VIVOS VOCO: Б.М. Болотовский, "Оливер Хевисайд"

Годы жизни в Пэйнтоне были для Хевисайда очень продуктивны. Он много работал и много сделал. Несомненно, что это была пора его творческого подъема. Но есть и другая не менее важная причина, которая объясняет успешную научную работу Хевисайда в этот период. Он был окружен заботами любящей матери, она и отец избавляли Оливера от всех дел, которые могли бы отвлечь его от науки. Он полноценно отдыхал, много ходил по окрестностям городка, совершал велосипедные прогулки, много времени проводил с детьми своего брата Чарлза, играл с ними, шутил и был счастлив. Жизнь в кругу семьи почти полностью удовлетворяла потребность Хевисайда и человеческом общении. Он по натуре был нелюдим и скорее избегал людей, чем тянулся к ним. Приезжал изредка доктор Сил. Они подружились, часто обменивались письмами, но виделись в течение нескольких дней в году.

В 1894 г. вышло из печати второе издание книги Рэлея "Теория звука". Это издание порадовало Хевисайда в двух отношениях. Во-первых, в предисловии к первому тому Рэлей высказал свое отношение к тем ревнителям математической строгости, которые требовали соблюдения ее в полном объеме даже в теоретической физике. Это высказывание Рэлея мы привели, когда рассказывали о споре Хевисайда со строгими математиками. Хевисайд придерживался по этому вопросу точно таких же взглядов, как и Рэлей. Это место из предисловия и, в частности, слова Рэлея о том, что исследователю-физику "более строгий образ действий чистого математика может показаться не более, а менее доказательным", Хевисайд впоследствии привел во втором томе "Электромагнитной теории" в том месте, где обсуждал вопрос о роли математики в физике.

И еще одно обстоятельство порадовало Хевисайда. Рэлей включил во второе издание своей книги большую главу "Электрические колебания". Глава эта во многом была построена на результатах, полученных Хевисайдом. А в самом начале главы Рэлей отметил роль Хевисайда в развитии волновой электродинамики. Рэлей писал:

"Введение телефона в практическое употребление и разнообразные его применения в научных экспериментах приводят к тому, что переменные электрические токи включаются в рамки акустики. Это налагает на нас обязанность показать, каким образом общие принципы, изложенные в настоящем труде, могут быть наилучшим образом применены к разрешению возникающих задач. Разумеется, учение об электричестве дает такие прекрасные примеры, что выше мы не могли удержаться от изложения некоторых из них. В нижеследующем, впрочем, придется предполагать знакомство читателя с элементами теории электричества и в значительной мере воздержаться от рассмотрения применений к колебаниям чрезвычайно высокой частоты, подобных тем, которые в последнее время получили столь большое значение в связи с исследованиями Лоджа и Герца. В трудах этих физиков, а также в трудах Дж.Дж. Томсона и Хевисайда читатель найдет необходимые сведения об этой стороне предмета".

Здесь Рэлей говорил не только о том, какие вопросы будут рассматриваться в главе "Электрические колебания", но главным образом о том, какие вопросы теории электричества остаются за рамками главы. Эти не затронутые в главе вопросы Рэлей советовал изучать по трудам Лоджа, Герца, Дж.Дж. Томсона и Хевисайда. Но и в тех вопросах, которые разбирались в главе, трудам Хевисайда было полностью отдано должное. Рассматривая протекание переменных токов в цепи, содержащей омическое сопротивление, емкость и индуктивность, Рэлей широко использовал результаты, полученные Хевисайдом в работе "Об операторах сопротивления и проводимости". Теперь эти результаты входят во все учебные курсы теории электричества, как общие, так и специальные, но в отличие от Рэлея никто из авторов, приводя выражения для импеданса цепи при переменном токе, не ссылается на Хевисайда.

Рэлей отметил также работу Хевисайда "О самоиндукции проводов" в связи с рассмотрением схемы типа мостика Уитстона на переменных токах (Хевисайд называл такую схему индуктивным мостиком). Дело в том, что при прохождении переменного тока по такой цепи баланс может быть определен лишь при учете не только омического, но и индуктивного сопротивления ветвей. В свою очередь, такая схема позволяет определять как омическое, так и индуктивное сопротивление исследуемых проводников. Хевисайд в своих работах подробно исследовал эти вопросы, причем не только теоретически. В своей лаборатории (он тогда еще жил в Лондоне) Хевисайд собрал индуктивный мостик и использовал его при экспериментальном определении индуктивности.

Рассматривая распределение переменного тока по сечению проводника, а также распределение электромагнитного поля в массе проводящего сердечника. Рэлей использовал результаты Хевисайда н отметил его приоритет.

