VIVOS VOCO: Б.М. Болотовский, "Оливер Хевисайд"

Кончился XIX век, наступил век XX. Люди встречали его полные надежд. Теперь, в конце XX века, мы видим, что это был век революций, кровавых войн, захватов, борьбы за освобождение. Вместе с тем это был век небывалого развития науки. Но подавляющее большинство ученых не предвидело тогда, на рубеже двух веков, какие гигантские перемены произойдут в самые ближайшие годы во взглядах людей на окружающий нас мир. Существовало мнение (по крайней мере, его разделяли многие физики), что построение физической картины мира в основном закончено, основные законы установлены, задача теперь заключается в том, чтобы применять эти основные законы к решению возникающих проблем. Примерно в этом духе высказался лорд Кельвин в своей речи, подводившей итоги развития физики за XIX век [81]. Он считал, если можно так сказать, что над физикой стоит ясное небо. На этом небе, правда, Кельвин отметил два облачка, две проблемы, которые тогда еще не были решены на основе существующих воззрений.

Одна из проблем, отмеченных Кельвином, заключалась в следующем. Мы знаем, как распространяются волны в твердом теле. Если, скажем, взять металлический стержень и ударить по его торцу молотком, то в месте удара образуется сжатие. Силы упругости приведут к тому, что сжатие это сменится на расширение в месте удара, а в соседнем месте возникнет сжатие. В результате по стержню побежит звуковая волна, вызванная силами упругости. Точно так же, по существу, объясняется распространение волн в газе и жидкости. Во всех этих случаях силы упругости приводят к тому, что возмущение давления или плотности, возникшее в какой-либо точке, распространяется от этой точки в виде звуковой волны. Во всех этих случаях среда переносит волну. За сотни лет механика приучила людей к мысли, что для распространения волны нужна среда. Это правило подкреплялось многими примерами. Хорошо известно, например, что звук не может распространяться в вакууме. Нет среды - нет и звуковой волны.

Но появление электродинамики привело к тому, что это правило - без среды нет волны - явным образом нарушалось. Электромагнитные волны распространялись в вакууме, в пустоте, где никакой среды в механическом понимании этого слова не было. В то же время стало уже настолько привычным, что всякая волна распространяется только при наличии упругой среды, что ученые готовы были считать, что вакуум заполнен какой-то средой, которая и делает возможным распространение электромагнитных волн. Эту предполагаемую среду называли эфиром. Очень многие ученые конца XIX и начала XX в. потратили немало усилий на то, чтобы определить свойства этого предполагаемого эфира. Свойства эфира (плотность, упругость и т.д.) должны были быть как раз такие, чтобы уравнения для механических волн, бегущих по эфиру, совпадали с уравнениями Максвелла, иными словами, ученые старались вывести уравнения Максвелла для электромагнитного поля, исходя из законов ньютоновской механики. На достижение этой цели было потрачено много сил.

Хевисайд тоже пытался создать механическую модель эфира. Его модель наряду с моделями многих других исследователей стала достоянием истории физики. Дальнейшее развитие физики привело к выводу, что не следует искать механического обоснования для электромагнитной теории. Не требуется предполагать существование какой-либо среды, переносящей электромагнитные волвы. Электромагнитное поле есть физическая реальность, причем такая реальность, что законы, которым оно подчиняется не сводятся к законам механики. Электромагнитная волна может распространяться в вакууме, причем не нужно придумывать никакую среду, которая играла бы роль механического носителя электромагнитных волн. Это все с полной ясностью было сказано Эйнштейном в 1905 г., но в 1900 г., всего за пять лет до появления работы Эйнштейна, Кельвин считал отсутствие механической теории эфира одной из проблем физики, ждущей своего решения.

Из этого облака на ясном небе теоретической физики всего через пять лет после речи Кельвина родилась теория относительности.

Хевисайд не проявил большого интереса к идеям теории относительности. Он, по-видимому, до конца дней считал, что электромагнитные волны распространяются в особой среде - эфире. Так он и писал: вместо "волны в вакууме" - "волны в эфире". Но математический аппарат теории Максвелла не зависел от такой словесной замены, поэтому все результаты, полученные Хевисайдом, и сейчас являются правильными, надо только иметь в виду, что представления того времени о существовании некоторой особой светоносной среды - механического эфира - оказались несостоятельными. Поэтому, читая Хевисайда, всякий раз, когда попадается слово "эфир", надо его заменять на слово "вакуум".

