического порядка. Я думаю, что у него не было склонностей да и времени для плотских радостей.
Короче говоря, Ньютон был в немалой степени предрасположен к тому, чтобы питать отвращение к Гуку как к человеку и ко всему, что тот отстаивал, включая и теорию упругости. Так случилось, что после смерти Гука Ньютону довелось прожить еще 25 лет, и значительную часть этого времени он посвятил очернению памяти Гука и прикладных наук. А поскольку авторитет Ньютона в научном мире был непререкаем и его точка зрения совпадала с общественным настроением и интеллектуальными течениями того времени, такие дисциплины, как расчет конструкций, не обрели популярности в течение многих лет даже после смерти Ньютона.
Таким образом, в течение всего XVIII в. сохранялось такое положение, при котором, несмотря на то, что принцип сопротивления материалов был в самом общем виде объяснен Гуком, его труды и дела не имели последователей. При таком состоянии дел какие-либо расчеты для практических целей были едва ли возможны.
Следовательно, пользы от того, что существовали представления об упругости,
для инженерных целей почти не было. Французские инженеры XVIII в. отдавали
себе в этом отчет и с сожалением создавали конструкции (которые довольно
часто разваливались) с помощью той теории, которая имелась в их распоряжении.
Английские же инженеры, которые также понимали это, обычно были безразличны
к "теории", и конструкции промышленной революции создавались кустарными
методами. Они разрушались, может быть, чуть реже французских.