Рэлей изложил далее теорию Кельвина. описывающую распространение сигнала по кабелю. Мы уже говорили, что в этой теории учитываются лишь два параметра линии - емкость и сопротивление, а индуктивность и утечка не принимаются во внимание. По теории Кельвина, волна определенной частоты, идущая по кабелю, затухает, причем затухание зависит от частоты, т.е. волны разных частот затухают по-разному. Для того чтобы оценить затухание сигнала по теории Кельвина. Рэлей рассмотрел близкий к реальности пример. Он выбрал волну с частотой ~600 Гц, попадающей в интервал частот человеческой речи. Таким образом, в примере, рассмотренном Рэлеем, речь шла о том, возможна ли и на какое расстояние возможна телефонная связь, если исходить из теории Кельвина. Параметры кабеля Рэлей взял такие, какими обладал кабель, проложенный через Атлантический океан. Оказалось, что в таком кабеле волна с выбранной звуковой частотой затухает и амплитуда волны уменьшается примерно в три раза на пути около 20 миль.

"Таким образом, - пишет Рэлей, - уже на расстоянии в 20 миль сила звука, пропорциональная квадрату амплитуды, падает приблизительно до 1/10; очевидно, это расстояние не может быть увеличено во много раз без того, чтобы звук стал совершенно неслышимым. При использовании подобного кабеля предельное расстояние, по-видимому, не превысит 50 миль, в особенности если учесть, что разборчивость речи требует наличия в передаче еще более высоких тонов, чем взятый в приведенном частном примере".

К такому неутешительному результату приводила теория Кельвина. Таков же, до существу, был и приведенный нами безнадежный прогноз Блэйксли.

Дальше Рэлей переходит к изложению результатов Хевисайда:

"В приведенной теории предполагалось, что изоляция совершенна и что можно пренебречь самоиндукцией. Возможно, что кабель в достаточной степени удовлетворяет этим условиям. Однако в других телефонных линиях самоиндукция имеет большое значение. Эта задача была рассмотрена с полной общностью Хевисайдом, однако рамки нашей книги позволяют привести лишь самое беглое описание его исследования".

И дальше:

"Пожалуй, можно было бы думать, что конечная утечка... всегда будет влиять как усложнение: однако Хевисайд показал, что можно устроить так. что она будет упрощать дело".

Рэлей рассматривает случай, когда выполняется условие Хевисайда (произведение утечки на самоиндукцию равно произведению емкости на сопротивление). При этом сигнал по линии идет без искажений, хотя, конечно, с ослаблением. Рэлей пишет, что этот случай замечателен сам по себе и проливает свет на общую задачу.

Интересно отметить, что, излагая теорию прохождения сигнала по кабелю, Рэлей приводит дословно довольно большие выдержки из опубликованных работ Хевисайда. В двухтомной "Теории звука" это, пожалуй, единственное место, где автор излагает проблему словами другого автора. Стиль Рэлея является образцом ясности и систематичности, и все же вопрос о передаче сигнала по кабелю Рэлей изложил словами Хевисайда. Это была дань Рэлея тому артистизму, который был характерен для манеры изложения Хевисайда. Приводя большие отрывки из работы Хевисайда, Рэлей считал, что трудно написать об этом лучше. Вот вам и непонятный и трудный Хевисайд!

В 1894 г. умерла мать Хевисайда Речел-Элизабет. Тяжелее всего эту потерю восприняли Оливер и его отец. Томас Хевисайд прожил с Речел более пятидесяти лет, они пережили вместе и горести и радости, подняли на ноги детей. Старшие дети разъехались, у них уже давно были свои семьи, и последние годы старики жили вместе с младшим сыном Оливером. Мать любила его, жалела, потому что у него был трудный характер, мало друзей, он не ухаживал за девушками, не женился, не завел своей семьи. Но она гордилась своим младшим сыном, она знала, что он был выдающимся ученым - ведь он был избран членом королевского общества, он получал множество писем, и среди тех, кто ему писал, были многие великие люди. Даже далекая от науки Речел-Элизабет знала имена Уильяма Томсона (лорда Кельвина), Генриха Герца, Джона Уильяма Стретта (лорда Рэлея). Выходили книги, написанные ее сыном, и она держала эти книги в руках, перелистывала их, ничего в них не понимая, и еще больше гордилась своим сыном.

Ее старший сын Артур Уэст был выдающимся телеграфным инженером, и он не раз говорил матери, что никто в Англии и в целом мире не знает телеграф и телефон так, как Оливер. Мать еще в Лондоне старалась создать Оливеру такие условия, при которых ничто не могло бы отвлечь его от работы. Когда он работал в своей комнате в доме на Огестайнс Роуд, мать приносила еду и оставляла ее за дверью, чтобы не беспокоить Оливера. Но иногда она заглядывала в комнату и говорила: "Оливер, тебе надо поесть". "Спасибо, мама, не сейчас", - говорил Оливер недовольно. В комнате стояла страшная жара и духота. Окна были закрыты, топилась печь, горела керосиновая лампа. Мать тихо закрывала дверь и шла к себе, удивляясь, как можно заниматься в таких условиях.