Вызывает большое удивление, что Хевисайд, чьи результаты в ряде случаев можно рассматривать как предвидение специальной теории относительности (мы уже говорили об этих результатах выше), оказался совершенно равнодушен к этой теории, когда она появилась. У него и слов даже таких не было - "теория относительности" (в работах, опубликованных после 1905 г.). Во всяком случае, если и была им упомянута эта теория, то это его упоминание не попалось мне на глаза. А те результаты Хевисайда, которые предвосхитили теорию относительности (например, зависимость поля заряда от его скорости), объясняются тем, что электродинамика Максвелла с момента ее создания была, как говорят, релятивистски инвариантной теорией, она вошла в теорию относительность без всяких изменений.

Второе облачко на ясном небе физики, о котором говорил Кельвин на рубеже XIX и XX вв. - это трудности в объяснении спектра нагретых тел. Мы знаем, что нагретые тела излучают электромагнитные волны. Если температура тела достаточно высока, оно может стать источником излучения видимого света, как, например, раскаленная нить в лампочке накаливания или Солнце. Трудность, отмеченная Кельвином, состояла в том, что физика не могла объяснить спектр излучения нагретых тел (спектр теплового излучения). Эта трудность была преодолена в начале века, тепловое излучение получило свое объяснение, и из объяснения выросла новая важная область физики - квантовая механика, которая так же, как и теория относительности, привела к совершенно новому пониманию окружающего нас мира.

Хевисайд остался равнодушен и к квантовой физике. Он дожил до 1925 г., т.е. был современником появления теории излучения нагретых тел, созданной Планком, теории фотоэффекта Эйнштейна, квантовой теории Бора. Эта область физики совершенно не интересовала его. Все его физические интересы до конца жизни были связаны с классической электродинамикой.

Однако созданные Хевисайдом математические методы - алгебра операторов, введение и использование функции Хевисайда 1(t) и импульсной функции - впоследствии облегчили развитие математического формализма квантовой теории.

В конце 1918 г. шестнадцатилетний Поль Дирак, будущий великий физик, поступил студентом в Бристольский университет, намереваясь, по примеру своего старшего брата, стать инженером-электриком. Он изучал теорию электрических цепей и таким путем познакомился с операционным исчислением Хевисайда, а также с разработанной Хевисайдом алгеброй операторов, пo-видимому, Дирак изучал Хевисайда по его отдельным публикациям, а не по книгам "Работы по электричеству" и "Электромагнитная теория". Те работы Хевисайда, где применялась импульсная функция, остались Дираку неизвестными. Когда в конце 1926 г. Дирак ввел дельта-функцию, он не упомянул об этих (имеющих отношение к делу) работах Хевисайда.

Интересно отметить, что мысли, побудившие Дирака ввести дельта-функцию, возникли у него как раз при изучении технических дисциплин - теории упругости и теории электрических цепей. Известный историк науки Д/кагдиш Мехра приводит слова Дирака о том времени, когда он был студентом в Бристоле:

"Я думаю, что именно такой способ обучения впервые дал мне идею дельта-функции. Действительно, если рассматривать нагрузки на технические конструкции, то иногда эти нагрузки бывают распределенными, а иногда - сосредоточенными (в точке). В этих двух случаях вы получаете несколько различные уравнения. По существу, попытка объединить эти два случая ведет к дельта-функции" [144].

Отметим, что знакомство с операторной алгеброй Хевисайда пригодилось Дираку (и не только ему) при создании и развитии квантовой теории.

В первые месяцы 1900 г. Хевисайд вернулся к вопросам, которые он изучал десятью годами ранее. Он начал подробно, подробнее, чем раньше, исследовать электромагнитное поле движущихся источников. Исследование это заняло несколько лет. В ходе этого исследования Хевисайд получил ряд результатов большой красоты и принципиальной важности. Мы расскажем здесь более подробно о его исследованиях, посвященных определению поля источников, скорость движения которых превосходит скорость света в той среде, где эти источники движутся. Эти исследования составляют примерно половину третьего тома "Электромагнитной теории". Но третий том вышел только в 1912 г., а все работы по излучению движущихся источников, вошедшие в этот том, были опубликованы Хевисайдом в 1900 и 1901 гг. К тому же, помещая эти работы в третий том своей "Электромагнитной теории", Хевисайд не добавил к ним никакого пояснительного материала, не "разбавил" никакими дополнениями, в отличие от того, как он делал, готовя к печати первые два тома. О причинах этого мы скажем позднее. Здесь же мы кратко изложим его работы по излучению движущихся источников.