Потом они переехали из Лондона в Пэйнтон, и там Оливер стараниями матери был избавлен от всех забот, не связанных с наукой. И, что самое главное, у Оливера была семья. Со смертью матери положение менялось. Они остались вдвоем с отцом. Отец тяжело переживал смерть жены, кроме того, он болел и недолго прожил после того, как Речел-Элизабет отправилась в последний путь. В 1896 г. скончался и Томас Хевисайд. Оливер остался один. Рядом, правда, была семья его брата Чарлза, и Оливер, по-видимому, если бы захотел, мог жить с ней. Но он не захотел. Он предпочитал жить один.

В следующем 1897 г. Оливер переехал в дом, который он снял в городе НьютонЭббот, недалеко от Пэйнтона и Торки. Дом, который снял Оливер, назывался Брэдли Вью. Брат Чарлз жил со своей семьей в городе Торки, в 5-6 милях от Брэдли Вью. Все эти три города - Пэйнтон, Торки и Ньютон Эббот - расположены в графстве Девоншир на южном побережье Англии, Торки и Пэйнтон - прямо на берегу пролива Ла-Манш, а Ньютон Эббот - недалеко от побережья. Места эти в то время были очень живописные, зеленые, и многие жители из других мест Англии приезжали сюда на отдых. Вместе с Хевисайдом в Брэдли Вью жила экономка, пожилая женщина, которая еще в Пэйнтоне помогала его родителям. В начале 1899 г. экономка заболела и оставила Оливера. С того времени он жил совершенно один, если не считать редких гостей, одним из которых был доктор Сил. Он много работал, но, конечно, у него много времени отнимали домашние заботы, которые теперь всецело легли на его плечи.

* * *

В 1893 г. вышел из печати второй том "Электромагнитной теории". Этот том содержит работы Хевисайда, выполненные и опубликованные за пять с лишним лет, с 1893 по 1898 г. Том этот написан по тому же плану, что и первый том. Некоторые разделы книги представляют собой статьи, опубликованные Хевисайдом в научной печати. Другие разделы написаны специально для книги. Они поясняют и развивают уже опубликованные статьи и, кроме того, делают изложение более связным, как бы перекидывают мостики между опубликованными статьями.

По своему объему второй том "Электромагнитной теории" примерно равен первому тому, но следует иметь в виду, что на создание второго тома потребовалось приблизительно вдвое больше времени, чем на создание первого. Мы знаем причину. Хевисайду было трудно работать, потому что ему приходилось самому о себе заботиться.

Что же удалось сделать Хевисалду за время, прошедшее после выхода в свет первого тома?

Пожалуй, про второй том "Электромагнитной теории" можно сказать, что это прекрасная иллюстрация того, что понимал Хевисайд под словами "физическая математика". В этом томе наряду с рассмотрением важных вопросов электромагнитной теории разбираются и эффективные математические методы, разработанные Хевисайдом, в первую очередь его операционное исчисление. Математическим методам в этом томе уделяется не меньше места, чем физическим проблемам.

В наше время операционное исчисление преподается во всех технических учебных заведениях, в программу которых входит электротехника. Но современное операционное исчисление сильно отличается от того, которое изложено во втором томе "Электромагнитной теории". В настоящее время операционное исчисление строится на базе интегрального преобразования Лапласа (или Фурье). Искомая функция представляется в виде интеграла по некоторому определенному пути от некоторой другой функции, которая однозначно связана с искомой и называется ее изображением. При этом соответствии оказывается, что дифференциальному уравнению для искомой функции соответствует более простое уравнение для ее изображения. Поэтому изображение сравнительно легко можно найти, а затем по изображению восстановить искомую функцию. Хевисайд действовал совсем не так. Он совсем не использовал представления функции в виде интеграла. Поясним его образ действия примером.

Пусть имеется дифференциальное уравнение первого порядка для функции ¦: d¦/dt = 1(t), где 1(t) - функция Хевисайда *.

* Мы придерживаемся здесь обозначений, введенных Хевисайдом. Сейчас эта функция в честь Хевисайда обозначается Н(t).

Она равна нулю при всех отрицательных t и равна 1 при всех положительных t. Можно представить себе, что функция ¦(t) - это скорость частицы, а 1(t)- действующая на частицу сила. Масса частицы равна 1. Пусть частица до начала действия силы покоилась, ¦(t <0) = 0. Тогда решение, как мы знаем, имеет вид

¦(t) = t (t > 0).

Это означает, что скорость растет линейно. Теперь обозначим операцию дифференцирования по времени d/dt через р. Уравнение для ¦ запишется в виде

p¦ = 1(t),

а решение этого уравнения

¦ = p^-11(t).

Но, с другой стороны, мы уже получили, что ¦(t) = t (t > 0).

Сравнивая эти два равенства, видим, что

p^-11(t) = t,

причем это равенство справедливо при всех положитель ных t. Действуя аналогично, можно найти, что

p^-21(t) = t²/2,

причем и это равенство справедливо при всех положительных t. Действуя таким путем, легко найти функцию p^-n1(t) для всех целых и положительных значений n.

p^-n1(t) = tⁿ/n!

Теперь, если имеется какое-нибудь линейное дифференциальное уравнение

L(p)¦ = 1(t),

где L(p) - некоторый линейный дифференциальный оператор, то мы формально можем написать решение ¦ = L^-1(р) 1(t).

Если выражение1/L(p) разлагается по целым степеням р, мы можем записать решение в виде ряда, поскольку мы знаем, как действует 1/pⁿ. на функцию Хевисайда 1(t). Если в разложении встречаются дробные степени р, нужно знать, какой результат получается при действии каждого из этих слагаемых на 1(t). Хевисайд, зная заранее решение некоторых линейных уравнений, получил путем сравнения выражения для р^-n1(t) при некоторых дробных значениях n. Это позволило ему получить с помощью операционного исчисления решение целого ряда проблем, важных как в теоретическом, так и в прикладном отношении.

Форма операционного исчисления, развитая Хевисайдом, - это, так сказать, инвариантная форма, не зависящая от системы функций, по которой проводится интегральное разложение.

Если кратко подытожить сказанное, то можно сказать, что операционное исчисление Хевисайда приводило к получению решения в виде

(1/L(p))1(t) = L^-1(р) 1(t),

где L(p) - некоторая функция от оператора дифференцирования по времени р = d/dt. Далее функция L^-1(р) разлагалась в ряд по степеням р (целым пли дробным) и вычислялся результат от воздействия каждого члена этого ряда на функцию 1(t). Потом все слагаемые суммировались, полученная сумма и представляла собой решение.

Разложение функций в ряд, затем почленное операционное преобразование ряда, а затем его суммирование Хевисайд проводил с большим искусством. При этом он, по мнению строгих математиков, нарушал все правила, по которым проводится разложение функций в ряды. Действительно, если разложить функцию 1/L(p) в ряд по степеням р, то невозможно даже оценить сходимость полученного ряда, потому что р - это не число, а операция дифференцирования. Но даже если считать р простым числом, то и тогда нередко оказывалось, что Хевисайд разлагал функцию в расходящийся ряд, а это было по тогдашним математическим канонам совершенно недопустимо. Математики. рецензировавшие работы Хевисайда (в основном это были математики из Кембриджа), неизменно давали отрицательные отзывы на его работы, на методы разложения в ряды и суммирование рядов и вообще на операционное исчисление в целом. Это вызывало горькие ответные замечания со стороны Хевисайда. Вот образчики этих замечаний из второго тома "Электромагнитной теории":

"Давайте прежде всего постараемся быть справедливыми. Даже кембриджские математики заслуживают справедливости. Я не могу присоединиться к общим нападкам на них. Я сам крайне сожалею, что не имею кембриджского образования, а вместо этого потратил несколько лет моей жизни всего лишь на тяжелую, нудную работу или на немногим большее. Именно кембриджским математикам мы обязаны за большую часть математико-физических исследований, выполненных в этой стране.
Разве не из Кембриджа вышло подавляющее большинство специалистов по математической физике? Разве Томсон и Тэт, Максвелл и Рэлей - это не кембриджские математики, не говоря уже о большом количестве других, по большей части молодых людей, чьи имена мы еще узнаем?
В этом деле, как и во многом другом, нужно принимать хорошее вместе с плохим; и хотя можно выдвинуть разумные и серьезные возражения против вызывающего огорчение и надрывающего сердце стиля работы некоторых кембриджских математиков, а также против существующей склонности к неоправданному консерватизму (склонность к сохранению плохого, как и хорошего, и сопротивление всем нововведениям), мы все должны не упускать из вида большой объем и большое значение выполненной ими работы, должны избегать несправедливого принижения и обидных сравнений.
Что же касается недостатка у них симпатии по отношению к людям, менее их соблюдающим условности, то неверно думать, что у них не хватает именно симпатии, - было бы, по-видимому, неразумно вообще предполагать какое бы то ни было наличие симпатии. Однако, то, на что мы имеем право, - это ждать справедливого отношения, чтобы отсутствие симпатии не выходило за пределы нейтрального состояния и чтобы не возникало ненужных препятствий. Потому что даже люди, которые не являются кембриджскими математиками, заслуживают справедливости, которую, как я очень опасаюсь, они не всегда получают, в особенности тихие и скромные люди, и те, кто долго был в пренебрежении [64].

В другом месте он писал: "Я не знаю, попадает ли хороший математик после смерти в Кембридж" [65]. (Это уже выдержка из третьего тома "Электромагнитной теории". Между выходом в свет второго и третьего томов "Электромагнитной теории" прошло более 12 лет. Но мы видим, что обида Хевисайда на кембриджских ревнителей строгости не утихла.)