Источники электромагнитного поля - это электрические токи и электрические заряды. Из курса средней школы мы знаем, что точечный покоящийся электрический заряд окружен электрическим полем. Мы знаем также, что постоянный электрический ток, протекающий по проводу, создает вокруг провода магнитное поле. В приведенных примерах электрическое и магнитное поля не меняются во времени. Раз поля постоянны, то никаких электромагнитных волн нет. Но если рассмотреть поле движущегося заряда, то положение меняется. Существуют такие случаи, когда движущийся заряд или движущийся ток могут стать источниками излучения электромагнитных волн. Некоторые простые качественные примеры были рассмотрены Хевисайдом в первом томе его "Электромагнитной теории". Теперь же Хевисайд рассмотрел этот вопрос более полно. В первую очередь он подробно исследовал излучение, возникающее в том случае, когда скорость источника превышает скорость света в той среде, где движется источник.

Рассмотрим, следуя Хевисайду, такую картину. Пусть имеется среда, в которой скорость света равна v. В этой среде находится плоское идеально отражающее зеркало (см. рис. 16).

Пусть на это зеркало падает плоский электромагнитный импульс, такой, что электромагнитное поле заключено между двумя параллельными плоскостями, а вне этой области поле равно нулю. Импульс распространяется со скоростью света v, и направление его распространения составляет угол a с нормалью к плоскости зеркала. На рис. 16 видно, что на плоскости зеркала поле равно нулю всюду, кроме отрезка АВ. На этом отрезке поле плоского электромагнитного импульса отлично от нуля и вызывает на плоскости зеркала переменные токи и заряды. Эти переменные токи и заряды вызывают излучение электромагнитных волн, поэтому картина, изображенная на рис. 16, является неполной - нужно еще учесть поле излучения от области АВ.

Полная картина выглядит так (см. рис. 17). Падающий плоский импульс на этой картине дополнен отраженным импульсом. На поверхности зеркала эти два импульса - падающий и отраженный - имеют общую область перекрытия АВ. На поверхности зеркала в области АВ падающий импульс наводит переменные токи и заряды, а излучение этих токов и зарядов дает отраженный импульс, который тоже представляет собой плоскую волну, но волну, уходящую от поверхности зеркала. Направление распространения отраженной волны составляет с нормалью к поверхности зеркала такой же угол a, как и у падающей волны. Это и неудивительно: угол падения равен углу отражения.

В этой картине важно следующее. Область АВ, где генерируется отраженная волна, перемещается вдоль поверхности зеркала со скоростью, превышающей скорость света в среде над зеркалом. Действительно, из простых геометрических соображений видно, что если скорость области АВ обозначить через u, то

u = v / sina.

Поскольку sina < 1, то скорость u области АВ (скорость "зайчика" на зеркале) превышает скорость света v.

Теперь уберем падающую волну, но оставим на зеркале в области АВ те токи и заряды, которые эта падающая волна наводила. Мы получим тогда такую картину. Область АВ движется вдоль поверхности зеркала со скоростью u = v / sina, превышающей скорость света в среде над зеркалом. За этой областью тянется "хвост" - плоский электромагнитный импульс, в котором поле излучения отлично от нуля между двумя параллельными плоскостями. проходящими одна - через точку A, другая - через точку В. Импульс распространяется со скоростью v в направлении, составляющем угол q = p/2 - a с направлением скорости отрезка АВ, который в данном случае является источником излучения (рис. 18).

Из этого рассмотрения видно, что если создать на плоскости зеркала какое-либо распределение токов и зарядов и затем сделать так, чтобы это распределение двигалось как целое в плоскости зеркала со скоростью, превышающей скорость света в среде над зеркалом, то возникнет излучение, которое будет оставаться позади источника, имея характерную направленность.

А теперь уберем зеркало и оставим только заряженный отрезок АВ, который движется в неограниченной среде вдоль направления АВ со скоростью, превышающей скорость света v в среде. Тогда картина поля будет выглядеть так (рис. 19).

На рисунке АВ - это заряженная полоса, перпендикулярная плоскости рисунка. Эта полоса движется вдоль направления АВ со скоростью, превышающей скорость света v. За полосой тянется "шлейф", состоящий из двух плоских волновых импульсов. Угол между фронтом импульса и скоростью полосы определяется соотношением cos q = v/u.