Операционные методы Хевисайда позволяют в ряде случаев получать решение линейного дифференциального уравнения гораздо быстрее и проще, чем при использовании строго обоснованных методов. По этому поводу Хевисайд писал:

"Ортодоксальные математики, если они не могут найти решение в явном аналитическом виде, склонны искать спасение, написав определенный интеграл и назвав его решением. Конечно, это - одна из форм решения. Но может оказаться, что исследовать этот определенный интеграл столь же трудно или даже еще труднее, чем дифференциальное уравнение рассматриваемой задачи, поскольку трудно вычислить этот интеграл и найти, что означает решение. В таких случаях мы можем с равным успехом придерживаться дифференциального уравнения и будем столь же правы.
Так вот, мне стало известно, что один человек, который не является кембриджским математиком и который не претендует на то, чтобы считаться вообще математиком, но является практическим физиком и может обсуждать и выносить правильные суждения по такому вопросу, как возраст Земли... недавно сделал открытие, что один нестандартный метод математического рассмотрения задачи (этот метод был разъяснен ему мною) приводил его немедленно к точному решению его проблемы, буквально в нескольких строчках. В то же время с помощью обычно применяемых методов он мог бы проводить дни за днями, сидя над этой задачей, и не продвинуться дальше получения определенного интеграла, слишком сложного вида для того, чтобы его практически обсуждать или вычислить в явном виде" [66].

"Один человек", про которого говорит Хевисайд, - это профессор Джон Перри. Он один из первых убедился в эффективности операционного исчисления, причем в данном случае речь шла не о проблемах электродинамики, а о задаче из теории теплопроводности, а именно об остывании Земли и о связанной с этим возможностью определить возраст нашей планеты.

Применяя теорию теплопроводности Фурье к телам большого размера, лорд Кельвин [67] отметил возможность определить возраст Земли по ее остыванию. В то время были сведения, правда, очень скудные, которые позволяли судить о том, как меняется температура по мере углубления в земную толщу. Эти сведения давали представление о градиенте температуры вблизи от поверхности Земли. Отсюда с помощью теории теплопроводности можно было найти время, когда центр Земли был настолько горячим, что все известные элементы могли существовать только в газообразном состоянии. Идея такого определения, принадлежавшая лорду Кельвину, была очень красива, но результат оказался катастрофическим, по крайней мере для геологов и для большого числа последователей Дарвина и Гексли, т.е. для сторонников теории эволюции.

Лорд Кельвин получил, что возраст Земли заключен в пределах от десяти миллионов до пятидесяти миллионов лет. Этого времени явно мало как для образования современной геологической картины, так и для эволюции растительного и животного мира. Действительно, по современным воззрениям, только время, в течение которого ящеры господствовали на планете, составляет более 100 миллионов лет. По одной из гипотез, ящеры вымерли в результате похолодания, наступившего 75 миллионов лет назад. Время, в течение которого ящеры вымерли после периода холодов, оценивается в 10 миллионов лет. Уже эти данные говорят о том, что 50 миллионов лет для возраста Земли - слишком мало. Это - мгновение по масштабам времени эволюции.

Видный эволюционист профессор Гексли возражал Кельвину (хотя и довольно кротко), говоря, что в глубине Земли могут существовать неизвестные вещества и это может изменить результат Кельвина. Это его мнение было подтверждено открытием радиоактивных веществ, но Гексли не переспорил самого яркого представителя британской науки. Тогда в 1895 г. профессор Перри, близкий друг и Хевисайда и Кельвина (он был ранее ассистентом у лорда Кельвина) предложил Хевисайду рассмотреть уравнение Фурье для случая, когда следующие друг за другом слои земной породы имеют различную теплопроводность. Дело в том, что Кельвин в своей работе о возрасте Земли исходил из упрощенной модели. Он рассматривал полубесконечное тело с плоской границей. Теплоемкость и теплопроводность этого тела он считал однородными, а значения этих величин принял такими, какие существуют в земной коре. Далее, лорд Кельвин принял, что температура на границе такого тела поддерживается равной нулю, и рассмотрел остывание этого тела.

В отличие от Кельвина, Перри предположил, что теплоемкость и теплопроводность в глубине Земли имеют большее значение, чем на поверхности. Однако он не смог с помощью стандартных методов теории теплопроводности решить задачу об остывании неоднородного тела. Хевисайд легко решил эту задачу с помощью операционного исчисления. Он рассмотрел остывание слоистого тела и показал, что при некоторых разумных предположениях относительно теплоемкости и теплопроводности материала в слоях величина возраста Земли, определяемая по градиенту температуры, может оказаться в тысячу раз больше, чем оценка Кельвина. При этом не учитывалось возможное выделение тепла, происходящее при распаде радиоактивных элементов. По этому поводу Б.А. Беренд в своей статье "Труды Оливера Хевисайда" пишет:

"В дальнейшем сэр Эрнест Резерфорд и его школа еще увеличили эту оценку - во столько раз, сколько может понадобиться геологам или биологам для согласования с их теориями" [68].

Проблема возраста Земли сложнее и, конечно, не исчерпывается теми немногими сведениями, которые мы здесь привели. Для нас важно, что операционное исчисление, разработанное Хевисайдом, позволило легко получить решение такой задачи, решение которой стандартными методами потребовало бы значительно больших затрат сил и времени. И пускай операционное исчисление не получило признания со стороны "чистых" математиков. Оно зато было оценено практиками (практиками без кавычек, потому что слово "практик" для Хевисайда значило примерно то же самое, что "воинствующий невежда").