Мы пришли к выводу, что если заряженное тело движется со скоростью, превышающей скорость света v, то оно излучает направленные электромагнитные волны. Обратите внимание на то, как Хевисайд подвел читателя к этому выводу. Он начал с задачи об отражении волны от зеркала [82]. Затем он показал, что отраженная волна излучается "зайчиком", который создается падающей волной на поверхности зеркала, причем скорость "зайчика", бегущего по зеркалу, превосходит скорость света. И, наконец, вывел заключение, что любое заряженное тело, скорость которого превосходит скорость света, становится источником излучения электромагнитных волн.

В дальнейшем для краткости мы будем говорить, что если скорость источника превосходит скорость света, то скорость является сверхсветовой. Иногда в этом же смысле будем говорить "сверхсветовое тело" или "сверхсветовой зайчик".

Забегая вперед, скажем здесь, что весь этот круг высказанных Хевисайдом физических идей и связанные с этим его расчеты - все было прочно и надолго забыто. Излучение от сверхсветового зайчика рассматривалось позднее в работах И.М. Франка [83], В.Л. Гинзбурга [84, 85], В. Эйдмана [86], С.В. Афанасьева [87]. и автора этих строк [85, 87, 89]. В них рассматривалось не совсем то, что у Хевисайда, и не совсем так, как у него. Но истоки всех этих работ восходят к приведенному рассуждению Хевисайда. Никто из авторов не знал о соответствующих работах Хевисайда, выполненных на десятки лет ранее.

Установив, что сверхсветовое заряженное тело становится источником излучения, Хевисайд замечает, что раз тело излучает электромагнитные волны, то оно теряет энергию, а следовательно, должно замедляться под действием поля излучения. Тело испытывает действие тормозящей силы, эта сила представляет собой реакцию поля излучения. Для случая заряженной полосы, которая движется со сверхсветовой скоростью, Хевисайд очень просто вычисляет и тормозящую силу, и энергию излучения. Чтобы сверхсветовой источник не замедлял своего движения, нужно непрерывно подводить к нему энергию, равную той, которую он излучает, т.е. нужно действовать на сверхсветовое тело с силой, которая компенсирует силу торможения, действующую со стороны излучаемого поля.

Дальше Хевисайд рассматривает некоторые простые случаи сверхсветового движения, определяет поле сверхсветового магнита, электрета (т.е. тела с постоянным электрическим моментом), заряженной полосы, скорость движения которой направлена по нормали к плоскости полосы.

Затем Хевисайд переходит к случаю, когда источником поля является точечный заряд. Хевисайд приводит выражения для поля равномерно движущегося заряда, соответствующие двум случаям: досветовой и сверхсветовой скорости. Сначала он очень наглядно показывает, как преобразуется потенциал равномерно движущегося заряда по мере роста скорости заряда. Для досветового заряда потенциал записывается в виде [90]

Здесь q - величина движущегося заряда. Заряд движется вдоль оси z со скоростью u. Величина х² + у² есть квадрат расстояния от линии движения заряда (от оси z). Подразумевается, что V - это потенциал в точке с координатами х, у, z, если заряд находится в начале координат, так что, по словам Хевисайда, "потенциал V сопровождает заряд в его движении". Величина e обозначает диэлектрическую постоянную среды. Если скорость заряда равна нулю, то потенциал V переходит в хорошо знакомое выражение

(2)

т.е. потенциал покоящегося заряда обратно пропорционален расстоянию до заряда и диэлектрической постоянной среды, в которой находится заряд. Множитель 4p объясняется выбором системы единиц. Хевисайд так выбирал единицы, чтобы поток индукции через замкнутую поверхность, окружающую заряд, равнялся заряду q (а не величине 4pq, как в системе единиц Гаусса). Заметим, что для покоящегося заряда потенциал V численно равен работе, которую нужно затратить, чтобы перенести единичный положительный заряд из бесконечности в точку с координатами х, у, z (если V задается формулой (2)). Если заряд движется, то его потенциал V уже не имеет столь простого физического истолкования. Более того, в этом случае, кроме скалярного потенциала V, для описания поля нужно ввести еще векторный потенциал и дать правила, позволяющие определять поле, зная потенциалы. Хевисайд все это делает. Для равномерно движущегося заряда векторный потенциал в рассмотрении Хевисайда оказывается пропорционален скалярному. Поэтому в дальнейшем можно обходиться только выражением для скалярного потенциала V.

Если скорость заряда и меньше, чем скорость света в среде v, то выражение для потенциала при досветовом движении определяется формулой (1). Потенциал отличен от нуля во всем пространстве.

Если скорость заряда u превышает скорость света в среде v, потенциал принимает вид

(3)

причем это выражение имеет смысл только позади заряда (z < 0) и только в той области, где подкоренное выражение положительно. Если точку, где находится заряд, принять за начало координат, то потенциал определяется выражением (3) в области, изображенной на рис. 20.

На рисунке изображен конус, осью которого является ось z. Именно в заштрихованной внутренней области конуса справедливо выражение (3) для потенциала при сверхсветовой скорости заряда. Вне этой области потенциал равен нулю.

Эти выражения для потенциала сверхсветового заряда Хевисайд получил еще в 1892 г. и кратко сообщил о них во втором томе своих "Работ по электричеству".

Конус, изображенный на рис. 20, внутри которого поле отлично от нуля, "тянется" за сверхсветовым зарядом. Хевисайд вычисляет поле внутри конуса и приходит к удивительному результату. Оказывается, что поле внутри конуса направлено к заряду, если заряд считать положительным! Это явным образом противоречит теореме Гаусса. Известно, по крайней мере для покоящегося положительного заряда, что линии электрического поля направлены от заряда, а для сверхсветового заряда получается обратная картина (см. рис. 21).

Хевисайд выясняет причину этого удивительного обстоятельства. Дело в том, что хотя поле вне конуса равно нулю. поле на поверхности конуса не равно нулю (в действительности оно даже бесконечно велико) и направлено от заряда. Суммарный поток оказывается такой, какой и должен быть по теореме Гаусса.

Интересно то, каким путем Хевисайд устанавливает справедливость теоремы Гаусса для поля в случае сверхсветового заряда. Дело в том, что потенциал сверхсветового заряда, который определяется выражением (3), отличен от нуля только внутри конуса, расположенного позади заряда (см. рис. 20). Поверхность конуса, ограничивающего поле, определяется из формулы (3) уравнениями

причем u > v, т.е. скорость заряда больше скорости света. По мере приближения изнутри к поверхности конуса потенциал неограниченно растет. Вместе с ним неограниченно растет и поле. При переходе изнутри через поверхность конуса наружу поле резко обрывается и вне конуса поле равно нулю. Поэтому для поля точечного заряда трудно даже вычислить поток индукции, чтобы проверить, выполняется ли теорема Гаусса.

Хевисайд поступает следующим образом. Он сначала "размывает", "размазывает" заряд, распределяя его равномерно на некотором отрезке конечной длины. Затем он вычисляет поле, которое получается при движении этого отрезка со сверхсветовой скоростью (отрезок направлен параллельно скорости движения). Поле получается конечным во всех точках. В этом случае легко проверить, что теорема Гаусса выполняется. Картина получается такая (рис. 22). Если провести два конуса - один от начала заряженного отрезка, другой от конца отрезка, то эти конусы делят все пространство на три части: внутри заднего конуса поле оказывается примерно такое же, как поле точечного заряда, только вблизи от поверхности конуса поле не обращается в бесконечность, хотя и принимает большие значения (это указано на рис. 22 надписями "Сильное поле").

В пространстве между конусами поле тоже сильное, но направлено противоположно тому сильному полю, которое существует внутри конуса. И, наконец, вне обоих конусов поле равно нулю. Хевисайд вычисляет поля во всех областях и прямым вычислением убеждается в том, что теорема Гаусса выполняется - поток поля к заряду внутри заднего конуса компенсируется потоком поля от заряда в пространстве между конусами, так что в результате поток оказывается равен в точности заряду, как это и должно быть по теореме Гаусса (в системе единиц Хевисайда). Затем Хевисайд совершает предельный переход, устремляя длину заряженного отрезка к нулю. При этом поле вблизи от поверхности конусов неограниченно возрастает, но теорема Гаусса выполняется по-прежнему, как и для протяженного заряда [92].

Отметим, кстати, что раствор угла при вершине у конуса, ограничивающего поле при сверхсветовом движении, определяется простым соотношением, которое следует из формулы (3) для потенциала. Если a - угол между образующей конуса и его осью, то

sin a = v / u.