По поводу задачи об остывании Земли Хевисайд писал:

"Конечно, я испытал большое удовольствие, когда обнаружил, что рассматриваемый метод [речь идет об операционном исчислении. - Б.Б.], который провозглашает возможность получить решение в явном виде прямо из дифференциального оператора и, так сказать, вычислить определенный интеграл без необходимости его вычислять, что этот метод получил столь быстрое признание от практического физика. Конечно, у него нет предубеждений, вызванных требованием строгости, но он использует то, что находит полезным, как только он выясняет, как нужно делать... По этой причине я больше не буду колебаться, используя этот метод там, где будет нужно в дальнейшем, особенно в таких простых случаях, которые, как показывает этот пример, являются ясными и без большого труда могут быть усвоены практическими физиками и электриками, но не кембриджскими математиками консервативного толка, которые смотрят в зубы дареному коню и качают головами с мрачной улыбкой" [69].

Задача об остывании Земли составляет первую главу во втором томе "Электромагнитной теории" (нумерация глав во всех томах едина, поэтому второй том начинается с пятой главы). Содержание этой главы можно было бы считать отступлением от основной темы книги - какое отношение имеет теплопроводность к электромагнитной теории? Но следует иметь в виду, что во втором томе много места уделено развитию и приложению операционного исчисления, а решение задачи об остывании неоднородного тела - это очень убедительный пример могущества операционного исчисления. Кроме того, Хевисайд и в предыдущем томе не придерживался жестких рамок, ограничивающих изложение только вопросами электромагнитной теории. И, наконец, задача об остывании все же имеет отношение к дальнейшему содержанию второго тома. Следующая глава называется "Чистая диффузия электрического смещения". В ней рассматривается распространение сигнала в линии при пренебрежении индукцией. Мы знаем, что в этом случае уравнения, определяющие напряжение и ток в линии, совпадают с уравнением теплопроводности. Таким образом, и уравнения, и математические методы их рассмотрения в этих двух главах во многих отношениях одинаковы.

Глава "Чистая диффузия электрического смещения" занимает 240 страниц. Это богатейшее собрание физических задач и математических методов. Что касается физики, то рассматриваются самые разные линии в случае прохождения сигнала низкой частоты (для высокочастотных сигналов существенна самоиндукция и уравнение получается не такого вида, как уравнение теплопроводности). При этом отыскиваются решения для самых разных условий на концах линии (заданное сопротивление на конце линии, заданная емкость, замкнутый накоротко конец линии, заземленный конец линии и т.д.) и для самых разных начальных распределений тока и заряда в линии. Эти задачи очень важны для понимания процессов, происходящих в линиях связи.

С чисто математической точки зрения содержание тоже очень интересно. Хевисайд, например, уже с самого начала вводит понятие производной дробного порядка. Если обозначить оператор производной по времени d/dt = р, то операционное исчисление приводит к необходимости определить, какой результат дает действие на функцию оператора p^1/2. Хевисайд называет его оператором дробного дифференцирования. Он определяет результат действия p^1/2 на единичную функцию 1(t). Про эту функцию мы уже говорили. Она теперь называется функцией Хевисайда. Эта функция равна нулю во все отрицательные моменты времени и равна единице во все положительные моменты времени. График функции Хевисайда имеет вид ступеньки (рис. 15).

Определяет Хевисайд и результат действия других дробных степеней оператора р, а также результат действия сложных выражений, включающих разные степени оператора р. Теперь это все сравнительно легко может быть вычислено с помощью контурного интегрирования, но Хевисайд им не пользовался.

Во втором томе "Электромагнитной теории" широко используется дельта-функция. Дельта-функция - это современное название, тогда она называлась иначе. Хевисайд называл ее импульсной функцией. Эта функция равна нулю всюду, кроме начала координат, где она обращается в бесконечность таким образом, что интеграл от нее по отрезку, включающему точку х = 0, равен единице.

Функция с такими свойствами не является новой для математиков и для физиков. Еще до Хевисайда эта функция рассматривалась в работах Коши, Пуассона, Кирхгофа. Уже после Хевисайда такую функцию рассматривал Лебег. Но в работах Хевисайда эта функция стала действенным инструментом, позволяющим эффективно решать задачи математической физики. В книге Хевисайда приводится много представлений импульсной функции - разложение ее в ряд Фурье, в интеграл Фурье, разложение по различным системам функций. Эти разложения в наше время приводятся во многих учебниках по математической физике, но, конечно, никакой ссылки на Хевисайда, как правило, при этом не делается. Исключения составляют некоторые учебники операционного исчисления, там, правда, тоже, как правило, нет ссылки на Хевисайда, но применяется его название "импульсная функция".