Можно ввести угол между скоростью заряда и нормалью к поверхности конуса. Если этот угол обозначить через q, то cos q = v / u.

Отметим здесь, что рассмотренное Хевисайдом излучение сверхсветового заряда нашло свою реализацию в эффекте, обнаруженном через несколько десятков лет советскими физиками С.И. Вавиловым и П.А. Черенковым. К тому времени работы Хевисайда, в которых рассматривалось это явление, были полностью забыты.

Рассматривая поле сверхсветового заряда, Хевисайд делает одно интересное наблюдение. Мы здесь расскажем об этом, взяв для простоты случай, который Хевисайд не разбирал, но который очень ясно показывает обнаруженное им своеобразие сверхсветового движения.

Рассмотрим такой случай. Пусть заряд движется со сверхсветовой скоростью по оси слева направо (рис. 23). Заряд доходит до точки О и здесь резко останавливается. Справа от точки О на расстоянии d от нее находится наблюдатель. Что он увидит при таком движении заряда? В каждой точке своего пути заряд создает сферическую волну излучения. Но все эти волны остаются позади заряда, так как его скорость превышает скорость света. Поэтому раньше всего до наблюдателя, находящегося в точке d, дойдет волна, излученная зарядом в начале координат, затем волна из какой-то точки z₁, находящейся левее начала координат, затем волна из некоторой точки z₂, находящейся левее точки z₁, и т.д. Принимая все эти волны, наблюдатель увидит, что заряд движется не слева направо, а справа налево! Это удивительное явление - если скорость источника превосходит скорость света, то кажущаяся скорость его движения может оказаться направленной противоположно истинной скорости [93]. Отметим, что аналогичное явление имеет место и в акустике. Там роль скорости излучаемых волн играет скорость звука. Если в воздухе движется сверхзвуковое тело (скажем, сверхзвуковой самолет), а мы хотим на слух определить направление его движения, то в случае, аналогичном описанному выше, нам будет казаться, что самолет летит не направо (если он летит направо), а налево.

Ситуация может оказаться более сложной, и тогда один сверхсветовой объект мы можем видеть как два объекта, разлетающиеся в противоположные стороны. То же относится и к сверхзвуковым источникам и акустике (только в акустике мы не "видим" источник, а "слышим").

Рассматривая излучение движущихся сверхсветовых источников, Хевисайд ставит и решает целый ряд интересных задач. У пас нет возможности подробно изложить результаты, полученные в работах, опубликованных в 1900 и 1901 гг. Отметим лишь часть из того, что он сделал.

Выражения для полей равномерно движущегося заряда как в досветовом, так и в сверхсветовом случае Хевисайд получил с помощью разработанного им операционного исчисления. Затем он разложил полученные поля в интегралы Фурье по времени, т.е. представил поля в виде суммы цилиндрических волн всевозможных частот. Он также рассматривает ток, текущий по оси z, в виде волны с заданной частотой. Если скорость волны тока превышает скорость света, возникает излучение, и Хевисайд вычисляет энергию, излученную единицей длины тока в единицу времени. По существу, такую же энергию уносят цилиндрические волны, по которым разлагается поле заряда. Дело в том, что и плотность заряда, соответствующую сверхсветовому источнику, можно представить в виде суммы бегущих волн, каждая из которых имеет определенную частоту, разную для разных волн. Таким образом, излучение сверхсветового заряда можно представить в виде суммы монохроматических волн, каждая из которых может рассматриваться как излучение волны плотности заряда, имеющей ту же частоту.

Энергию излучения на данной частоте (сейчас более принято название "спектральная плотность излучения") Хевисайд вычисляет двумя способами. Первый способ состоит в том, что определяется поток энергии излучения, уходящий от волны тока. Второй способ заключается в том, что вычисляется работа тормозящей силы, действующей на гармонический ток со стороны излучаемого им поля. Хевисайд показывает прямым вычислением, что оба способа дают один и тот же результат [94].

Интересно, что Хевисайд не ограничивается случаями равномерного движения, а рассматривает процессы установления. Он разбирает, например, случай, когда покоящийся заряд внезапно ускоряется и начинает движение со сверхсветовой скоростью. В этом случае конус, внутри которого поле отлично от нуля, возникает не сразу. Хевисайд рассматривает поле, возникающее при резком старте заряда. Пусть точечный заряд первоначально находился в покое, а затем мгновенно ускорился и начал движение со скоростью u, превышающей скорость света v. Тогда поле заряда имеет различный вид в трех различных областях пространства.