При рассмотрении некоторых вопросов, связанных с дельта-функцией (или с импульсной функцией), Хевисайд подчеркивает такие особенности обращения с ними, которые и до сих пор отмечаются далеко не во всех учебниках. Скажем, приводя разложение дельта-функции в ряд Фурье по косинусам

Хевисайд замечает, что это разложение описывает дельта-функцию лишь в промежутке значений х от -p до p (или в любом промежутке длиною в 2p, содержащем точку х = 0). Если же рассматривать всю ось х, то это разложение дает целый "частокол" из дельта-функций, отстоящих друг от друга на 2p. Это следует из общей теории рядов Фурье. В современных книгах, где приводится такое или аналогичное разложение, редко можно увидеть соответствующую оговорку, а уж ссылку на Хевисайда вы никогда не увидите.

Отметим здесь, что Хевисайд считал дельта-функцию самой обычной функцией, такой же функцией, как и все остальные. В глазах строгих математиков это было ересью. Конечно, эта функция требует осторожного с собой обращения. Помнится, на лекциях по квантовой теории поля в МГУ (это было в 1950 г.) Д.И. Блохинцев, вводя дельта-функцию при вычислении коммутаторов, подробно говорил о том, как с ней надо обращаться, и добавлял: "Дельта-функцию следует держать на цепи". Теперь существует строгое с математической точки зрения обоснование как самой дельта-функции, так и операций с нею. Но это обоснование мало что изменило с точки зрения прежней практики в ее применении. Просто раньше "строгие" математики отворачивались от дельта-функции, а теперь разрешают ее применение. Кстати, когда Дирак в 1928 г. заново ввел дельта-функцию, строгие математики также не признали ее. Но в учебнике Дирака было одно важное замечание о дельта-функции, важное для математиков, и это замечание, в частности, побудило Лорана Шварца, одного из создателей теории обобщенных функций, заняться этой проблемой. Замечание заключалось в том, что дельта-функцию нельзя, строго говоря, рассматривать как обычную функцию.

Во втором томе "Электромагнитной теории" Хевисайда содержится множество новых математических методов, идей и результатов. Однако среди математиков по отношению к Хевисайду до сего времени нет единого мнения. Некоторые и сейчас отрицают значение того, что им сделано (но все же некоторые, а не подавляющее большинство, как это было при его жизни).

Впрочем, не все кембриджские математики отрицательно относились к методам Хевисайда и к полученным им результатам. В частности, Джозеф Лармор, который считал себя математиком, но которого мы теперь знаем как выдающегося физика-теоретика, высоко ценил работы Хевисайда и состоял с ним в оживленной переписке. Когда вышел из печати второй том "Электромагнитной теории", Хевисайд послал книгу Лармору и получил в ответ письмо, где о втором томе говорилось:

"Я бегло проглядел его содержание и нахожу, что из него можно извлечь много философских выводов как относительно электричества, так и более общего характера. В нем также содержится полезная критика моей собственной профессии (математика), которая иногда заблуждается относительно силы своих символов, считая, что такая вещь, как строгая точность, может царить в любом создании человеческого разума" [12].

Слова Лармора нуждаются в пояснении. Когда он пишет о философских выводах, он, скорее всего, имеет в виду физические результаты. В те времена физика считалась частью философии и даже называлась "натуральная философия", философия природы. Что же касается той критики в адрес кембриджских математиков, которая содержится в книге Хевисайда, то из ответа Лармора видно, что хотя он эту критику считает полезной (по крайней мере, так он пишет), но существо этой критики оценивает не совсем так, как Хевисайд. .

Второй том "Электромагнитной теории" содержит и великое богатство физических результатов. Здесь методично и с большой полнотой рассмотрены все мыслимые варианты (или почти все) линий связи, распространение сигналов по линиям, трансформация сигналов на неоднородностях линии, отражение сигнала от конца линии, излучение от конца линии в открытое пространство и т.д. - всего не перечислить. Укажем здесь еще на некоторые другие физические результаты, которые представляют собой, по нашему мнению, явный интерес.

Рассматривая разные варианты распределения параметров в линии, Хевисайд рассмотрел и случай отрицательного сопротивления. Именно, рассматривается случай, когда ток и напряжение на одном конце кабеля удовлетворяют соотношению V = -R₁l, где V - напряжение, / - ток, a R₁ - некоторая положительная величина. По этому поводу Хевисайд пишет:

"... мы не будем доказывать, что величина -R₁ играет роль отрицательного сопротивления. Если исходить из общепринятого электрического закона, такое утверждение привело бы к бессмыслице. Уравнение или условие V = -R₁l подразумевает наличие установки, которая при действии на нее внешнего напряжения давала бы ток, удовлетворяющий закону V = -R₁l. Мы не обязаны входить в дальнейшие подробности относительно того, как это следует сделать. Конечно, здесь не обойтись без источника энергии, но он не нуждается в уточнении, потому что его действие обусловлено приведенным законом" [70].