Пусть заряд начал движение из точки О вдоль оси z (рис. 24). Окружим точку старта сферой, радиус которой равен vt, т.е. эта сфера расширяется от точки О со скоростью света. Заряд находится вне сферы в точке q (поскольку скорость его движения превосходит скорость света). Область пространства внутри сферы обозначим римской цифрой I, область вне сферы, но внутри конуса - цифрой II, область вне сферы и вне конуса - цифрой III. Тогда в области I поле описывается тем же решением, что и поле равномерно движущегося сверхсветового заряда. В области II поле есть сумма поля равномерно движущегося сверхсветового заряда и кулоновского поля заряда, покоящегося в точке О. Наконец, в области III поле есть кулоновское поле заряда, покоящегося в точке О. Хевисайд рассмотрел вопрос о том, как поле сопрягается на границе этих областей [95].

Он также вычислил поле излучения, возникающего при мгновенном старте или при мгновенной остановке заряда. Задача ставилась так: пусть имеется покоящаяся заряженная частица. В некоторый заданный момент времени частица мгновенно ускоряется, так что ее скорость меняется скачком от нуля до некоторого значения u, а затем частица движется со скоростью u, которая в дальнейшем уже не меняется. Ускорение в начальный момент приводит к излучению электромагнитных волн, причем, если считать частицу точечной, то поля излучения оказываются бесконечно велики. Хевисайд предположил, что заряд Q распределен равномерно внутри сферы радиуса а. В этих предположениях он получил конечные выражения для поля излучения. На больших расстояниях R от точки старта магнитное поле Н имеет вид

Здесь b - угол между направлением в точку наблюдения и скоростью. Выражение для электрического поля отличается лишь множителем, содержащим диэлектрическую постоянную и магнитную проницаемость среды.

Поля излучения отличны от нуля и описываются приведенными формулами внутри сферического слоя, центр которого расположен в точке старта. Толщина этого слоя равна 2а. Сохраняя свою толщину, слой расходится во все стороны от точки старта. Скорость движения слоя равна скорости света.

Зная величину магнитного поля, нетрудно подсчитать, какая энергия излучается под углом b к скорости заряда.

Поскольку 2a - это толщина сферического слоя, в котором содержится волна излучения, а величина поля в этом слое обратно пропорциональна 2a, то интеграл от поля Н по толщине слоя есть конечная величина и при малых о поле излучения пропорционально дельта-функции, т.е. оно отлично от нуля только на поверхности сферы, а интеграл от поля по радиусу имеет конечное значение.

В те годы, когда Хевисайд развивал теорию излучения движущихся источников, доктор Сил также исследовал некоторые проблемы, связанные с характером поля движущихся зарядов. Результаты этих исследований были опубликованы в нескольких статьях, и Хевисайд живо интересовался результатами Сила. Не обошлось без анекдотического случая. В некоторых своих расчетах Сил использовал греческую букву лямбда (l). При очередной встрече Хевисайд спросил Сила, что означает та лемма в его статье. Сил сказал, что там не было никакой леммы (слово "лемма" означает определенный вид научного высказывания). Выяснилось, что Хевисайд называл леммой то, что Сил называл ламбдой. Хевисайд отметил этот случай в своей статье в журнале "Electrician" 29 ноября 1901 г., а затем в третьем томе своей "Электромагнитной теории":

"Этот результат согласуется с формулой Сила, полученной путем интегрирования по пространству. Я с большим удовольствием получил его результат, потому что не мог понять его l. Мне казалось, что это что-то академическое, а не электрическое. Он сказал, что это не лемма, а ламбда. Может быть, так оно и было, но это было неубедительно" [97].

Немного позднее Сил поехал в Геттинген и там кстретил очень озадаченных математиков. Для получения того результата, который Сил нашел путем довольно утомительных вычислений, Хевисайд использовал метод большой красоты и силы. Геттингенские математики с интересом изучали работу Хевисайда, но не могли понять, почему Сил сказал, что это была не лемма. а ламбда [41].

Про интеграл, содержащий букву l, который вычислял Сил, Хевисайд позднее сказал, что хотя это и академический интеграл, но тем не менее он, Хевисайд, испытывает по отношению к нему глубокое почтение невежды [97].