Далее Хевисайд рассматривает случай, когда на одном конце кабеля помещено положительное сопротивление (этот конец обозначим буквой А), а на другом конце В - равное по абсолютной величине отрицательное сопротивление. Пусть теперь в какой-то средней точке кабеля помещается заряд величины Q. Этот заряд сразу же начинает растекаться и слегка увеличивает потенциалы в точках А и В. При этом в точке А имеется ток из кабеля, а в точке В ток направлен в кабель. Направление тока в точке А является обычным, а направление тока в точке В - необычным (Хевисайд пишет - ненормальным), потому что конечное сопротивление в точке В отрицательно. Поэтому конец В заряжается быстрее, чем конец А, и чем выше становится потенциал, тем сильнее ток, направленный в кабель. С другой стороны, на конце А, где все соединения обычные, ток, вызванный начальным зарядом, сначала возрастал бы до максимального значения, а затем медленно спадал до нуля. Но непрерывное поступление свежего заряда с конца В меняет дело. Заряд распространяется по кабелю от В к А, повышая потенциал всего кабеля. В конце концов, после того, как пройдут обычные явления, вызванные начальным распределением заряда, возникнет состояние, при котором положительный заряд в кабеле будет непрерывно возрастать по мере удаления от конца А. В каждой точке кабеля, кроме того, будет происходить возрастание заряда с течением времени. При этом в кабеле будет протекать ток от В к А.

Состояние с нулевым потенциалом является неустойчивым. Достаточно появления в В бесконечно малого заряда, чтобы равновесие нарушалось. Направление тока в В зависит от знака начального заряда. Если потенциал, созданный зарядом, имеет положительное значение, ток входит в кабель и в дальнейшем течет в том же направлении. Если потенциал отрицателен, ток в точке В выходит из кабеля и кабель будет заряжаться отрицательно.

Хевисайд разбирает и некоторые другие особенности, вызванные наличием в цепи отрицательного сопротивления. Теперь, в наше время, спустя почти сто лет, мы можем оценить введение Хевисайдом отрицательного сопротивления. По существу, Хевисайд, введя в линию отрицательное сопротивление, рассмотрел тем самым простейшую теорию генератора или усилителя. В то время это был необычный и смелый шаг. Хевисайд понимал физический смысл отрицательного сопротивления, он ясно писал, что введение отрицательного сопротивления должно быть связано с источником энергии. Однако, хотя он и разобрал этот случай, разобрал в деталях, все же, по-видимому, не считал его естественным. Он писал:

"Если спросить, почему вообще рассматриваются такого рода случаи, то вместо ответа полезно вспомнить анекдот про доктора Эллиотсона. Один из его студентов сказал, что не видит пользы от патологической физиологии, ведь она так неестественна. Доктор назвал его болваном и добавил: «Только изучая патологию, можно установить истинные условия здоровья»" [71].

В настоящее время термин "отрицательное сопротивление" так же. как и "отрицательная проводимость", "отрицательная температура", получил права гражданства. Физические системы, в состав которых входят такие элементы, - это системы, в которых возникают неустойчивости и колебания. Теория систем с отрицательным сопротивлением, проводимостью, температурой - это нелинейная теория колебаний. Хевисайд дал один из первых примеров таких систем. Использованное им линейное приближение позволило установить только факт неустойчивости системы с отрицательным сопротивлением, но не дало возможности судить о дальнейшем поведении.

Еще один интересный физический результат, полученный Хевисайдом, - это рассмотрение такой линии, которая хорошо пропускает сигналы низкой частоты, но не пропускает сигналы высокой частоты. Высокочастотные сигналы в такой линии быстро затухают. Во втором томе "Электромагнитной теории" Хевисайд рассмотрел такую линию.

Представим себе проводник, составленный из большого числа последовательно соединенных катушек с равной индуктивностью. Равенство индуктивностей предполагается для простоты. Места соединения катушек заземляются с помощью проводников, в которые последовательно включены конденсаторы. Емкости всех конденсаторов тоже считаем для простоты равными. Хевисайд рассматривал более сложную цепь, но для качественного изложения достаточно рассмотреть этот простой пример.

Если по такой линии пустить переменный ток, то катушки индуктивности будут играть роль сопротивлений, тем больших, чем больше частота переменного тока. В то же время конденсаторы в такой линии будут играть роль утечки, причем утечка будет расти с частотой тока. Таким образом, с ростом частоты тока сопротивление такой линии возрастает, а утечка увеличивается. Такая линия может служить хорошим фильтром, пропускающим низкие частоты и отсекающим высокие. В наше время эта (или подобная ей) схема, рассмотренная Хевисайдом, так и называется" фильтр нижних частот". Во втором томе "Электромагнитной теории" Хевисайд рассматривает эту схему чисто качественно [72]. Его не интересуют вопросы отбора по частоте, он рассматривает другие особенности этой линии. Но в одной из его записных книжек, которые теперь находятся в архиве Института инженеров-электриков, имеется расчет, который, по существу, дает теорию фильтра нижних частот. Эта теория была разработана за 20 лет до того, как такой фильтр был предложен Шеффердом в Англии. Позднее Кэмпбелл в Америке провел более подробные математические исследования.

Трудно в небольшом объеме изложить содержание книги, столь богатой красивыми приемами, новыми эффективными методами и важными результатами. Откройте ее, проглядите, даже не читая внимательно, Вы наверняка найдете такие места, которые приведут вас в восхищение.